В этом параграфе построим все неприводимые представления группы вращений. В качестве пространства представлений мы выберем гильбертово пространство \( \mathscr{D}_{2} \) функций \( f(\xi, \eta) \) \( (\xi \in \mathbf{C}, \eta \in \mathbf{C} \) ) вида
\[
f(\xi, \eta)=\sum_{n_{1}, n_{2}=0}^{\infty} C_{n_{1}} C_{n_{2}} \frac{\xi^{n_{1}} \eta^{n_{2}}}{\sqrt{n_{1} n_{2} !}}, \quad \sum_{n_{1}, n_{2}}\left|C_{n_{1} n_{2}}\right|^{2}<\infty
\]
со скалярным произведением
\[
(f, g)=\frac{1}{\pi^{2}} \int_{0} f(\xi, \eta) \overline{g(\xi, \eta)} e^{-|\xi|^{2}-|\eta|^{2}} d \mu(\xi) d \mu(\eta) .
\]
Точно так же, как в \( \S 19 \), проверяется, что функции \( f_{n_{1} n_{2}}= \) \( =\frac{\xi^{n_{1}} \eta^{n_{2}}}{\sqrt{n_{1} ! n_{2} !}} \) образуют ортонормированный базис в этом пространстве \( \left(f_{n_{1} n_{2}}, f_{n_{1}^{\prime} n_{2}^{\prime}}\right)=\delta_{n_{1} n_{1}^{\prime}{ }_{n_{2} n_{2}^{\prime}}} \). Учитывая связь между группами \( S O(3) \) и \( S U(2) \), мы можем строить представление группы \( S U(2) \). В дальнейшем удобно \( f(\xi, \eta) \) обозначать через \( f(\zeta) \), где \( \zeta=\left(\begin{array}{l}\xi \\ \eta\end{array}\right) \in \mathrm{C}^{2} \). Отображение \( U \rightarrow W(U) \) определим формулой
\[
W(U) f(\zeta)=f\left(U^{-1} \zeta\right) .
\]
Мы будем эти операторы обозначать также через \( W(a) \) или \( W(g) \), а операторы вращений вокруг осей через \( W_{j}(\alpha), j=1 \), 2, 3 .

Чтобы получить выражение для \( W(g) \), найдем инфинитезимальные операторы представления, которые обозначим через \( -i M_{i}, j=1,2,3 \)
\[
\begin{aligned}
-i M_{1} f(\zeta)=\left.\frac{\partial}{\partial a_{1}} W(\mathbf{a})\right|_{\mathbf{a}=0} f(\zeta)= & \left.\frac{d W_{1}(\alpha)}{d \alpha}\right|_{\alpha=0} f(\zeta)= \\
=\left.\frac{d}{d \alpha} f\left(U_{1}^{-1}(\alpha) \zeta\right)\right|_{\alpha=0} & =\left.\frac{d}{d \alpha} f\left(e^{\frac{i}{2} \sigma_{1} \alpha_{\zeta}}\right)\right|_{\alpha=0}= \\
& =\left.\frac{\partial f}{\partial \xi} \frac{d \xi(\alpha)}{d \alpha}\right|_{\alpha=0}+\left.\frac{\partial f}{\partial \eta} \frac{d \eta(\alpha)}{d \alpha}\right|_{\alpha=0} .
\end{aligned}
\]
Здесь мы использовали определение (1) и через \( \xi(\alpha), \eta(\alpha) \) обозначили составляющие вектора \( e^{\frac{i}{2} \sigma_{1} \alpha} \zeta \). Последние производные вычисляются так:
поэтому
\[
\left.\frac{d}{d \alpha} e^{i \frac{\sigma_{1}}{2} a} \zeta\right|_{\alpha=0}=\left.\frac{i}{2} \sigma_{1} e^{\frac{i}{2} \sigma_{1}^{\alpha}} \zeta\right|_{\alpha=0}=\frac{i}{2} \sigma_{1} \zeta=\frac{i}{2}\left(\begin{array}{l}
\eta \\
\zeta
\end{array}\right) .
\]
\[
\left.\frac{d \xi(\alpha)}{d \alpha}\right|_{\alpha=0}=\frac{i}{2} \eta,\left.\frac{d \eta(\alpha)}{d \alpha}\right|_{\alpha=0}=\frac{i}{2} \xi .
\]
В результате получим
\[
-i M_{1} f(\xi)=\frac{i}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi} \eta+\frac{\partial f}{\partial \eta} \xi\right) .
\]
Точно так же находятся операторы \( M_{2} \) и \( M_{3} \). Выпишем выражения для этих операторов:
\[
\begin{aligned}
M_{1} & =-\frac{1}{2}\left(\eta \frac{\partial}{\partial \xi}+\xi \frac{\partial}{\partial \eta}\right), \\
M_{2} & =-\frac{i}{2}\left(-\eta \frac{\partial}{\partial \xi}+\xi \frac{\partial}{\partial \eta}\right), \\
M_{3} & =-\frac{1}{2}\left(\xi \frac{\partial}{\partial \xi}-\eta \frac{\partial}{\partial \eta}\right) .
\end{aligned}
\]
Легко проверить, что операторы \( M_{j} \) имеют такие же перестановочные соотношения, как операторы момента импульса, a \( -i M_{j}, j=1,2,3 \)-как матрицы \( A_{1}, A_{2}, A_{3} \). Для операторов \( W(a) \) получим
\[
W(\mathbf{a})=\exp \left[-i\left(M_{1} a_{1}+M_{2} a_{2}+M_{3} a_{3}\right)\right] .
\]
Основное удобство пространства представления \( \mathscr{D}_{2} \) состоит в том, что оно очень легко раскладывается в прямую сумму инвариантных подпространств, в которых действуют неприводимые представления. Действительно, инвариантность некоторого подпространства относительно операторов \( W(a) \) эквивалентна инвариантности относительно действия операторов \( M_{1}, M_{2}, M_{3} \). Из формул (2) видно, что такими инвариантными подпространствами являются подпространства однородных многочленов степени \( n=n_{1}+n_{2} \). Эти подпространства имеют размерность \( n+1, n=0,1,2, \ldots \). Нам осталось показать, что такие подпространства не содержат инвариантных подпространств меньшей размерности. Для этого введем операторы
\[
\begin{array}{l}
M_{+}=M_{1}+i M_{2}=-\eta \frac{\partial}{\partial \xi}, \\
M_{-}=M_{1}-i M_{2}=-\xi \frac{\partial}{\partial \eta}
\end{array}
\]
и посмотрим, как они действуют на базисные векторы \( f_{n_{1} n_{2}} \),
\[
\begin{array}{c}
M_{+} f_{n_{1} n_{2}}=-\eta \frac{\partial}{\partial \xi} \frac{\xi^{n_{1}} \eta^{n_{2}}}{\sqrt{n_{1} ! n_{2} !}}=-n_{1} \frac{\xi^{n_{1}-1} \eta^{n_{2}+1}}{\sqrt{n_{1} ! n_{2} !}}= \\
=-\sqrt{n_{1}\left(n_{2}+1\right)} \frac{\xi^{n_{1}-1} \eta^{n_{2}+1}}{\sqrt{\left(n_{1}-1\right) !\left(n_{2}+1\right) !}}, \\
\text { т. е. } M_{+} f_{n_{1} n_{2}}=-\sqrt{n_{1}\left(n_{2}+1\right)} f_{n_{1}-1}, n_{2}+1 \\
M_{-} f_{n_{1} n_{2}}=-\sqrt{\left(n_{1}+1\right) n_{2}} f_{n_{1}+1}, n_{2-1} .
\end{array}
\]
Очевидно, что
\[
M_{+} f_{o n}=0, M_{-} f_{n o}=0 .
\]
Из формул (5) ясно, что подпространства однородных многочленов не содержат инвариантных подпространств меньшей размерности.
Покажем, что базисные векторы являются собственными векторами оператора \( M_{3} \) и оператора \( M^{2}=M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2} \). Имеем
\[
M_{3} f_{n_{1} n_{2}}=-\frac{1}{2}\left(\xi \frac{\partial}{\partial \xi}-\eta \frac{\partial}{\partial \eta}\right) \frac{\xi^{n 1} \eta^{n 2}}{\sqrt{n_{1} \mid n_{2} l}}=-\frac{1}{2}\left(n_{1}-n_{2}\right) \frac{\xi^{n 1} \eta^{n 2}}{\sqrt{n_{1} \mid n_{2} !}},
\]
\[
\text { т. е. } M_{3} f_{n_{1} n_{2}}=-\frac{1}{2}\left(n_{1}-n_{2}\right) f_{n_{1} n_{2}} \text {. }
\]
Для оператора \( M^{2} \) справедлива формула
\[
M^{2}=M_{+} M_{-}+M_{3}^{2}-M_{3} .
\]
Действительно,
\[
\begin{array}{l}
M_{+} M_{-}=\left(M_{1}+i M_{2}\right)\left(M_{1}-i M_{2}\right)=M_{1}^{2}+M_{2}^{2}-i\left(M_{1} M_{2}-M_{2} M_{1}\right)= \\
=M^{2}-M_{3}^{2}+M_{3} .
\end{array}
\]
Далее имеем
\[
\begin{array}{l}
M^{2} f_{n_{1} n_{2}}=\left(M_{+} M_{-}+M_{3}^{2}-M_{3}\right) f_{n_{1} n_{2}}= \\
=\left(\sqrt{\left(n_{1}+1\right) n_{2}} \sqrt{n_{2}\left(n_{1}+1\right)}+\frac{1}{4}\left(n_{1}-n_{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(n_{1}-n_{2}\right)\right) f_{n_{1} n_{2}}, \\
M^{2} f_{n_{1} n_{2}}=\left(\frac{1}{4}\left(n_{1}+n_{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(n_{1}+n_{2}\right)\right) f_{n_{1} n_{2} .} .
\end{array}
\]
Удобно переписать все полученные соотношения, заменив значки \( n_{1}, n_{2} \) на \( j, m \) по формулам
\[
j=\frac{n_{1}+n_{2}}{2}, m=-\frac{1}{2}\left(n_{1}-n_{2}\right),
\]
\[
\begin{array}{l}
j=0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \ldots, \\
m=-j,-j+1, \ldots, j,
\end{array}
\]
или
\[
n_{1}=j-m, n_{2}=j+m .
\]
Тогда формулы (5) – (7) принимают вид
\[
\begin{array}{c}
M_{+} f_{j m}=-\sqrt{(j-m)(j+m+1)} f_{l, m+1}, \\
M_{-} f_{j m}=-\sqrt{(j-m+1)(j+m)} f_{j, m-1}, \\
M_{3} f_{j m}=m f_{j m}, \\
M^{2} f_{j_{m}}=j(j+1) f_{j m},
\end{array}
\]
где через \( f_{j m} \) обозначена \( f_{n_{1} n_{2}}=f_{j-m, j+m} \).
Новые значки \( j \) и \( m \) удобны тем, что каждому индексу \( j \) соответствует представление размерности \( 2 j+1, j=0,1 / 2 \), \( 1,3 / 2, \ldots \). Такое представление обычно обозначают через \( D_{j} \), a \( j \) называют индексом представления. Формулы (8)-(10) позволяют легко построить явный вид матриц \( M_{1}, M_{2}, M_{3} \) для каждого \( D_{j} \). Таким образом, мы построили конечномерные представления \( D_{i} \) группы вращений всех размерностей.