ПРИЛОЖЕНИЕ. ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДАЮЩИЕ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ, И ИХ СВОЙСТВА

Введение

Интегральные операторы, примененные к аналитическим функциям одного или многих комплексных переменных, порождают решения линейных дифференциальных уравнений с частными производными. Одна из проблем этой теории состоит в нахождении операторов, сохраняющих свойства аналитических функций или изменяющих их простейшим образом. Таким путем получены различные результаты, относящиеся к этим решениям.

Интегральный оператор определяет решение где -аналитическая функция комплексных переменных в некоторой области -мерного пространства (в области ассоциации этого оператора). Последняя область, вообще говоря, составляет только часть области существования решения Однако теория интегральных операторов иногда позволяет также получать заключения о поведении решения в целом, т. е. во всей области его существования.

В настоящей статье и в [16] рассматриваются следующие два вопроса.

(А) Свойства гармонических векторов т. е. троек гармонических функций, связанных уравнениями

Эти векторы можно рассматривать как некоторое обобщение аналитических функций комплексного переменного. [Уравнения (0.1) играют роль уравнений Коши — Римана для функций, сопряженных к аналитическим.] Гармонический вектор можно получить по формуле

из аналитической функции комплексных переменных

Если рациональная функция, то алгебраические функции. В дальнейшем мы получим соотношения между интегралами

с одной стороны, и интегралами от некоторых алгебраических аналитических функций комплексного переменного, с другой стороны. Далее, для интегралов (0.2) мы выведем "теоремы о вычетах". В простейшем случае результаты такого типа были получены в [7, 8]. Здесь они существенно обобщаются. (Чтобы облегчить чтение настоящей статьи, мы повторяем некоторые рассуждения из предыдущих работ.)

(Б) Одной из проблем теории гармонических функций трех переменных является обобщение соотношений между коэффициентами разложения в ряд аналитической функции одного переменного и расположением и характером ее особенностей. Чтобы получить удобные выражения для различных соотношений между коэффициентами

разложения и расположением и свойствами особенностей гармонических функций, мы введем матрицы определенного вида [см. (0.6) и (0.7)]. Разложение гармонической функции по модифицированным объемным сферическим функциям имеет вид

(см. [15], формулу (21) на стр. 74), где

— комплексные объемные сферические функции, умноженные на постоянные; сферические координаты, достаточно малая окрестность начала координат. Элементы матриц в формуле (0.7) являются коэффициентами разложений гармонических функций

Коэффициенты образуют треугольную матрицу

которую можно представить в виде суммы матриц, состоящих из одного столбца:

где если или Здесь фиксированные (действительные) целые числа. Теорема Адамара в теории функций одного переменного устанавливает связь между поведением некоторых определителей из коэффициентов разложения аналитической функции и расположением и характером ее особенностей; с помощью результатов Адамара были получены некоторые соотношения между определителями, образованными из и расположением особенностей типа полюса функции (см. [36], стр. 335). Используя метод, развитый в работах [3, 4, 7, 8, 10, 15] (см. также [26, 27, 37, 39, 46, 47, 51, 57]), мы в [16] вводим класс алгебраических гармонических функций. Используя результаты Неванлинны [49] и Адамара, мы получаем теоремы о связи между коэффициентами разложений некоторых гармонических функций и распределением значений этих функций. Автор весьма обязан Ситяку за помощь при подготовке настоящей статьи, которая привела к улучшению некоторых результатов. Автор благодарит также Боянича за ценные замечания.