3.5. ПИД-управление с самонастройкой: многомерный подход

При выводе закона управления для СНПИ- или СНПИД-контроллера в многомерном случае будем использовать следующую модель:

где — -вектор выходного процесса, — -вектор управляющего воздействия, — -вектор некоррелированной последовательности случайных составляющих с нулевым математическим ожиданием и ковариацией Полиномиальные -матрицы выражаются с помощью оператора обратного сдвига в следующем виде:

Для реализации рассматриваемого алгоритма требуется ряд допущений. Они приводятся ниже:

А1. Шум, нарушающий работу системы, является стабильным в том смысле, что нули полинома лежат внутри круга единичного радиуса на z-плоскости.

А2. Полиномы являются взаимно простыми.

А3. Структурные индексы системы равны, а верхние границы порядков всех скалярных полиномов, входящих в матрицы известны.

А4. Связанное с каждым каналом передачи транспортное запаздывание, составляющее не менее интервалов времени, предполагается известным и одинаковым для всех каналов.

А5. Звенья устойчивы, то есть система является минимально-фазовой.

Как и для одномерных систем, вывод закона управления выполняется на основе минимизации дисперсии псевдовыхода заданного в виде:

где — полиномиальные -матрицы, — вектор уставки. — рациональная матрица, которую можно представить следующим прямым матрично-дробным выражением:

где -матрицы числителя и знаменателя соответственно. Полиномы, задаются пользователем, что позволяет получить достаточно общий случай замкнутой системы. Положим и введем (см. [40], [41], [42]) прямое матрично-дробное описание передаточной функции в виде:

Будем считать, что Тогда можно ввести тождество:

где — полиномиальные -матрицы вида:

и

Здесь — степень полинома Чтобы разрешить проблемы, связанные с некоммутативностью произведения

матриц, введем полиномиальные матрицы такие,что

где

Используя (3.5.5), (3.5.6), (3.5.9) и (3.5.10), получим:

Умножив последнее уравнение на полином и используя уравнения (3.3.1) и (3.5.11), получим:

Обозначим через оптимальный прогноз значения по измерениям до моменту времени а через — ошибку прогноза. Таким образом, получим:

где

Заметим, что будущие ошибки ,-рованы с текущими и прошлыми измерениями входного и выходного процессов. Управление по минимуму дисперсии достигается путем выбора управляющего воздействия таким, чтобы величина обращалась в ноль. На этом основании имеем:

Здесь — фильтрованный выход. Для

непосредственного получения параметров контроллера и шумовой компоненты рассмотрим величину задаваемую выражением:

Используя (3.5.13), можно записать выражение в виде:

и

где — оптимальный прогноз величины полученный на основе данных о выходном процессе до момента времени Положим Тогда имеем:

Для оценки параметров перепишем (3.5.17) в форме:

а вектор данных зададим следующим образом:

Соответствующая матрица параметров задается в виде:

где вектор-столбец имеет следующий вид:

Здесь элементы первой строки соответственно.

Если — единичная матрица, то выражение (3.5.22) содержит только величины, известные к моменту времени и ошибка прогноза устраняется. Таким образом, параметры контроллера могут быть получены на основе схемы оценивания параметров, например, рекурсивной оценки по методу наименьших квадратов. Если — не единичная матрица, то оценка параметра будет смещена, так как величина неизвестна. Однако можно заменить ее оценкой , которую можно рассчитать, а затем для получения оценок параметров использовать обычный рекурсивный метод наименьших квадратов. Этот метод аналогичен расширенному методу наименьших квадратов [31], [32]. Вектор данных задается следующим образом:

Чтобы получить структуру многомерного ПИД-контроллера в выражении (3.5.17), необходимо, чтобы степень полинома была равна двум. Поэтому

Следующее требование — введение интегрирующего управляющего воздействия в закон управления многомерного УОМД. Это можно сделать, положив

где

Устранение установившейся ошибки выполняется несколько по-другому: где

Закон управления записывается в виде:

Выражения для параметров многомерного СНПИД-контроллера в терминах параметров многомерного ПИД-контроллера записываются следующим образом:

где

Для реализации структуры ПИ- или ПИД-контроллера степень должна быть равна 1 или 2 соответственно. Предполагая взаимную простоту и несингулярность матриц для случая, когда получим Степень полинома таким образом, определяется степенями полиномов Отсюда следует, что если степень полинома равна 1, то эффективным является ПИ- или ПИД-контроллер, в зависимости от того, равна степень полинома единице или двум. В некоторых случаях подходит управление системой первого порядка с помощью ПИ-контроллера. Преимущество такого варианта — в меньшем количестве параметров, которые требуется оценивать и предварительно выбирать. Однако для некоторых процессов требуются дифференцирующие воздействия с целью устранения осцилляций, возникающих вблизи уставки из-за медленного действия контроллеров. Диапазон процессов, управляемых с использованием данного алгоритма,

ограничивается третьим порядком. Однако можно доказать, что для процессов более высоких порядков может быть применена процедура редукции модели. Некоторые примеры редукции модели приводятся в [43—45]. Если не единичная матрица, то для определения требуется сначала вычислить наибольший общий делитель а затем воспользоваться формулами (3.5.7), (3.5.8), (3.5.12), (3.5.13). В этом случае степень полинома не обязана совпадать со степенью полинома