3.7.1. Краткие сведения по теории нечетких множеств и нечетких систем

Теория нечетких множеств — активно развивающаяся сфера исследований. Некоторые ее аспекты рассмотрены в работах [61,62,63,64,65]. В данном разделе приводится краткий обзор теории нечетких множеств с точки зрения Коско (Kosko) [64]. Согласно этой теории [64], нечеткое множество можно определить как точку в кубе, а нечеткую систему — как отображение между такими кубами. — нечеткая система, отображающая нечеткое множество в нечеткое множество. Таким образом, нечеткая система преобразует нечеткие множества из одного гиперкуба в другой гиперкуб

где Р — -мерный единичный гиперкуб, содержащий все нечеткие подмножества области определения, а содержит все нечеткие подмножества области значений. Вообще говоря, нечеткая система отображает семейства нечетких множеств друг на друга, т.е.

Такие нечеткие системы действуют как элементы ассоциативной памяти, когда они отображают замкнутые входы на замкнутые выходы; в этом смысле к ним применяется название «нечеткая ассоциативная память» (НАП). Простейшая НАП кодирует НАМ-правило, или ассоциацию связывающую -мерное нечеткое множество В. с -мерным нечетким множеством А. Такие минимальные НАП отображают один элемент из гиперкуба 1° в один элемент гиперкуба

В теории нечетких множеств [30] определены три основные операции: дополнение, объединение и пересечение нечетких множеств. Дополнение нечеткого множества А обозначается, как и определяется выражением:

где X — множество точек вещественной оси — функция принадлежности нечеткого множества А, принимающая значения в диапазоне от 0 до 1. Объединение двух нечетких множеств А и В с соответствующими функциями принадлежности — это нечеткое множество С, обозначаемое как Его функция принадлежности определяется по функциям принадлежности множеств А и В в соответствии с выражением:

или в сокращенной форме:

Пересечение двух нечетких множеств А и В с функциями принадлежности — это нечеткое множество С, обозначаемое как Его функция принадлежности определяется выражением:

или в сокращенной форме:

Проще говоря, объединение нечетких множеств А и В — это самое малое нечеткое множество, содержащее как А, так и В. Пересечение нечетких множеств А и В — это нечеткое множество, содержащееся как в А, так и в В.

Вообще говоря, НАП-система осуществляет кодирование и параллельную обработку набора из НАМ-правил как показано нарис. 3.7.1. Каждый вход НАП-системы А активизирует каждое из хранимых НАМ-правил в различной степени. Минимальное НАМ-правило, ассоциация, или правило ) отображает вход А в выход В., представляющий собой частично активированный вариант В.. Чем больше вход А напоминает А., тем больше В, напоминает В.. Соответствующее выходное нечеткое множество В объединяет эти частично активированные нечеткие множества

Рис. 3.7.1. Архитектура НАП-системы. НАМ-ассоциации или правила (от 1 до ) включаются параллельно, создавая выходное нечеткое множество В. Затем выполняется “ликвидация нечеткости”: преобразование В в числовую величину

оно представляет собой взвешенное среднее частично активированных множеств:

Коэффициент отражает частоту или силу нечеткой ассоциации На практике выходное нечеткое множество В может быть преобразовано в конкретную числовую величину у. на действительной оси для этого вычисляется нечеткий центроид множества В относительно выходного универсального множества У.