В этом параграфе мы рассмотрим свойства коммутирующих операторов, еще раз обсудим вопрос об одновременной измеримости наблюдаемых и введем важное для квантовой механики понятие полного набора коммутирующих наблюдаемых.

Для начала рассмотрим два самосопряженных коммутирующих оператора \( A \) и \( B \) с чисто точечным спектром. Покажем, что такие операторы имеют общий полный набор собственных векторов. Пусть
\[
\begin{array}{ll}
A \varphi_{m}^{(i)}=\lambda_{m} \varphi_{m}^{(i)}, & i=1,2, \ldots, \\
B \psi_{n}^{(j)}=\mu_{n} \psi_{n}^{(j)}, & j=1,2, \ldots,
\end{array}
\]

По условию наборы векторов \( \left\{\varphi_{m}^{(i)}\right\} \) и \( \left\{\psi_{n}^{(j)}\right\} \) являются полными в пространстве состояний \( \mathscr{H} \).

Обозначим через \( \mathscr{H}_{m} \) собственное подпространство оператора \( A \), соответствующее собственному значению \( \lambda_{m} \), через \( P_{m} \) проектор на это подпространство. Аналогично введем \( \mathscr{\mathscr { C }}_{n}^{\prime} \) и \( P_{n}^{\prime} \) для оператора \( B \). Из условия \( A B=B A \) следует, что \( P_{m} P_{n}^{\prime}=P_{n}^{\prime} P_{m} \). Введем оператор \( P_{m n}=P_{m} P_{n}^{\prime} \). Очевидно, что \( P_{m n} \) – оператор проектирования на подпространство \( \mathscr{H}_{m n}= \) \( =\mathscr{H}_{m} \cap \mathscr{H}_{n}^{\prime} \). Если \( \varphi \in \mathscr{H}_{m n} \), то он удовлетворяет обоим уравнениям (1). Далее, \( \mathscr{H}_{m n} \perp \mathscr{H}_{m^{\prime} n^{\prime}} \), если индекс \( m n \) отличен от индекса \( m^{\prime} n^{\prime} \). Пусть \( \left\{\varphi_{m n}^{(k)}\right\}, k=1,2, \ldots \) – базис в подпространстве \( \mathscr{H}_{m n} \). Для того чтобы доказать полноту системы векторов \( \left\{\varphi_{m n}^{(k)}\right\} k, m, n=1,2, \ldots \) в \( \mathscr{H} \), достаточно проверить, что не существует вектора \( \varphi \in \mathscr{G}, \varphi
eq 0 \), ортогонального ко всем \( \mathscr{H}_{m n} \). Из полноты набора собственных векторов оператора \( A \) следует, что для любого \( \varphi
eq 0 \) найдется номер \( m \), для которого \( P_{m} \varphi
eq 0 \). Аналогично найдется номер \( n \) такой, что \( P_{n}^{\prime} P_{m} \varphi
eq 0 \), т. е. \( P_{m n} \varphi
eq 0 \) для любого \( \varphi
eq 0 \) и некоторых \( m \) и \( n \).

Таким образом, мы показали, что \( \left\{\varphi_{m n}^{(k)}\right\} \) является базисом в \( \mathscr{H} \), состоящим из общих собственных векторов операторов \( A \) и \( B \).

Справедливо и обратное утверждение. Если два оператора имеют общий полный набор собственных векторов, то они коммутируют. Действительно, пусть \( \left\{\varphi_{m n}^{(k)}\right\} \) – общий полный набор
собственных векторов операторов \( A \) и \( B \)
\[
\begin{array}{l}
A \psi_{m n}^{(k)}=\lambda_{m} \varphi_{m n}^{(n)}, \\
B \varphi_{m n}^{(k)}=\mu_{n} \varphi_{m n}^{(k)}, \quad k=1,2, \ldots
\end{array}
\]

Тогда \( A B \varphi_{m n}^{(k)}=\lambda_{m} \mu_{n} \varphi_{m n}^{(k)} \) и \( B A \varphi_{m n}^{(k)}=\lambda_{m} \mu_{n} \varphi_{m n}^{(k)} \). Из полноты набора следует, что \( A B \varphi=B A \varphi \) для любого \( \varphi \in \mathscr{H} \).

Доказанные утверждения справедливы для произвольного числа попарно коммутирующих самосопряженных операторов \( A_{1}, \ldots, A_{n}, \ldots \) с чисто точечным спектром и с некоторыми оговорками для операторов с непрерывным спектром.

Имеет место также следующее утверждение. Если самосопряженные операторы \( A_{1}, \ldots, A_{n} \) попарно коммутируют, то существует такой самосопряженный оператор \( R \), что все операторы \( A_{i}, i=1,2, \ldots, n \) являются его функциями \( A_{i}=F_{i}(R) \).

Для операторов с чисто точечным спектром построить такой оператор \( R \) очень легко. Рассмотрим случай двух коммутирующих операторов \( A \) и \( B \). Они имеют общую полную систему собственных векторов \( \left\{\varphi_{m n}^{(k)}\right\} \), которые удовлетворяют уравнениям (2). Определим оператор \( R \) соотношениями
\[
R \varphi_{m n}^{(k)}=r_{m n}^{(k)} \varphi_{m n}^{(k)},
\]
где \( r_{m n}^{(k)} \) – вещественные различные числа. Очевидно, что \( R \) самосопряженный оператор с простым чисто точечным спектром. Введем теперь вещественные функции \( F(x) \) и \( G(x) \), удовлетворяющие условиям \( \lambda_{m}=F\left(r_{m n}^{(k)}\right), \mu_{n}=G\left(r_{m n}^{(k)}\right) \). Для значений \( x \), не совпадающих с числами \( r_{m n}^{(k)} \) вид функций \( F(x) \) и \( G(x) \) несуществен. Из определения функции от оператора сразу следует, что \( A=F(R) \) и \( B=G(R) \). Общая теорема для коммутирующих операторов \( A_{1}, \ldots, A_{n} \) с произвольным спектром была доказана фон Нейманом.

Обсудим физические следствия сформулированных утверждений для коммутирующих операторов. Напомним, что соотношение неопределенностей Гейзенберга не накладывает никаких ограничений на дисперсии коммутирующих наблюдаемых и в этом смысле мы назвали их одновременно измеримыми. Мы теперь можем уточнить понятие одновременной измеримости. Последнее утверждение показывает, что для измерения численных значений коммутирующих наблюдаемых достаточно измерить одну наблюдаемую \( R \), т. е. принципиально возможно при единичном измерении узнать численные значения всех наблюдаемых \( A_{1}, \ldots, A_{n} \). Из существования системы общих собственных векторов следует существование бесконечного множества состояний, в которых все эти наблюдаемые имеют определенные численные значения. Наконец, из результатов следующего параграфа будет следовать, что можно построить общую функцию
распределения численных значений одновременно измеримых наблюдаемых для любого состояния.

Введем понятие функции от коммутирующих операторов \( A \) и \( B \). По вещественной функции \( f(x, y) \) можно построить самосопряженный оператор \( f(A, B) \), положив
\[
f(A, B) \varphi_{m n}^{(k)}=f\left(\lambda_{m}, \mu_{n}\right) \varphi_{m n}^{(k)},
\]

где векторы \( \varphi_{m n}^{(k)} \) удовлетворяют (2). Это определение согласуется с введенным ранее определением функции от одновременно измеримых наблюдаемых.

Справедливым является следующее утверждение. Если оператор \( D \) коммутирует с любым оператором \( C \), коммутирующим со всеми операторами \( A_{1}, \ldots, A_{n},\left[A_{i}, A_{k}\right]=0 \), то оператор \( D \) является функцией от этих операторов. При доказательстве опять ограничимся случаем двух операторов с чисто точечным спектром.

Пусть каждой паре собственных значений \( \lambda_{m} \) и \( \mu_{n} \) соответствует один собственный вектор
\[
A \varphi_{m n}=\lambda_{m} \varphi_{m n}, \quad B \varphi_{m n}=\mu_{n} \varphi_{m n} .
\]

В этом случае достаточно коммутативности оператора \( D \) с самими операторами \( A \) и \( B \). Действительно, если \( [D, A]=0 \) и \( \varphi \in \mathscr{H}_{m} \), то и \( D \varphi \in \mathscr{H}_{m} \), так как \( A D \varphi=D A \varphi=\lambda_{m} D \varphi \). Аналогично из условия \( [D, B]=0 \) получаем, что вместе с \( \varphi \in \mathscr{H}_{n}^{\prime} \) и \( D \varphi \in \mathscr{H}_{n}^{\prime} \). Поэтому, если \( \varphi \in \mathscr{H}_{m n} \), то \( D \varphi \in \mathscr{H}_{m n} \). По условию пространства \( \mathscr{H}_{m n} \) однсмерны и \( D \varphi_{m n} \) лишь численным множителем. может отличаться от \( \varphi_{m n} \), т. е. \( D \varphi_{m n}=x_{m n} \varphi_{m n} \). Выбирая функцию \( f(x, y) \) такую, что \( x_{m n}=f\left(\lambda_{m}, \lambda_{n}\right) \), видим: \( D=f(A, B) \).

Перейдем к более сложному случаю, когда подпространства \( \mathscr{H}_{m n} \) не являются одномерными
\[
A \varphi_{m n}^{(k)}=\lambda_{m} \varphi_{m n}^{(k)}, \quad B \varphi_{m n}^{(k)}=\mu_{n} \varphi_{m n}^{(k)}, \quad k=1,2, \ldots
\]

Рассмотрим совокупность собственных векторов, соответствующих паре \( \lambda_{m}, \mu_{n} \). Индекс \( m n \) для сокращения записи опустим. Введем операторы \( C^{(1)} \) и \( C^{(i l)} \), определив их равенствами
\[
\begin{array}{c}
C^{(j)} \varphi^{(k)}=\delta_{j k} \varphi^{(k)}, \\
C^{(j l)} \varphi^{(k)}=\left\{\begin{array}{ll}
\varphi^{(j)}, & k=l, \\
\varphi^{(l)}, & k=j, \\
0, & k
eq j, \quad k
eq
\end{array}\right. \\
C^{(j)} \varphi=C^{(j l)} \varphi=0, \quad \varphi \in \mathscr{H}_{m n}^{\perp},
\end{array}
\]
где \( \mathscr{H}_{m n}^{1} \) – ортогональное дополнение к подпространству \( \mathscr{H}_{m n} \). Легко проверить, что все операторы \( C^{(f)} \) и \( C^{(j l)} \) коммутируют
с \( A \) и \( B \). Из условия \( \left[D, C^{(j)}\right]=0 \) получим
\[
D \varphi^{(j)}=D C^{(j)} \varphi^{(j)}=C^{(j)} D \varphi^{(j)},
\]
откуда следует, что \( D \varphi^{(j)} \) пропорционален \( \varphi^{(j)} \) :
\[
D \varphi^{(j)}=x^{(j)} \varphi^{(j)} .
\]

Покажем, что все числа \( x^{(j)} \) совпадают
\[
x^{(j)} \varphi^{(j)}=D \varphi^{(l)}=D C^{(j l)} \varphi^{(l)}=C^{(j l)} D \varphi^{(l)}=C^{(j l)} x^{(l)} \varphi^{(l)}=x^{(l)} \varphi^{(j)} .
\]

Таким образом, векторы \( \varphi_{m n}^{(k)} \) являются собственными векторами оператора \( D \), причем собственные значения от индекса \( k \) не зависят \( D \Phi_{m n}^{(k)}=x_{m n} \varphi_{m n}^{(k)} \). Поэтому, как и в первом случае, \( D=f(A, B) \).

Обратим внимание на то, что коммутативности оператора \( D \) с самими операторами \( A \) и \( B \) здесь было бы недостаточно. Более того, если из условия коммутативности оператора \( D \) с \( A \) и \( B \) следует \( D=f(A, B) \), то можно утверждать, что каждой паре собственных значений \( \lambda_{m} \) и \( \mu_{n} \) соответствует один собственный вектор \( \varphi_{m n} \). Действительно, если таких векторов несколько, то всегда может быть построен оператор, коммутирующий с \( A \) и \( B \) и не являющийся их функцией. В качестве такого оператора можно взять, например, оператор \( C^{(j l)} \).

Теперь мы можем ввести важнбе понятие о полной системе коммутирующих операторов. Система самосопряженных операторов \( A_{1}, \ldots, A_{n} \) называется полной системой коммутирующих операторов, если
1) операторы \( A_{i} \) попарно коммутируют \( \left[A_{i}, A_{j}\right]=0, i, j=1 \), \( 2, \ldots, n \),
2) ни один из операторов \( A_{i} \) не является функцией от остальных,
3) любой оператор, коммутирующий со всеми \( A_{i} \), есть функция от этих операторов.

Из доказанных выше утверждений и условий 1) и 3) определения полного набора \( A_{1}, \ldots, A_{n} \) следует, что существует общая полная система собственных векторов всех этих операторов
\[
A_{i} \varphi_{a_{1}, \ldots, a_{n}}=a_{i} \varphi_{a_{1}, \ldots, a_{n},} \quad i=1,2, \ldots, n,
\]
причем каждой совокупности собственных значений \( a_{1}, \ldots, a_{n} \) соответствует один собственный вектор \( \varphi_{a_{1}}, \ldots, a_{n} \). Из условия 2) следует, что последним свойством не обладает общая полная система векторов для части операторов \( A_{1}, \ldots, A_{n} \). Фактически условие 2) обозначает, что среди операторов \( A_{1}, \ldots, A_{n} \) нет «лишних».

Если в результате измерений известно, что численные значения полного набора наблюдаемых \( A_{1}, \ldots, A_{n} \) в некотором
состоянии с достоверностью равны \( a_{1}, \ldots, a_{n} \), то можно утверждать, что это состояние описывается вектором \( \varphi_{a_{1}}, \ldots, a_{n} \).

В заключение заметим, что если набор попарно коммутирующих независимых операторов не является полным, то его можно и притом многими способами дополнить до полного набора.