3.6.2. Модель объекта управления и решение задачи оптимизации
Рассмотрим сначала алгоритм ОПУ для систем с одним входом и одним выходом. При выводе алгоритма ОПУ Кларк и др. ввели модель УАРПСС (управляемая авторегрессия — проинтегрированное скользящее среднее); эта модель является более подходящей для использования в управлении процессами с целью устранения смещения, вызываемого возмущениями. Эти возмущения можно смоделировать как дрейф (броуновское
движение) или как ступенчатую случайную величину, изменяющуюся в случайные моменты времени. Модель УАРПСС с временной задержкой 
равной 1, может быть записана в следующей форме:
Возмущающее воздействие может быть как детерминированным, так и стохастическим, однако за счет оператора А его математическое ожидание принимается равным нулю. В подходе на основе ОПУ процесс 
предполагается стохастическим, а полином 
— устойчивым и равным 1.
Для решения задачи оптимизации (3.6.2) требуется вычислить прогноз на 
шагов вперед для выходного процесса 
при 
Вычисления выполняются на основе информации, известной в момент времени 
а также информации о будущих значениях инкремента управления, которые требуется выбирать таким образом, чтобы оптимизировать критерий (3.6.2). Прогноз выходного процесса на 
шагов можно описать в следующей форме:
где 
и 
получены путем рекурсивного решения диофантова уравнения:
где 
Вычитая уравнение (3.6.5) из уравнения (3.6.6), получим
Таким образом,
Полагая 
получим
Из уравнения (3.6.7) получим:
Так как слагаемое 
содержит члены 
значит, первый 
член выражения 
нулевой. Отсюда следует, что 
Таким образом, имеем
и
Приравнивая члены при одинаковых степенях 
получим:
где индекс! изменяется от 0 до степени полинома.
Прогноз выходного значения можно разбить на две компоненты: 
которая известна в момент 
и 
— компонента, соответствующая управляющему воздействию. Таким образом,
где
Здесь Г — нижняя треугольная 
-матрица. Ее элементы представляют собой величины реакции объекта управления на соответствующих шагах.
Отличительная особенность алгоритма ОПУ состоит в том, что выбор параметров 
, является гибким и не влияет на устойчивость управляемой системы. Однако правильный выбор величин 
обеспечивает сокращение времени вычислений.
Квадратичной показатель качества (3.6.2) теперь можно представить в виде
где 
— вектор заранее заданных уставок. Получение инкрементного вектора управления 
для будущих моментов времени достигается посредством дифференцирования показателя качества по 
Таким образом, получим:
Так как требуется только первое управляющее воздействие, имеем
где 
— первая строка матрицы 
Чтобы сделать алгоритм самонастраивающимся,
выполняется оценка параметров объекта управления на основе рекурсивного метода наименьших квадратов, рассмотренного в разделе 3.2. Векторы данных и параметров для модели объекта управления записываются в следующем виде:
