В предыдущих параграфах мы рассмотрели две одномерные задачи квантовой механики – задачи о свободной частице и о гармоническом осцилляторе. Свободная частица дает нам пример системы с непрерывным спектром для оператора Шре-
дингера, а гармонический осциллятор – с чисто точечным спектром. В большинстве реальных физических задач спектр оказывается более сложным. Рассмотрим задачу о спектре оператора Шредингера
\[
H=-\frac{d^{2}}{d x^{2}}+V(x)
\]
при весьма общих предположениях о потенциале.
Обычно силы, действующие на частицу, заметно отличны от нуля в какой-то конечной области на оси \( x \) и стремятся к нулю при \( |x| \rightarrow \infty \), поэтому наиболее часто встречаются потенциалы \( V(x) \), которые стремятся к постоянным значениям при \( x \rightarrow \) \( \rightarrow \pm \infty \). Для простоты рассуждений мы ограничимся случаем,
Рис. 6.
когда потенциал строго равен постоянным при \( x<-a \) и при \( x>a \). Используя произвол в определении потенциала, одну из этих постоянных всегда можно считать равной нулю.
Рассмотрим уравнения Шредингера
\[
\psi^{\prime \prime}+E \psi=V(x) \psi
\]
при условии, что \( V(x) \) – непрерывная функция на вещественной оси, и \( V(x)=0 \) при \( x<-a, V(x)=V_{0} \) при \( x>a \). Для определенности будем считать, что \( V_{0}>0 \). График потенциала изображен на рис. 6 .
При \( x<-a \) и \( x>a \) уравнение Шредингера (1) упрощается
\[
\begin{aligned}
\psi^{\prime \prime}+E \psi & =0, & & x<-a, \\
\psi^{\prime \prime}+\left(E-V_{0}\right) \psi & =0, & & x>a .
\end{aligned}
\]

При любых значениях \( E \) существует два линейно-независимых решения уравнения (1), которые мы обозначим через \( \psi_{1} \) и \( \psi_{2} \). Общее решение этого уравнения
\[
\psi=C_{1} \psi_{1}+C_{2} \psi_{2} .
\]
При изучении спектра оператора \( H \) нас интересуют либо квадратично интегрируемые решения уравнения (1), которые являются собственными функциями оператора \( H \), либо решения, ограниченные на всей вещественной оси. При помощи последних может быть описан непрерывный спектр оператора \( H \).
Рассмотрим теперь три случая.
1) \( E<0 \).

Уравнения (2) и (3) перепишем в виде
\[
\begin{array}{lll}
\psi^{\prime \prime}-x^{2} \psi=0, & x<-a, & x^{2}=-E>0, \quad x>0, \\
\psi^{\prime \prime}-x_{1}^{2} \psi=0, & x>a, & x_{1}^{2}=-\left(E-V_{0}\right)>0, \quad x_{1}>0 .
\end{array}
\]
Линейно-независимыми решениями этих уравнений являются функции \( e^{ \pm x x} \) при \( x<-a \) и \( e^{ \pm x_{1} x} \) при \( x>a \). Поэтому произвольное решение (4) уравнения (1) в области \( x<-a \) имеет вид \( C_{1}^{\prime} e^{-x x}+C_{2}^{\prime} e^{x x} \), а в области \( x>a-C_{1}^{\prime \prime} e^{-x_{1} x}+C_{2}^{\prime \prime} e^{x_{1} x} \). Здесь \( C_{1}^{\prime}, C_{2}^{\prime}, C_{1}^{\prime \prime} \) и \( C_{2}^{\prime \prime} \) – некоторые постоянные, линейно зависящие от \( C_{1} \) и \( C_{2} \) формулы (4). Решение \( \psi \) будет квадратично интегрируемым при условиях \( C_{1}^{\prime}=0 \) и \( C_{2}^{\prime \prime}=0 \). Уже одного из этих условий достаточно для того, чтобы \( \psi \) была определена с точностью до численного множителя. Из условия \( C_{1}^{\prime}=0 \) может быть найдено бтношение коэффициентов \( C_{1} \) и \( C_{2} \), которые будут зависеть от параметра \( E \),
\[
\frac{C_{1}}{C_{2}}=F_{1}(E) .
\]
Аналогично из условия \( C_{2}^{\prime \prime}=0 \) получим
\[
\frac{C_{1}}{C_{2}}=F_{2}(E) \text {. }
\]
Квадратично интегрируемое решение \( \psi \) будет существовать только при тех значениях \( E \), для которых
\[
F_{1}(E)=F_{2}(E) .
\]
Корни этого алгебраического уравнения, если они существуют, являются собственными значениями оператора \( H \). Из приведенных соображений естественно ожидать наличие простого точечного спектра при \( E<0 \).
\[
\text { 2) } 0<E<V_{0} \text {. }
\]

Уравнения (2) и (3) запишем в виде
\[
\begin{array}{c}
\psi^{\prime \prime}+k^{2} \psi=0, \quad x<-a, \quad k^{2}=E>0, \quad k>0, \\
\psi^{\prime \prime}-x_{1}^{2} \psi=0, \quad x>a, \quad x_{1}^{2}=-\left(E-V_{0}\right)>0, \quad x_{1}>0 .
\end{array}
\]

Линейно-независимыми решениями являются функции \( e^{ \pm i k x} \) при \( x<-a \) и \( e^{ \pm x_{1} x} \) при \( x>a \). Сразу видно, что квадратично интегрируемых решений нет, а ограниченное решение может быть
построено, если выбрать \( C_{1} / C_{2} \) так, чтобы \( \psi \) имела вид \( C_{1}^{\prime \prime} e^{-x x} \) при \( x>a \). Поэтому в интервале \( 0<E<V_{0} \) спектр является простым непрерывным.
3) \( E>V_{0} \).

В этом случае оба уравнения (2) и (3) имеют осциллирующие решения ( \( e^{ \pm i k x} \) при \( x<-a \) и \( e^{ \pm i k_{1} x} \) при \( x>a, k_{1}^{2}=E-V_{0} \) ), поэтому любое решение уравнения (1) является ограниченным, а квадратично интегрируемых решений нет. Спектр оператора \( H \) при \( E>V_{0} \) – непрерывный, двухратный.

На рис. 6 собственные значения оператора \( H \) изображены горизонтальными линиями, обычной штриховкой показана область простого непрерывного спектра, а двойной штриховкой область двукратного спектра.

Обсудим физический смысл решений уравнения (1). Квадратично интегрируемые решения описывают стационарные состояния с энергией, равной собственному значению. Эти функции экспоненциально убывают при \( |x| \rightarrow \infty \), поэтому вероятность обнаружить частицу вне некоторой конечной области близка к нулю. Ясно, что такие состояния соответствуют финитному движению частицы. Собственные функции непрерывного спектра непосредственного физического смысла не имеют, так как они не принадлежат пространству состояний. Однако с их помощью могут быть построены состояния типа волновых пакетов, которые мы рассматривали для свободной частицы. Эти состояния могут быть истолкованы как состояния с почти заданной энергией. Изучение эволюции таких состояний показывает, что они описывают частицу, которая при \( |t| \rightarrow \infty \) уходит на бесконечность (инфинитное движение). К этому вопросу мы еще вернемся, когда будем изучать теорию рассеяния.

В классической механике, как и в квантовой, при \( E<0 \) движение является финитным, а при \( E>0 \) – инфинитным. При \( 0<\mathrm{E}<V_{0} \) частица может уйти на бесконечность по одному направлению, а при \( E>V_{0} \) – по двум. Обратим внимание на то, что кратность непрерывного спектра совпадает с числом направлений, по которым частица может уйти на бесконеч ность.

На примере частицы в одномерной потенциальной яме рассмотрим вопрос о классическом пределе квантовых стационарных состояний. Для вычисления предела (14.15) удобно использовать асимптотический вид решения уравнения Шредингера при \( h \rightarrow 0 \). Методы построения асимптотических решений уравнения Шредингера при \( h \rightarrow 0 \) носят название квазиклассических методов. Мы применим один из таких методов-метод Венцеля, Крамерса, Бриллюэна (ВҚБ).
Уравнение Шредингера запишем в виде
\[
\psi^{\prime \prime}+\frac{E-V(x)}{h^{2}} \psi=0
\]
Здесь, как и прежде, мы используем систему единиц, в которой \( m=1 / 2 \). Полагая \( \psi(x)=\exp \left[\frac{i}{h} \int_{x_{0}}^{x} g(x) d x\right] \), получим уравнение для функции \( g(x) \)
\[
i h g^{\prime}-g^{2}+E-V=0 .
\]
Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по степеням \( h / i \)
\[
g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{h}{i}\right)^{k} g_{k}(x) .
\]

Подставляя (7) в (5), имеем
\[
-\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{h}{i}\right)^{n} g_{n-1}^{\prime}-\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=0}^{n}\left(\frac{h}{i}\right)^{n} g_{k} g_{n-k}-g_{0}^{2}+E-V=0 .
\]
Приравнивая коэффициенты при \( (h / i)^{n} \), получим систему реккурентных уравнений для функций \( g_{k}(x) \) :
\[
\begin{array}{c}
g_{0}^{2}=E-V, \\
g_{n-1}^{\prime}=-\sum_{k=0}^{n} g_{k} g_{n-k} .
\end{array}
\]

Из (8) находим \( g_{0}(x) \)
\[
g_{0}(x)= \pm \sqrt{E-V(x)}= \pm p(x) .
\]
Здесь \( p(x) \) при \( E \geqslant V(x) \) есть классическое выражение для абсолютной величины импульса частицы с энергией \( E \) в поле \( V(x) \). При \( E<V(x) \) функция \( p(x) \) становится чисто мнимой. Полагая \( n=1 \), из (9) получаем
\[
g_{0}^{\prime}=-2 g_{0} g_{1}, \quad g_{1}=-\frac{1}{2} \frac{g_{1}^{\prime}}{g_{0}}=-\frac{1}{2} \frac{d}{d x} \ln |p(x)| .
\]
Ограничиваясь этими членами разложения (7), получим асим, птотический вид при \( h \rightarrow 0 \) для двух линейно-независимых решений уравнений Шредингера
\[
\psi_{1,2}(x)=\frac{1}{\sqrt{|p(x)|}} \exp \left[ \pm \frac{i}{h} \int_{x_{1}}^{x} p(x) d x\right]+O(h)
\]
при \( p(x)
eq 0 \). Функции (10) иногда называют ВКБ-решениями уравнения Шредингера.

Точная теория метода ВКБ довольно сложна. Известно, что ряд (7) в общем случае расходится и представляет собой асимптотический ряд. Конечное число членов этого ряда позволяет построить хорошее приближение для функции \( \psi \), если постоян-
ную Планка \( h \) можно считать достаточно малой в условиях конкретной задачи.

В дальнейшем будем считать, что потенциал \( V(x)=0 \) при \( |x| \geqslant a \) и пусть \( E<0 \). Предположим, что при \( \min _{x} V(x)<E<0 \) имеется две точки \( x_{1} \) и \( x_{2}\left(-a \leqslant x_{1}<x_{2} \leqslant a\right) \), удовлетворяющие условию \( \mathrm{E}-V(x)=0 \). Это так называемые точки поворота, в которых частица, согласно классической механике меняет направление движения на противоположное. Нетрудно понять, что в классически запрещенной области ( \( x<x_{1} \) или \( x>x_{2} \) ) одно из ВКБ-решений экспоненциально возрастает, а второе – затухает при удалении от точки поворота в глубь запрещенной области. При \( \mid x>a \) ВКБ-решения совпадают с точными и имеют вид \( e^{ \pm x x} \), где \( E=-x^{2} \). Вспомним, что собственная функция дискретного спектра оператора \( H \) экспоненциально убывает при \( x \rightarrow \pm \infty \). При \( h \rightarrow 0 \) собственная функция в разрешенной области должна совпадать с некоторой линейной комбинацией ВКБ-решений \( C_{1} \psi_{1}+C_{2} \psi_{2} \). Построение такой линейной комбинации является сравнительно сложной задачей, так как ВКБ-решения теряют смысл в точках поворота. Можно показать, что условия убывания функции \( \psi(x) \) при \( x \rightarrow-\infty \) выполняются, если
\[
\psi(x)=\frac{C}{\sqrt{p(x)}} \sin \left(\frac{1}{h} \int_{x_{i}}^{x} p(x) d x+\frac{\pi}{4}\right)+O(h) .
\]
Аналогично из условий убывания при \( x \rightarrow+\infty \) следует, что
\[
\psi(x)=\frac{C^{\prime}}{\sqrt{p(x)}} \sin \left(\frac{1}{h} \int_{j}^{x_{2}} p(x) d x+\frac{\pi}{4}\right)+O(h) .
\]
Эти два выражения для \( \psi(x) \) совпадают, если
\[
\int_{x_{1}}^{x_{2}} p(x) d x=\pi h\left(n+\frac{1}{2}\right), \quad n=0,1,2, \ldots
\]

Условие (13) определяет собственные значения энергии в квазиклассическом приближении и соответствует правилу квантования Бора – Зоммерфельда в старой квантовой теории.

Перейдем к вычислению классического предела квантового состояния. Предел при \( h \rightarrow 0 \) можно находить при различных условиях. Можно, например, рассмотреть состояние, соответствующее собственному значению энергии \( E_{n} \) при фиксированном значении числа \( n \) из условия (13). Легко видеть, что тогда \( E_{n} \rightarrow V_{0}=\min _{x} V(x) \) при \( h \rightarrow 0 \) и в пределе получится состояние покоящейся частицы на дне потенциальной ямы. Мы разберем более интересный случай: \( h \rightarrow 0, n \rightarrow \infty \), а энергия \( E \) остается постоянной. (Заметим, что в данном случае интеграл в левой
91
части (13) от \( h \) не зависит и \( h \rightarrow 0 \), пробегая некоторую последовательность значений.) Подставляя в формулу (14.15) асимптотическое выражение (11) для \( \psi(x) \), получим
\[
\begin{array}{l}
F(x, u)=\frac{1}{2 \pi} \lim _{h \rightarrow 0} \psi(x+u h) \overline{\psi(x)}= \\
=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{C}{\sqrt{p(x+u h) p(x)}} \sin \left(\frac{1}{h} \int_{x_{1}}^{x+u h} p(x) d x+\frac{\pi}{4}\right) \times \\
\times \sin \left(\frac{1}{h} \int_{x_{1}}^{x} p(x) d x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{C}{p(x)} \lim _{h \rightarrow 0}\left[\cos \left(\frac{1}{h} \int_{x}^{x+h u} p(x) d x\right)-\right. \\
\left.-\cos \left(\frac{1}{h} \int_{x_{1}}^{x+u h} p(x) d x+\frac{1}{h} \int_{x_{1}}^{x} p(x) d x+\frac{\pi}{2}\right)\right] .
\end{array}
\]

Все нормировочные множители мы обозначаем буквой \( C \). Предел второго слагаемого в смысле обобщенных функций равен нулю, поэтому
\[
F(x, u)=\frac{c}{p(x)} \cos (p(x) u) .
\]

Используя (14.16), найдем функцию распределения для предельного классического состояния
\[
\begin{array}{l}
\rho(q, p)=\frac{C}{p(q)} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i p u} \cos (p(q) u) d u= \\
\quad=\frac{C}{p(q)} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i p u}\left(e^{i p(q) u}+e^{-i p(q) u}\right) d u .
\end{array}
\]

Окончательно получим
\[
\rho(q, p)=\frac{c}{p(q)}[\delta(p-p(q))+\delta(p+p(q))] .
\]

Состояние, описываемое функцией \( \rho(q, p) \), имеет очень простой смысл. В этом состоянии плотность функции распределения координаты обратно прогорциональна классической скорости частицы, а импульс частицы в точке \( q \) с равной вероятностью может принимать два значения \( \pm p(q) \). Формула (14) была получена для разрешенной области. Нетрудно таким же способом проверить, что в запрещенной области \( \rho(q, p)=0 \).