2. Связь между интегралами от алгебраических гармонических векторов от трех переменных с интегралами от алгебраических функций комплексного переменного.

Далее мы рассмотрим гармонические функции

где рациональная функция от , а именно:

взаимно простые полиномы по . [Здесь замкнутая кривая в плоскости достаточно малая окрестность точки Пусть

Подстановка дает

Здесь полиномы по . В соответствии с этим записывается в виде

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения и предположения.

1° Кривая

является гладкой жордановой кривой в пространстве Здесь для т. е. не имеет общих точек с осью х.

— гладкая жорданова кривая в плоскости С, не проходящая через начало координат, т. е. при вдоль .

3° Полином имеет вдоль только простые корни С, т. е. для Полином имеет вдоль только простые корни, т. е. для

5° 30 имеет конечное число общих точек с Здесь

6° Если — точка пересечения то существует окрестность точки такая, что пересечение представляет собой двумерную поверхность, имеющую касательную плоскость в точке

Лемма 2.1. При предположениях 1° — 6° функции где

могут обращаться в нуль только в конечном числе точек

Доказательство. Пусть значения для которых пересекает Согласно 5°, . В силу 3°, уравнение

имеет только простые корни. Таким образом, существует лишь конечное число различных точек для которых Следовательно,

Так как при имеем

при и требовалось доказать.

Пусть окрестность точки такая, что — кусок поверхности, имеющей касательную плоскость в точке (Заметим, что для каждого существует такое, что ) Предположим, что окрестности так малы, что пересечение пусто при Пусть семейство гладких жордановых кривых. Кривая принадлежит тогда и только тогда, когда совпадает с вне

3 пересекает множество в точках и только в этих точках.

Так как всякая кривая гладкая, ее можно в окрестности точки представить в виде

Здесь При необходимости мы можем изменить так, чтобы было

Согласно 4°,

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Таким образом, якобиан (2.19) равен

где

и

Так как не зависит от то линейная однородная функция от

Поскольку легко видеть, что Доказательство закончено.

Следствие. Для любой кривой любой системы окрестностей можно найти кривую такую, что

Лемма 2.3. Пусть пусть Тогда интеграл

абсолютно сходится.

Доказательство. По лемме 2.1, подинтегральная функция в (2.30) разрывна самое большее в точках

Таким образом, достаточно доказать, что существует такое, что интеграл

абсолютно сходится для Так как отображение

взаимно однозначно в где достаточно мало. Пусть образ при отображении (2.32). Тогда интеграл (2.31) равен

где непрерывная функция в Очевидно, что интеграл (2.33) абсолютно сходится. Этим заканчивается доказательство леммы 2.3.

1 Пусть корни уравнения

Далее, пусть фиксированная точка. Предположим, что существует окрестность точки такая, что для и такая, что для Применяя теорему о вычетах к (2.6), получаем следующую теорему.

Теорема 2.1. Гармоническая функция равна

Здесь 2 означает суммирование, распространенное на те корни уравнения (2.34), которые лежат во внутренности . Если все лежат вне то для область, ограниченная кривой ). Так как алгебраические функции от то элемент алгебраической функции которая, вообще говоря, многозначна и может иметь особенности в Пусть

означает совокупность тех точек X в №, в которых при некотором Можно показать, что является суммой семейства прямых и не содержит внутренних точек. Множество является суммой непересекающихся областей

В каждой области равенство

определяет гармоническую функцию, которая может быть записана в виде (2.35) и, следовательно, является алгебраической.

Каждая функция

является гармонической. Здесь замкнутая кривая, содержащая в своей внутренности только один корень уравнения при

Пусть аналитическая функция, регулярная по а и С при Тройка гармонических функций

образует гармонический вектор при Если рациональная функция, то компоненты вектора продолжаются аналитически до алгебраических функций соответственно Ни

Пусть заданы соответственно формулами (2.4) и (2.5), и пусть удовлетворяют условиям 1° — 6°.

Пусть, далее, означает часть между двумя последовательными точками пересечения с

В окрестности равенство

определяет гармоническую функцию. Пусть корни уравнения

В силу 3°,

Применяя теорему о вычетах к подинтегральной функции в (2.42), мы заключаем, что

где означает суммирование, распространенное на все корни уравнения (2.43), лежащие во внутренности кривой 8.

Рассмотрим гармонические векторы (зависящие от

где . Для

Используя обозначение

получаем

Так как алгебраические функции от также алгебраические функции тех же переменных. По лемме 2.1 для любых существует конечное число точек таких, что

Точки делят кривую на конечное число дуг Пусть кривая

и пусть внутренность кривой -корни уравнения

В силу 4°, все эти корни — простые.

Теорема 2.2. Пусть порядок точка относительно кривой Тогда

Здесь концы дуг соответственно Точки связаны уравнением (2.50) в том смысле, для каждой существует такая, и обратно.

Доказательство. Левая часть равенства (2.53) может быть записана в виде

Если для якобиан [см. (2.19)] отличен от нуля, то, по лемме 2.3, мы можем поменять порядок

интегрирования в последнем интеграле

Отсюда, применяя теорему о вычетах, мы получаем равенство (2.53).

Если якобиан равен нулю для некоторого значения то, в силу леммы 2.2, мы можем заменить кривой . Для которой не равен нулю. При замене на 3 мы не изменяем ни точек пересечения ни С другой стороны, значения интегралов зависят только от концов отрезков интегрирования, так что равенство (2.53) справедливо и в этом случае.

В дальнейшем мы рассмотрим один частный случай теоремы 2.1, который представляет самостоятельный интерес.

Положим в (2.3)

где а — действительное число, а Имеем

где Далее, предположим, что

Тогда

Простое вычисление дает:

где берется такая ветвь корня что Гармонический вектор двузначен. Ветвь, определяемая формулой (2.60), имеет особую линию — окружность Другая ветвь вектора получаемая аналитическим продолжением, имеет особую линию — ось х. Очевидно, что компоненты алгебраические функции от х, у, z.

Пусть — гладкая жорданова кривая, пересекающая только в точке такой, что

Если функция

обращается в нуль в конечном числе точек и если части кривой , такие, что то, по теореме 2.1,

Так как для получаем

где — целые числа.