§ 6. Другой тип интегральных представлений гармонических функций

Как подчеркивалось ранее, интересно определить для каждого класса дифференциальных уравнений различные операторы, порождающие решения одного и того же дифференциального уравнения. Далее рассматривается класс интегральных операторов несколько иной структуры, чем (2.12) или (3.1).

Важным инструментом для изучения гармонических функций являются ньютоновские потенциалы, порожденные интегралами вида

где — открытая либо замкнутая кривая в плоскости действительные функции от С Здесь аналитическая функция комплексного переменного С. Мы предполагаем, что лежит в области регулярности Естественно также рассмотреть случай, когда комплексные функции от С. Мы предположим, что и рациональные функции от С. Таким путем мы получим класс гармонических функций

где

Определение. Функция называется ассоциированной с относительно интегрального оператора, заданного в правой части формулы (2).

Пусть

Тогда выражение их умноженное на произведение квадратов знаменателей

является полиномом, а именно:

здесь

Алгебраическая функция для каждого фиксированного X определяет риманову поверхность Обозначим через

точки разветвления [Они, вообще говоря, являются нулями полинома

см. (4); определено в формуле Точки X в области

для которых совпадают по крайней мере две точки разветвления образуют, вообще говоря, алгебраическую кривую

Обозначим через множество

и запишем

Определим теперь для оператор

Здесь достаточно малая окрестность фиксированной точки а целая аналитическая функция ориентированная кривая в однолистной плоскости состоящая из конечного числа регулярных дуг. Через обозначены начало и конец кривой

Для всех значений X — в подинтегральное выражение в (9) является двузначной функцией от X, если не проходит через точки разветвления поверхности

Общие свойства потенциалов описанного типа и их поведение, когда целая функция (или когда она регулярна в достаточно большой области), изучаются в гл. II [25]. Точке в пространстве соответствует окружность

Риманова поверхность над плоскостью определен функцией имеет четное число точек разветвления, скажем ее род равен (очевидно, не зависит от .

Определение. Пусть - фиксированная функция, заданная формулой Если пробегает все воэмоные допустимые кривые пробегает множество аналитических функций, регулярных в некоторой области, содержащей кривую то множество функций, представимых в виде (9), образует класс гармонических функций, который мы обозначим через Если мы сузим

множество допустимых кривых интегрирования, зафиксировав их начало и конец, скажем то интеграл (9) будет пробегать подкласс функций из который мы обозначим Точки могут быть взяты либо на первом, либо на втором листе римановой поверхности .