§ 6. Некоторые дальнейшие свойства интегрального оператора первого рода

Оператор преобразующий аналитические функции одного комплексного переменного в гармонические функции двух действительных переменных, сохраняет многие свойства Так как аналитические функции образуют алгебру (в то время как гармонические функции образуют только линейное пространство), введение аналитических функций дает ценный инструмент для изучения гармонических функций. В дальнейшем будет показано, что оператор (см. § 2) сохраняет различные свойства функции к которой он применяется, и, таким образом, во многих случаях его роль аналогична роли оператора в случае гармонических функций.

Мы сформулируем теперь некоторые типичные результаты в этом направлении.

1. Как показывает теорема 5.1, каждое действительное решение уравнения (1.6) регулярно в каждой односвязной области действительной плоскости включающей начало координат, в которой регулярна 1), и обратно.

2. Теорема 6.1. А. Если ассоциированная функция в точке имеет полюс порядка то обращается в бесконечность того же порядка и (за исключением случая гармонических функций) имеет точку разветвления бесконечного порядка. Такая особенность называется особенностью типа полюса.

Б. Если имеет в а точку разветвления конечного порядка, то имеет точку разветвления того же порядка.

Доказательство. А. Если мы подставим в (3.46)

то

Дифференцируя выражение (2) по а, мы получаем аналогичную формулу для где целое число, большее 1.

Б. Если где взаимно простые целые числа, то

Подставив последнее выражение в формулу (3.46), мы видим, что имеет в точке точку разветвления порядка q.

3. Теорема 6.2. Для каждого дифференциального уравнения [см. (1.6)] существует множество комплексных решений, каждое из которых является целой функцией от х и у. Эти функции порождаются функциями и многие их свойства аналогичны свойствам функций которые получаются, когда гармоническое уравнение.

В частности: А. Каждое действительное решение регулярное в открытом круге может быть представлено в нем в виде

Б. Каждое решение регулярное в односвязной области можно аппроксимировать в 3) комбинацией конечного числа функций

т. е. для каждой подобласти и любого О найдутся коэффициенты такие, то

(Аналог теоремы Рунге.)

В. Различные представления для аналитических функций в звездных областях дают соответствующие представления не только для гармонических функций, но и для решений уравнения (1.6). Например, из представления

аналитической функции с элементом мы получаем представление

для решений уравнения (1.6). Это представление справедливо в каждой звездной области с центром в начале координат, в которой функция регулярна.

Г. Функции удовлетворяют соотношению

где целая функция, зависящая ом Доказательство. Свойства А, Б, В, Г следуют из теоремы 5.1. В самом деле, если действительное решение, определенное в односвязной области действительной плоскости, 0? 3), то, согласно

теореме 5.1. оно может быть продолжено на комплексные значения и представляется в в виде

В каждой замкнутой подобласти ряды (9) сходятся равномерно. По теореме Рунге, мы можем приблизить полиномом так, что

Таким образом,

Аналогично можно доказать .

4. Для дальнейших рассмотрений полезно нормаро вать ассоциированные функции первого рода, потребовав, чтобы было действительным.

Если действительное решение уравнения (1.6). задано, то мы всегда можем подобрать ассоциированную функцию удовлетворяющую такому требованию. В самом деле, согласно (4.1) и (4.2), функции имеют вид Таким образом, в силу (4.9) имеет место равенство

Здесь

Пусть действительное решение разложено в ряд

Тогда для и нормированной ассоциированной функции первого рода имеем

Из (12) и (15) следует, что

Существуют простые зависимости между свойствами действительного решения [см. (9)] и коэффициентами его разложения в ряд

Например,

А. регулярно в каждой односвязной области в которой регулярен ряд начало координат).

Отсюда следует, что расположение особенностей определяется только последовательностью независимо от коэффициентов уравнения [см. (1.6)].

Б. Мы можем интерпретировать различные результаты теории функций одного комплексного переменного, относящиеся к соотношениям между коэффициентами разложения и характером особенностей, как теоремы о связи между свойствами последовательности и свойствами решения

уравнения . В самом деле, коэффициенты для функции и коэффициенты связаны соотношением

в котором [см. (13)] зависят только от коэффициента А дифференциального уравнения.

Например, если последовательность коэффициентов ряда (17) удовлетворяет условиям Адамара; из которых следует, что функция имеет полюсы в точках то имеет особенности типа полюса в этих же точках (см. стр. 43). (В случае гармонического уравнения эти особенности являются полюсами.) Далее, если решение уравнения (1.6) в круге а последовательность определенная формулой (19), имеет ограниченную вариацию и ряд сходится, то непрерывно на единичной окружности исключая, быть может, точку

Аналогичные условия обеспечивают непрерывность № на других замкнутых кривых. Известны также достаточные условия, при которых имеет скачок на величина скачка определяется последовательностями Наконец, если ряд суммируем сходится, то

где вдоль любого пути, лежащего между двумя хордами единичной окружности, проходящими через точку [161].

Доказательство этих утверждений немедленно следует из соотношения (16), так как целая функция.

5. Кроме решения определяемого формулой (14), мы рассматриваем также функцию у которой сопряженное к z заменено независимой переменной это эквивалентно рассмотрению х и у как независимых комплексных, а не действительных переменных. Теперь, когда решения изучаются в четырехмерном пространстве двух комплексных переменных описанные выше особенности типа полюса становятся двумерными плоскостями разветвления. Можно провести детальное изучение характера таких особенностей, если выразить решение через частные решения, для которых ассоциированными первого рода являются степени разности а) или суммы таких выражений.

6. Условия на коэффициенты разложения (14), при которых функция рассматриваемая как функция z, удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению с коэффициентами, зависящими от приведены в работах [14, 171, 120].

Интересно заметить, что подпоследовательность коэффициентов играет особую роль в связи с проблемами коэффициентов. Это следует из свойств интегрального оператора первого рода. Очевидно, что информация о поведении может быть также получена из

любой другой последовательности где число фиксировано, Представим в виде

тогда соотношения между функциями эквивалентны соотношениям между упомянутыми выше подпоследовательностями. Таким образом, условия на можно заменить условиями на Чтобы получить соотношения между разложим коэффициенты уравнения (1.6) в степенные ряды по скажем

где степенные ряды по z. Подставляя разложения (21) и (20а) в (1.6), мы получаем степенной ряд по z. Чтобы выполнялось равенство (1.6), коэффициенты этого ряда должны равняться нулю. Это дает бесконечную систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Обозначим систему из первых уравнений через В систему входят функции и их производные, но не входят при Из системы получаются соотношения между а также доказывается, что имеют место следующие возможности.

I. Функции и их производные можно, вообще говоря, исключить из системы Это приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению, порядок которого не превосходит Используя известные теоремы о комплексных обыкновенных дифференциальных уравнениях, мы можем получить информацию об области регулярности и других фундаментальных свойствах функции в терминах коэффициентов фиксировано.

II. Однако существуют важные типы уравнений с частными производными (1.6), для которых нельзя использовать метод исключения или для которых исключение приводит к очень сложным условиям. В таком случае можно исследовать системы в их первоначальном виде.

III. Соотношения между могут вообще не существовать.

Общий случай характеризуется следующими свойствами. Если имеет особенность в некоторой точке, то также имеет особенность в той же точке. Обратное неверно: особые точки для могут соответствовать точкам регулярности для Однако можно привести условия, при которых последняя ситуация исключена. Эти условия особенно просты, если коэффициенты (1.6) зависят только от одного переменного. Предположим, например, что зависят только от z. Пусть односвязная область, содержащая начало координат, но не содержащая нулей функции Тогда регулярна в произведении областей тогда и только тогда, когда соответствующая функция произвольно, регулярна в (см. [120]).

Некоторые из этих результатов можно распространить на случай, когда А, В, С не являются целыми функциями. Особенности функций могут тогда проистекать либо из особенностей ассоциированной функции, либо из особенностей Следует заметить, что подобными методами можно исследовать некоторые уравнения с частными производными четвертого порядка и системы эллиптических уравнений второго порядка (см. [122, 124]).

7. Относительно теорем типа Фату см. работы [19, стр. 142 и 161].