§ 5. Интегральный оператор, порождающий решения уравнения

В этом параграфе кратко описывается интегральный оператор, порождающий решения параболического уравнения (0.1.8в), т. е. уравнения

где аналитическая функция для всех значений у к z (действительных и комплексных). Делая обычную замену переменных

преобразуем уравнение (1) к виду

Обозначим через множество функций удовлетворяющих уравнению (3) в некоторой окрестности начала координат и обладающих разложением в ряд Тейлора

в котором все коэффициенты равны нулю.

Для определения упомянутого выше интегрального оператора введем следующие сокращенные обозначения.

Пусть аналитическая функция в некоторой окрестности точки пусть

a F означает , где функция, определенная в формуле (3). Далее мы полагаем

где равны 0 или и справедливо равенство

В формуле может быть взято равным любому из чисел

Пусть

где суммирование распространено на все комбинации удовлетворяющие равенству (6). Заметим, что в определены только для то же самое справедливо для в (7). Определим величины для следующим образом:

Наконец, положим

Используя эти определения, мы можем ввести оператор, порождающий решения уравнения (1), принадлежащие

классу Определение и основные свойства этого оператора даются в следующих двух теоремах, которые мы приводим без доказательства.

Теорема 5.1. Пусть дана область в пространстве и пусть существуют положительные постоянные и последовательность неотрицательных постоянных такие, что для всех точек из 35 выполняются неравенства

а также сходится ряд

Тогда

существует для всех

Теорема 5.2. Если причем сходятся при равномерно в области , то удовлетворяет уравнению (3) в и дополнительным условиям

Величины которые используются в определении оператора по формуле (11), имеют весьма сложную структуру. Как показано в [37, стр. 469 и далее], по крайней мере в одном важном случае, а именно, когда функция - "вырожденная" (т. е. представляется в виде конечной суммы членов, каждый из которых — произведение целой функции от на целую функцию от оператор можно выразить в виде бесконечного ряда, члены которого содержат по одному интегралу.

Одним из важнейших вопросов, возникающих в связи с уравнениями в частных производных, является вопрос о характере особенностей, которыми может обладать решение данного уравнения. Метод интегральных операторов особенно удобен для изучения этого вопроса, ибо во многих случаях можно "превратить" утверждения об особенностях функций, к которым применяется оператор, в утверждения об особенностях соответствующего решения дифференциального уравнения. Иллюстрируем эту идею следующей теоремой, относящейся к рассматриваемому в этом параграфе интегральному оператору

Теорема 5.3. Пусть а — любое целое положительное число и полином, где действительные или комплексные постоянные и Пусть Тогда решение уравнения (1)

[где определяется формулой (11)] регулярно во всех действительных точках за исключением точек, лежащих на кривой

На самом деле известны некоторые довольно точные результаты о поведении в окрестности кривой 8 (см. [37], стр. 476 и далее), но мы не приводим их здесь.

Наконец, рассмотрим коротко связь между коэффициентами Аптт разложения в ряд Тейлора (4) функции принадлежащей классу и особенностями этой функции. Следующая теорема дает обобщение теорем Адамара, связывающих расположение и характер особенностей аналитической функции с коэффициентами ее ряда Тейлора Следует заметить, что в этой теореме говорится лишь об определенной подпоследовательности коэффициентов а именно такой, что и ничего не требуется от функции кроме того, что она регулярна для всех значений

Теорема 5.4. Пусть

где постоянные, и

Предположим, что функция разлагающаяся в ряд Тейлора (4), представляется в виде

где функция регулярна при всех (действительных) X и (комплексных) Пусть

Тогда

(кликните для просмотра скана)

то величины будут определяться формула; совпадающими с (19), где заменено на будут определяться очевидным аналогом формула