5.3.4. Применение стратегии оптимального управления для стабилизации маятника

Нечеткий контроллер применяется в основном для начальной установки инвертированного маятника. Характеристики системы можно улучшить за счет добавления нечетких правил. Однако из-за ограниченности памяти и быстродействия персонального компьютера увеличение количества нечетких правил практически невозможно для систем реального времени, когда требуется быстрая реакция. Кроме того, достаточно сложно выбрать набор правил, обеспечивающий улучшение характеристик нечеткого контроллера. Обычно для грубой настройки применяется второй набор правил, предназначенный для стабилизационного управления.

Отметим, что в «диапазоне устойчивости» нелинейные уравнения динамики, описывающие инвертированный маятник, могут быть аппроксимированы линейными уравнениями. В этом случае для стабилизации инвертированного маятника можно использовать традиционные методы управления. В данном случае применяется теория линейного квадратичного оптимального управления [35]. Рассмотрим сначала уравнения движения маятника и тележки:

где — эквивалентная масса тележки; — масса инвертированного маятника; — эквивалентный коэффициент трения тележки; — расстояние от оси до центра тяжести маятника; — момент инерции центра тяжести маятника; С — коэффициент вязкого трения оси; — ускорение силы тяжести.

Если считать, что и использовать приближенные равенства как точные, то нелинейная система уравнений (5.3.1), (5.3.2) становится линейной. В этом случае имеем

где

В дискретном времени данные уравнения представляются следующим образом:

где — интервал дискретизации. Стратегия оптимального управления состоит в минимизации функции затрат задаваемой выражением

Оптимальный управляющий сигнал задается в этом случае выражением:

где Н — устойчивое решение уравнения Риккати:

Используя приведенную выше линейную аппроксимацию системы, можно применить линейное квадратичное оптимальное управление для стабилизации маятника. Так как значение неизвестно, необходимо найти его оценку по данным наблюдения Авторами данного исследования

Рис. 5.3.6. Результаты эксперментов при использовании линейного оптимального управления с наблюдателем минимального порядка.

разработан алгоритм наблюдения. Оценка обозначается в нем через Алгоритм наблюдения можно построить таким образом, чтобы сходилось к при больших значениях При этом используется следующий закон обратной связи:

Результаты экспериментов при использовании вышеописанной схемы оптимального управления показаны на рис. 5.3.6. Из них видно, что характеристики системы стабилизации маятника улучшаются.