В этом параграфе построим все неприводимые представления группы вращений. В качестве пространства представлений мы выберем гильбертово пространство ${\mathcal{D}}_2$ функций $f(\xi ,\eta )$ $(\xi \in \mathbf{C},\eta \in \mathbf{C}$ ) вида
$$f(\xi ,\eta )=\sum _{n_1,n_2=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{n_1}{C}_{n_2}\frac{{\xi }^{n_1}{\eta }^{n_2}}{\sqrt{n_1{n}_2!}},\sum _{n_1,n_2}{\left|C_{n_1{n}_2}\right|}^2<\mathrm{\infty }$$
со скалярным произведением
$$(f,g)=\frac{1}{{\pi }^2}{\int }_{0}f(\xi ,\eta )\overline{g(\xi ,\eta )}{e}^{-|\xi {|}^2-|\eta {|}^2}d\mu (\xi )d\mu (\eta ).$$
Точно так же, как в $\mathrm{\S }19$, проверяется, что функции $f_{n_1{n}_2}=$ $=\frac{{\xi }^{n_1}{\eta }^{n_2}}{\sqrt{n_1!n_2!}}$ образуют ортонормированный базис в этом пространстве $(f_{n_1{n}_2},f_{n_1^{\prime }{n}_2^{\prime }})={\delta }_{n_1{n}_1^{\prime }{}_{n_2{n}_2^{\prime }}}$. Учитывая связь между группами $SO(3)$ и $SU(2)$, мы можем строить представление группы $SU(2)$. В дальнейшем удобно $f(\xi ,\eta )$ обозначать через $f(\zeta )$, где $\zeta =\left(\begin{array}{l}\xi \\ \eta \end{array}\right)\in {\mathrm{C}}^2$. Отображение $U\to W(U)$ определим формулой
$$W(U)f(\zeta )=f\left(U^{-1}\zeta \right).$$
Мы будем эти операторы обозначать также через $W(a)$ или $W(g)$, а операторы вращений вокруг осей через $W_j(\alpha ),j=1$, 2, 3 .

Чтобы получить выражение для $W(g)$, найдем инфинитезимальные операторы представления, которые обозначим через $-i{M}_i,j=1,2,3$
$$\begin{array}{rl}-i{M}_{1}f(\zeta )={\frac{\partial }{\partial a_1}W(\mathbf{a})|}_{\mathbf{a}=0}f(\zeta )=& {\frac{d{W}_1(\alpha )}{d\alpha }|}_{\alpha =0}f(\zeta )=\\ ={\frac{d}{d\alpha }f(U_1^{-1}(\alpha )\zeta )|}_{\alpha =0}& ={\frac{d}{d\alpha }f\left(e^{\frac{i}{2}{\sigma }_1{\alpha }_{\zeta }}\right)|}_{\alpha =0}=\\ & ={\frac{\partial f}{\partial \xi }\frac{d\xi (\alpha )}{d\alpha }|}_{\alpha =0}+{\frac{\partial f}{\partial \eta }\frac{d\eta (\alpha )}{d\alpha }|}_{\alpha =0}.\end{array}$$
Здесь мы использовали определение (1) и через $\xi (\alpha ),\eta (\alpha )$ обозначили составляющие вектора $e^{\frac{i}{2}{\sigma }_1\alpha }\zeta$. Последние производные вычисляются так:
поэтому
$${\frac{d}{d\alpha }{e}^{i\frac{{\sigma }_1}{2}a}\zeta |}_{\alpha =0}={\frac{i}{2}{\sigma }_1{e}^{\frac{i}{2}{\sigma }_1^{\alpha }}\zeta |}_{\alpha =0}=\frac{i}{2}{\sigma }_1\zeta =\frac{i}{2}\left(\begin{array}{l}\eta \\ \zeta \end{array}\right).$$
$${\frac{d\xi (\alpha )}{d\alpha }|}_{\alpha =0}=\frac{i}{2}\eta ,{\frac{d\eta (\alpha )}{d\alpha }|}_{\alpha =0}=\frac{i}{2}\xi .$$
В результате получим
$$-i{M}_{1}f(\xi )=\frac{i}{2}(\frac{\partial f}{\partial \xi }\eta +\frac{\partial f}{\partial \eta }\xi ).$$
Точно так же находятся операторы $M_2$ и $M_3$. Выпишем выражения для этих операторов:
$$\begin{array}{rl}{M}_1& =-\frac{1}{2}(\eta \frac{\partial }{\partial \xi }+\xi \frac{\partial }{\partial \eta }),\\ M_2& =-\frac{i}{2}(-\eta \frac{\partial }{\partial \xi }+\xi \frac{\partial }{\partial \eta }),\\ M_3& =-\frac{1}{2}(\xi \frac{\partial }{\partial \xi }-\eta \frac{\partial }{\partial \eta }).\end{array}$$
Легко проверить, что операторы $M_j$ имеют такие же перестановочные соотношения, как операторы момента импульса, a $-i{M}_j,j=1,2,3$-как матрицы $A_1,A_2,A_3$. Для операторов $W(a)$ получим
$$W(\mathbf{a})=\exp [-i(M_1{a}_1+M_2{a}_2+M_3{a}_3)].$$
Основное удобство пространства представления ${\mathcal{D}}_2$ состоит в том, что оно очень легко раскладывается в прямую сумму инвариантных подпространств, в которых действуют неприводимые представления. Действительно, инвариантность некоторого подпространства относительно операторов $W(a)$ эквивалентна инвариантности относительно действия операторов $M_1,M_2,M_3$. Из формул (2) видно, что такими инвариантными подпространствами являются подпространства однородных многочленов степени $n=n_1+n_2$. Эти подпространства имеют размерность $n+1,n=0,1,2,\dots$. Нам осталось показать, что такие подпространства не содержат инвариантных подпространств меньшей размерности. Для этого введем операторы
$$\begin{array}{l}{M}_{+}=M_1+i{M}_2=-\eta \frac{\partial }{\partial \xi },\\ M_{-}=M_1-i{M}_2=-\xi \frac{\partial }{\partial \eta }\end{array}$$
и посмотрим, как они действуют на базисные векторы $f_{n_1{n}_2}$,
$$\begin{array}{c}{M}_{+}{f}_{n_1{n}_2}=-\eta \frac{\partial }{\partial \xi }\frac{{\xi }^{n_1}{\eta }^{n_2}}{\sqrt{n_1!n_2!}}=-n_1\frac{{\xi }^{n_1-1}{\eta }^{n_2+1}}{\sqrt{n_1!n_2!}}=\\ =-\sqrt{n_1(n_2+1)}\frac{{\xi }^{n_1-1}{\eta }^{n_2+1}}{\sqrt{(n_1-1)!(n_2+1)!}},\\ \text{ т. е. }{M}_{+}{f}_{n_1{n}_2}=-\sqrt{n_1(n_2+1)}{f}_{n_1-1},n_2+1\\ M_{-}{f}_{n_1{n}_2}=-\sqrt{(n_1+1)n_2}{f}_{n_1+1},n_{2-1}.\end{array}$$
Очевидно, что
$$M_{+}{f}_{on}=0,M_{-}{f}_{no}=0.$$
Из формул (5) ясно, что подпространства однородных многочленов не содержат инвариантных подпространств меньшей размерности.
Покажем, что базисные векторы являются собственными векторами оператора $M_3$ и оператора $M^2=M_1^2+M_2^2+M_3^2$. Имеем
$$M_3{f}_{n_1{n}_2}=-\frac{1}{2}(\xi \frac{\partial }{\partial \xi }-\eta \frac{\partial }{\partial \eta })\frac{{\xi }^{n1}{\eta }^{n2}}{\sqrt{n_1\mid n_{2}l}}=-\frac{1}{2}(n_1-n_2)\frac{{\xi }^{n1}{\eta }^{n2}}{\sqrt{n_1\mid n_2!}},$$
$$\text{ т. е. }{M}_3{f}_{n_1{n}_2}=-\frac{1}{2}(n_1-n_2)f_{n_1{n}_2}\text{. }$$
Для оператора $M^2$ справедлива формула
$$M^2=M_{+}{M}_{-}+M_3^2-M_3.$$
Действительно,
$$\begin{array}{l}{M}_{+}{M}_{-}=(M_1+i{M}_2)(M_1-i{M}_2)=M_1^2+M_2^2-i(M_1{M}_2-M_2{M}_1)=\\ =M^2-M_3^2+M_3.\end{array}$$
Далее имеем
$$\begin{array}{l}{M}^2{f}_{n_1{n}_2}=(M_{+}{M}_{-}+M_3^2-M_3)f_{n_1{n}_2}=\\ =(\sqrt{(n_1+1)n_2}\sqrt{n_2(n_1+1)}+\frac{1}{4}{(n_1-n_2)}^2+\frac{1}{2}(n_1-n_2))f_{n_1{n}_2},\\ M^2{f}_{n_1{n}_2}=(\frac{1}{4}{(n_1+n_2)}^2+\frac{1}{2}(n_1+n_2))f_{n_1{n}_2.}.\end{array}$$
Удобно переписать все полученные соотношения, заменив значки $n_1,n_2$ на $j,m$ по формулам
$$j=\frac{n_1+n_2}{2},m=-\frac{1}{2}(n_1-n_2),$$
$$\begin{array}{l}j=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},\dots ,\\ m=-j,-j+1,\dots ,j,\end{array}$$
или
$$n_1=j-m,n_2=j+m.$$
Тогда формулы (5) — (7) принимают вид
$$\begin{array}{c}{M}_{+}{f}_{jm}=-\sqrt{(j-m)(j+m+1)}{f}_{l,m+1},\\ M_{-}{f}_{jm}=-\sqrt{(j-m+1)(j+m)}{f}_{j,m-1},\\ M_3{f}_{jm}=m{f}_{jm},\\ M^2{f}_{j_m}=j(j+1)f_{jm},\end{array}$$
где через $f_{jm}$ обозначена $f_{n_1{n}_2}=f_{j-m,j+m}$.
Новые значки $j$ и $m$ удобны тем, что каждому индексу $j$ соответствует представление размерности $2j+1,j=0,1/2$, $1,3/2,\dots$. Такое представление обычно обозначают через $D_j$, a $j$ называют индексом представления. Формулы (8)-(10) позволяют легко построить явный вид матриц $M_1,M_2,M_3$ для каждого $D_j$. Таким образом, мы построили конечномерные представления $D_i$ группы вращений всех размерностей.