§ 3. Оператор (1.11б) в общем случае

В § 2 мы рассмотрели порождающую функцию, которая при подстановке в (1.12) дает решения уравнения (1.6) и которая в упрощенном случае

(см. § 1) сводится к гипергеометрической функции от а именно, см. 1,11а). В настоящем параграфе мы получим пару порождающих функций, которые сводятся в "упрощенном случае к паре функций, фигурирующих в (1.116); каждая из функций последней пары является (если отбросить множитель, равный соответствующей степени и) гипергеометрической функцией от [в то время как в (1.11а) входят гипергеометрические функции от ]. Таким путем мы получим порождающие функции, дающие решения уравнения (1.6) в области, определяемой парой неравенств эта область является дополнением в полуплоскости к той области, в которой действовала порождающая функция, определенная в § 2.

Введем две последовательности функций следующим образом:

Чтобы определить каждую из этих функций однозначно, предположим дополнительно, что они допускают разложение в ряд следующего вида:

где первые два коэффициента каждого ряда удовлетворяют условиям

Сформулируем теперь теорему, которая очевидным образом связана с теоремой 2.1. Мы только наметим доказательство. Читатель может найти подробности в [27, 29].

Теорема 3.1. Пусть функции определены уравнениями Тогда каждый ряд

сходится равномерно и абсолютно для принадлежащих любому замкнутому подмножеству области, определенной неравенствами

в предположении, что Кроме того, функции удовлетворяют дифференциальному уравнению (1.8) и, таким образом, при подстановке в (1.12) порождают решения уравнения (1.6); порождающие функции для действительные постоянные). (См. [27], стр. 870.)

Замечание. Ряд (4) является порождающей функцией уравнения (1.6) при любом конечном действительном Если положить то уравнение (1.6) примет вид Все другие рассуждения остаются в основном без изменения.

Как легко усмотреть из уравнения (2), удобно заменить X новым независимым переменным определенным следующим образом уравнение (1.7)]:

Как указывалось в § 1,

где аналитическая функция в окрестности точки а именно, для где модуль особенности функции ближайшей к началу координат. Если мы рассматриваем как функции от то мы сразу находим, что уравнения (1а) и (1б) приобретают вид

[Мы вводим замену переменного (6), так как проще анализировать поведение функций с помощью уравнений (8а), (86), чем с помощью (1а),

Доказательство заключается по существу в установлении следующих четырех лемм.

Лемма 1. Функции можно выразить через следующим образом:

Доказательство состоит в проверке того, что функции определенные формулой (9), удовлетворяют дифференциальным уравнениям (86) и что их поведение вблизи согласуется с равенствами (2) и (3). См. [29, стр. 454] и [27, стр. 879].

Лемма 2. Предел (см. (1.5), стр. 168) существует и положителен. Далее, каждая из функций

удовлетворяет как функция от дифференциальному уравнению

Существование и положительность постоянной 50 немедленно следуют из определения и того факта, что мало отличается от для X, близких к нулю. Чтобы проверить, что функция удовлетворяет уравнению (11), нужно просто подставить ее в (11) и принять во внимание соотношения между переменными 5 и X и функциями их можно не приводить снова [см. (1.5), (1.3), (1.6), (3.7)]. Решение (106) мы получим, подставив в уравнение (11) и решив полученное дифференциальное уравнение относительно [Постоянный множитель в (106) выбирается, конечно, из соображений удобства, как мы увидим из леммы 3.] Подробности см. в [29, стр. 456].

Лемма 3. Функции и функции определенные в лемме 2, связаны следующими соотношениями:

где постоянная, определенная в лемме 2, а где

Такам образом, функции и можно выразить так:

Для доказательства следует заметить, что функции все удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению (8а) и что каждая из пар линейно независима, так что каждая функция одной пары представляется в виде линейной комбинации функций второй пары. Непосредственное вычисление тогда дает точные значения коэффициентов, фигурирующих в этих линейных комбинациях. Подробности см. в [29, стр. 457].

Лемма 4. Для произвольного существуют три положительные постоянные такие, что

Из уравнений (10а), (106), (12а), (126) и положительности функции и постоянных видно, что обе функции положительны при всех положительных Из уравнения (2), полагая мы видим, что каждая из функций отделена от нуля вблизи это замечание помогает установить (15а). Аналогичное рассуждение применимо к (156). Подробности см. в [29, стр. 458].

Объединяя оценки для функций данные в лемме 4, с представлением (9) функций

мы сразу получаем оценки для функций которые гарантируют абсолютную сходимость рядов (4) в области, указанной в теореме 1.1. Затем легко проверить возможность почленного дифференцирования этих двух рядов, и тогда легко доказывается, что каждая из функций в самом деле порождающая функция для дифференциального уравнения (1.6).