§ 7. Дифференциальное уравнение

В частном случае, когда дифференциальное уравнение имеет вид

целая функция от интегральный оператор первого рода допускает более простую, чем в общем случае, форму. Благодаря этому в данном случае можно получить различные дополнительные результаты.

Теорема 7.1. В случае дифференциального уравнения (1) порождающая функция для интегрального оператора первого рода является действительной функцией переменных

Доказательство. Напишем

где — функции, введенные в (2.7) и (2.9). Покажем, что функции зависят только от Переходя от в системе (2.9), мы получим следующие уравнения:

Формальное вычисление показывает, что уравнение (За) может быть записано в виде

так что зависит только от Если предположить, что то будет удовлетворять уравнению (4). Переходим по индукции к случаю Предположим, что зависят только от тогда равенства (36) и (4) будут выполнены, если будет решением уравнения

и если

Сходимость ряда доказывается, как выше.

Итак, в противоположность общему случаю, в этом частном случае порождающая функция оказывается действительной и мы можем говорить о сопряженных решениях уравнения (1), которые в окрестности начала координат представляются в виде

Пара решений V и получается, если использовать в качестве ассоциированной функции одну и ту же аналитическую функцию одного комплексного переменного и отделить соответственно действительную и мнимую части полученного в результате комплексного решения. Действительное решение, регулярное в начале координат, может быть записано в виде

а сопряженное к нему решение определяется формулой

Замечание. Когда функции имеют вид

Таким образом, в этом особенно простом случае имеем

где функция Бесселя. (Следовательно, можно рассматривать как обобщения бесселевых функций.)

Как установлено выше, любое действительное решение уравнения (1), регулярное в начале координат, может быть разложено в ряд (86), сходящийся в. некоторой окрестности начала координат. Можно доказать более сильный результат: ряд (8а) сходится внутри наибольшего круга с центром в начале координат, внутри которого регулярно решение. Многие результаты о соотношениях между двумя сопряженными гармоническими функциями можно обобщить на пары сопряженных решений (7а) и (76) уравнения (1).

По аналогии с регулярными решениями можно рассматривать также решения с различными особенностями, которые получаются, если использовать в качестве ассоциированной функции аналитическую функцию с особенностями. В частности, мы можем рассматривать решения с особенностями типа полюса, т. е. функции, для которых ассоциированная функция имеет полюсы. Интересно, что теорему о вычетах можно до некоторой степени распространить на решения уравнения (1). Об этом говорят следующие две теоремы.

Теорема 7.2. Пусть [см. (7а) два сопряженных решения уравнения (1), регулярных в круге

Тогда

где (Доказательство элементарно и не приводится здесь.)

Теорема 7.3. Пусть сопряженные решения имеют особенность типа полюса первого порядка в точке ассоциированная функция допускает в круге представление

где регулярна в круге Тогда

Замечание. Как указывалось в § 6, функции имеют точку разветвления бесконечного порядка в точке Если мы разрежем риманову поверхность функции F вдоль луча с началом в точке направленного по радиусу в сторону, противоположную началу координат, то кривая 6 станет незамкнутой кривой, концы которой лежат один над другим на различных листах римановой поверхности (см. рис. 1.2).

Очевидно, что достаточно доказать наше утверждение для ассоциированной функции Кривой соответствуют в плоскости кривые

Из (7а) и (76) следует, что

где (В силу абсолютной сходимости двойного интеграла мы можем менять порядок интегрирований

Для значений полюс лежит во внешности кривой интегрирования и, следовательно,

Для значений полюс лежит во внутренности кривой интегрирования и, следовательно,

Этим заканчивается доказательство теоремы.

Рис. 1.2. Кривая на римановой поверхности с точками разветвления

Замечание. Дифференцируя F по а (и принимая во внимание, что согласно (12), есть функция от а), получаем аналогичные результаты в случае, когда ассоциированная функция имеет полюс порядка

Продолжая функции на комплексные значения аргументов, мы получим интересные обобщения соотношений (10) и (12).

Предположим, что кривая интегрирования лежит на поверхности

где целая аналитическая функция одного комлексного переменного z. Тогда мы можем заменить величину функцией и получить результаты, аналогичные сформулированным в теоремах 2 и 3, стр. 54, 55.

Рассмотренный выше метод можно обобщить на случай, когда ассоциированная функция является алгебраической функцией а и когда рассматривается кривая интегрирования, такая, что для всех значений геометрическим местом точек является замкнутая кривая на римановой поверхности ассоциированной функции (Так как кривая интегрирования может оказаться незамкнутой на римановой поверхности, мы заменяем ее кривой где выбрано так, чтобы была замкнутой кривой на римановой поверхности функции Результаты такого рода рассматриваются в работе [10, § 3].

Замечание. В работе [10] исследуется уравнение рассуждения могут быть немедленно распространены на случай дифференциального уравнения (1).