5. Применение интегральных рператоров в теории целых функций.

Операторы, порождающие решения дифференциального уравнения или системы уравнений, могут быть записаны также в виде

где так называемая порождающая функция интегрального оператора. Во многих случаях можно не только показать, что целая функция, но также определить границы ее роста. Чтобы проиллюстрировать используемый метод, рассмотрим уравнение

Здесь целая функция. В этом случае интегральный оператор может быть записан в виде

где порождающая функция оператора аналитическая функция комплексного переменного, голоморфная в начале координат и являющаяся ассоциированной функцией, путь (в комплексной плоскости соединяющий —1 с 1 и лежащий в круге (см. [15, стр. 26]).

Теорема 5.1. Пусть порождающая функция интегрального оператора (3) для уравнения (2), где полином степени по Тогда

для

(кликните для просмотра скана)

Таким образом, для имеем

где А и В — постоянные. Для получения последнего неравенства мы применили формулу Стирлинга.

Теорему 5.1 можно использовать для получения границ роста целых, решений уравнения (2), выраженных через подпоследовательность коэффициентов разложения в начале координат.

Теорема 5.2. Пусть

— действительное решение уравнения (2), и пусть

Тогда является целой функцией, порядок которой не превосходит

Доказательство. Согласно (1) и (2) в [15, стр. 29] для ассоциированных функций имеют место равенства

Из (13) следует, что целая функция порядка По теореме 5.1 и в силу известного результата о порядке роста произведения двух функций, функция

имеет порядок, не превосходящий [49, стр. 14].

Замечание. Аналогичным путем можно определить тип