В этом параграфе мы обсудим вопросы динамики квантовых систем. Основное предположение уже по существу было сделано в § 4, когда мы говорили о необходимости введения лиевской операции в алгебре наблюдаемых квантовой механики и о ее связи с динамикой. Поэтому мы прямо начнем с того, что постулируем так называемую картину Гейзенберга. Эта картина является аналогом классической картины Гамильтона. Так же как и в классической механике, в этой картине наблюдаемые \( A \) зависят, а состояния \( \omega \leftrightarrow M \) не зависят от времени
\[
\begin{array}{c}
\frac{d M}{d t}=0, \\
\frac{d A(t)}{d t}=\{H, A(t)\}_{h} .
\end{array}
\]

Здесь \( H \) – оператор полной энергии системы, являющийся аналогом функции Гамильтона классической механики. Оператор \( H \) иногда называют оператором Шредингера. Форма записи картины Гейзенберга точно такая же, как картины Гамильтона, только в правой части стоит квантовая скобка Пуассона вместо классической.
Как и в классической механнке, уравнение
\[
\frac{d A(t)}{d t}=\{H, A(t)\}_{h}
\]

вместе с начальным условием
\[
\left.A(t)\right|_{t=0}=A
\]

задает однопараметрическое семейство автоморфизмов алгебры наблюдаемых \( \mathfrak{A} \).

Зависимость среднего значения от времени определяется формулой
\[
\langle A(t) \mid \omega\rangle=\operatorname{Tr} A(t) M .
\]

Уравнение (2) с начальным условием (3) имеет единственное решение, которое может быть записано в виде
\[
A(t)=e^{\frac{i}{h} H t} A e^{-\frac{i}{h} H t} .
\]

Действительно,
\[
\frac{d A(t)}{d t}=\frac{i}{h}[H, A(t)]=\{H, A(t)\}_{h} .
\]

Выполнение начального условия очевидно.
Оператор \( U(t)=e^{-\frac{i}{h} H t} \), который появился в записи решения (4), называется оператором эволюции. Оператор эволюции является унитарным оператором вследствие самосопряженности оператора \( H \)
\[
U^{*}(t)=e^{\frac{i}{h} H t}=U^{-1}(t) .
\]

Множество операторов \( U(t) \) образует однопараметрическую группу
\[
U\left(t_{2}\right) U\left(t_{1}\right)=U\left(t_{1}+t_{2}\right), \quad U^{-1}(t)=U(-t) .
\]

Если наблюдаемые \( H \) и \( A \) коммутируют, то \( \{H, A\}_{h}=0 \) и среднее значение наблюдаемой \( A \) не зависит от времени. Такие наблюдаемые называются квантовыми интегралами движения.

В квантовой механике существует вторая эквивалентная картина движения, являющаяся аналогом классической картины Лиувилля. Для того чтобы сформулировать эту картину, преобразуем формулу для среднего значения
\[
\begin{aligned}
\langle A(t) \mid \omega\rangle=\operatorname{Tr} U^{*}(t) A U(t) M=\operatorname{Tr} A U(t) M U^{*}(t) & =\operatorname{Tr} A M(t)= \\
& =\langle A \mid \omega(t)\rangle,
\end{aligned}
\]

где
\[
\omega(t) \leftrightarrow M(t)=U(t) M U^{*}(t)
\]

и \( M(t) \) является единственным решением уравнения
\[
\frac{d M(t)}{d t}=-\{H, M(t)\}_{h}
\]

с начальным условием
\[
\left.M(t)\right|_{t=0}=M .
\]

Мы пришли к так называемой картине Шредингера. В этой картине зависящими от времени оказываются состояния
\[
\begin{array}{c}
\frac{d M(t)}{d t}=-\{H, M(t)\}_{h}, \\
\frac{d A}{d t}=0 .
\end{array}
\]

По самому способу введения картина Шредингера эквивалентна картине Гейзенберга, так как зависимость средних значений наблюдаемых в этих картинах является одинаковой.

Теперь рассмотрим зависимость от времени чистых состояний в картине Шредингера. Согласно общей формуле (5)
\[
P_{\psi}(t)=U(t) P_{\psi} U^{*}(t) .
\]

Подберем зависимость вектора состояний \( \psi(t) \) от времени так, чтобы выполнялось равенство
\[
P_{\psi}(t)=P_{\psi(t)} .
\]

Проверим, что этому условию удовлетворяет
\[
\psi(t)=U(t) \psi .
\]

Пусть \( \xi \) – произвольный вектор, тогда
\[
\begin{aligned}
P_{\psi(t)} \xi=(\xi, \psi(t)) \psi(t) & =(\xi, U(t) \psi) U(t) \psi= \\
& =U(t)\left(U^{*}(t) \xi, \psi\right) \psi=U(t) P_{\psi} U^{*}(t) \xi=P_{\psi}(t) \xi .
\end{aligned}
\]

Таким образом, зависимость от времени вектора \( \psi(t) \) по формуле (9) гарантирует правильную зависимость от времени чистого состояния. Заметим, что (9) не следует и не может следовать с необходимостью из (5), так как вектор состояния определяется состоянием с точностью до множителя по модулю, равного единице. Несмотря на это, в квантовой механике всегда считается, что зависимость векторов состояния от времени определяется формулой (9). Отметим, что эволюция не меняет нормировки вектора состояния,
\[
\|\psi(t)\|=\|\psi\|,
\]

так как \( U(t) \) – унитарный оператор.
Вектор \( \psi(t) \) удовлетворяет уравнению
\[
i h \frac{d \psi(t)}{d t}=H \psi(t)
\]

и начальному условию
\[
\left.\psi(t)\right|_{t=0}=\psi .
\]

Уравнение (10) называется уравнением Шредингера и является основным уравнением квантовой механики.

Рассмотрим теперь состояния, которые в картине Шредингера не зависят от времени. Такие состояния называются стационарными. Очевидно, среднее значение любой наблюдаемой и вероятности ее определенных значений в стационарных состояниях от времени не зависят. Условие стационарности сразу следует из (6) и имеет вид
\[
\{H, M\}_{h}=0 .
\]

Рассмотрим чистые стационарные состояния. Из (11) имеем*
\[
H P_{\psi(t)}=P_{\psi(t)} H .
\]
* Заметим, что из независимости \( P_{\psi(t)} \) от времени отнюдь не следует, что вектор \( \psi(t) \), удовлетворяющий уравнению Шредингера, не зависит от времени.

Подействуем левой и правой частями этого равенства на вектор \( \psi(t) \)
\[
H \psi(t)=(H \psi(t), \psi(t)) \psi(t) .
\]

Число \( E=(H \psi(t), \psi(t))=\operatorname{Tr} P_{\psi(t)} H \) от времени не зависит, и мы видим, что при любом \( t \) вектор \( \psi(t) \) является собственным вектором оператора \( H \) с собственным значением \( E \). Поэтому уравнение Шредингера для вектора \( \psi(t) \) принимает вид
\[
\text { ih } \frac{d \psi(t)}{d t}=E \psi(t) .
\]

Решение этого уравнения:
\[
\psi(t)=\psi(0) e^{-\frac{i}{h} E t} .
\]

Таким образом, чистые стационарные состояния – это состояния с определенной энергией, и вектор, определяющий такое состояние, зависит от времени по формуле (12).
Уравнение
\[
H \varphi_{i}=E_{i} \varphi_{i}
\]

иногда называют стационарным уравнением Шредингера. Основные задачи квантовой механики сводятся к решению этого уравнения. Числа \( E_{i} \), согласно общему физическому толкованию, есть возможные значения энергии (энергетические уровни) системы. Состояние, соответствующее наименьшему значению энергии \( E_{1} \), называется основным состоянием системы, остальные состояния – возбужденными. Если известны собственные векторы \( \varphi_{i} \) оператора \( H \), то легко может быть построено решение задачи Коши для уравнения Шредингера
\[
\begin{array}{c}
i h \frac{d \psi(t)}{d t}=H \psi(t), \\
\left.\psi(t)\right|_{t=0}=\psi .
\end{array}
\]

Для этого достаточно разложить вектор \( \psi \) по собственному базису оператора \( H \)
\[
\psi=\sum_{i=1}^{n} c_{i} \varphi_{i}, \quad c_{i}=\left(\psi, \varphi_{i}\right)
\]

и использовать формулу (9). Тогда мы получим решение задачи Коши в виде
\[
\psi(t)=\sum_{j=1}^{n} c_{i} \varphi_{i} e^{-\frac{i}{h} E_{i} t} .
\]

Эту формулу называют обычно формулой разложения решения уравнения Шредингера по стационарным состояниям.

В заключение этого параграфа получим соотношение неопределенности время – энергия. Полагая в (7.1) \( B=H \), имеем
\[
\Delta_{\omega} A \Delta_{\omega} H \geqslant \frac{h}{2}\left|\left\langle\{A, H\}_{h} \mid \omega\right\rangle\right| .
\]

Вспоминая, что в картине Гейзенберга \( \frac{d A}{d t}=\{H, A\}_{h} \) и используя очевидное равенство \( \frac{d A_{\mathrm{cp}}}{d t}=\left\langle\left.\frac{d A}{d t} \right\rvert\, \omega\right\rangle \), соотношение (14) перепишем в виде
\[
\Delta_{\omega} A \Delta_{\omega} H \geqslant \frac{h}{2}\left|\frac{d A_{\mathrm{cp}}}{d t}\right| \text {. }
\]

Введем промежуток времени \( \Delta_{\omega} t_{A}=\Delta_{\omega} A /\left|\frac{d A_{\mathrm{cp}}}{d t}\right| \).
За время \( \Delta_{\omega} t_{A} \) среднее значение наблюдаемой \( A_{\text {ср }} \) смещается на «ширину» распределения \( \Delta_{\mathrm{o}} A \). Поэтому \( \Delta_{\omega} t_{A} \) есть характерное для состояния \( \omega \) и наблюдаемой \( A \) время, за которое функция распределения \( \omega_{A}(\lambda) \) успевает заметно измениться. Из неравенства
\[
\Delta_{\omega} t_{A} \Delta_{\omega} H \geqslant h / 2
\]

следует, что множество значений \( \Delta_{\omega} t_{A} \) для всевозможных наблюдаемых \( A \) в состоянии \( \omega \) ограничено снизу.

Полагая \( \Delta t=\inf _{A} \Delta_{\omega} t_{A} \) и обозначая \( \Delta_{\omega} H \) через \( \Delta E \), получим, что для любого состояния \( \omega \) справедливо неравенство
\[
\Delta E \Delta t \geqslant h / 2 \text {. }
\]

Это и есть соотношение неопределенности время – энергия. Физический смысл этого соотношения существенно отличается от смысла соотношений неопределенности (7.1). В формуле (7.1) \( \Delta_{\omega} A \) и \( \Delta_{\omega} B \) – неопределенности в значениях наблюдаемых \( A \) и \( B \) в состоянии \( \omega \) в один и тот же момент времени. В соотношении (15) \( \Delta E \) – неопределенность энергии, и она от времени не зависит, а \( \Delta t \) характеризует время, за которое успевает заметно измениться распределение хотя бы одной из наблюдаемых. Чем меньше величина \( \Delta t \), тем больше состояние \( \omega \) отличается от стационарного. Для сильно нестационарных состояний \( \Delta t \) мало и неопределенность энергии \( \Delta E \) должна быть достаточно велика. Наоборот, если \( \Delta E=0 \), то \( \Delta t=\infty \). В этом случае состояние является стацнонарным.