Для того чтобы выяснить физический смысл решений \( \psi_{1} \) и \( \psi_{2} \), построим с их помощью решения нестационарного уравнения Шредингера
\[
i \frac{d \varphi}{d t}=H \varphi,
\]

Рассмотрим решение уравнения Шредингера, построенное по функции \( \psi_{1}(k, x) \)
\[
\varphi_{1}(x, t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^{\infty} C(k) \psi_{1}(k, x) e^{-i k^{2} t} d k .
\]

Относительно функции \( C(k) \) мы предположим, что она отлична от нуля в малой окрестности точки \( k_{0} \). В этом случае \( \varphi_{1}(x, t) \) имеет наиболее простой физический смысл. Кроме того, будем считать, что
\[
\int_{0}^{\infty}|C(k)|^{2} d k=1,
\]
* Для этого достаточно, чтобы \( A(k) \) и \( B(k) \) были дифференцируемыми функциями от \( k \), что может быть доказано.
тогда из (36.10) следует, что
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left|\varphi_{1}(x, t)\right|^{2} d x=1
\]
т. е. решение \( \varphi_{1}(x, t) \) имеет правильную нормировку. Используя сосредоточенность функции \( C(k) \) в окрестности точки \( k_{0} \) и непрерывность функций \( A(k) \) и \( B(k) \), можно записать приближенные выражения * для функции \( \varphi_{1}(x, t) \) в областях \( I \) и \( I I \) :
\[
\begin{array}{l}
I: \varphi_{1}(x, t) \cong \varphi_{+}(x, t)+A\left(k_{0}\right) \varphi_{-}(x, t), \\
I I: \varphi_{1}(x, t) \cong B\left(k_{0}\right) \varphi_{+}(x, t),
\end{array}
\]
где
\[
\varphi_{ \pm}(x, t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^{\infty} C(k) e^{ \pm i k x-i k^{2} t} d k .
\]

Функции \( \varphi_{ \pm}(x, t) \) являются нормированными решениями уравнения Шредингера для свободной частицы и изучались** в \( \S 15 \). Там же были построены асимптотические выражения для этих решений при \( t \rightarrow \pm \infty \)
\[
\varphi_{ \pm}(x, t)=\frac{1}{\sqrt{2|t|}} C\left( \pm \frac{x}{2 t}\right) e^{i \chi}+O\left(\frac{1}{|t|}\right),
\]
где \( \chi \)-вещественная функция, вид которой для нас несуществен. Из этого выражения видно, что функции \( \varphi_{ \pm}(x, t) \) при \( |t| \rightarrow \infty \) отличны от нуля только в окрестности точек \( x= \pm 2 k_{0} t \). Поэтому \( \varphi_{+} \)описывает состояние свободной частицы, движущейся слева направо со скоростью *** \( v=2 k_{0} \), а \( \varphi \) – – частицу, имеющую противоположное направление скорости (напомним, что \( m=1 / 2 \) ).

Теперь легко понять, какими свойствами обладает решение \( \varphi_{1}(x, t) \) при \( t \rightarrow \pm \infty \). Пусть \( t \rightarrow-\infty \). Тогда в областях \( I \) и \( / / \) имеем
\[
\begin{aligned}
I: \varphi_{1}(x, t) & =\varphi_{+}(x, t), \\
I I: \varphi_{1}(x, t) & =0,
\end{aligned}
\]
* Эти выражения можно считать сколько угодно точными, если интервал \( \Delta k \), внутри которого \( \mathrm{C}(k) \) стлична от нуля, сколь угодно мал. Однако перейти к пределу, заменив \( C(k) \) на \( \delta \)-функцию, мы не можем, так как не получим квадратично интегрируемого решения уравнения Шредингера.
** Имеется несущественное различие в записи. Нам удобнее здесь считать \( k>0 \), и знак импульса в экспоненте \( e^{ \pm l k x} \) выписывается явно. Кроме того, интегрирование в (2) можно распространить на всюо вещественную ось, так как \( C(k)=0 \) при \( k<0 \).
*** Более точно: со скоростью \( 2 \mathfrak{k}_{0} \) перемещается область, в которой отлична от нуля вероятность найти частацу.
так ка̀ при \( t \rightarrow-\infty \varphi_{-}(x, t)=0 \) при \( x<-a \) и \( \varphi_{+}(x, t)=0 \) при \( x>a \). Аналогично при \( t \rightarrow+\infty \)
\[
\begin{array}{l}
\text { I: } \varphi_{1}(x, t)=A\left(k_{0}\right) \varphi_{-}(x, t), \\
I I: \varphi_{1}(x, t)=B\left(k_{0}\right) \varphi_{+}(x, t) \text {. } \\
\end{array}
\]

Мы видим, что задолго до рассеяния ( \( t \rightarrow-\infty \) ) частица с вероятностью, равной единице, находится слева от барьера и движется по направлению к барьеру со скоростью \( 2 k_{0} \).

Вычислим вероятности \( W_{I} \) и \( W_{I I} \) обнаружить частицу при \( t \rightarrow+\infty \) в областях \( I \) и \( I I \) соответственно. Имеем
\[
\begin{aligned}
W_{I}=\int_{-\infty}^{-a}\left|\varphi_{1}(x, t)\right|^{2} d x=\left|A\left(k_{0}\right)\right|^{2} \int_{-\infty}^{a}\left|\varphi_{-}(x, t)\right|^{2} d x= \\
=\left|A\left(k_{0}\right)\right|^{2} \int_{-\infty}^{\infty}\left|\varphi_{-}(x, t)\right|^{2} d x=\left|A\left(k_{0}\right)\right|^{2} .
\end{aligned}
\]

Замена области интегрирования \( I \) на всю вещественную ось возможна, так как при \( t \rightarrow+\infty \varphi-(x, t)
eq 0 \) только в области \( I \). Точно так же проверяется, что
\[
W_{I I}=\left|B\left(k_{0}\right)\right|^{2} .
\]

Графики функции \( \left|\varphi_{1}(x, t)\right|^{2} \) как функции от \( x \) при \( t \rightarrow \pm \infty \) изображены на рис. 12.
Рис. 12.
Таким образом, решение уравнения Шредингера \( \varphi_{1}(x, t) \) описывает частицу, которая до рассеяния приближается к потенциальному барьеру со скоростью \( 2 k_{0} \) и с вероятностью \( \left|A\left(k_{0}\right)\right|^{2} \) отражается от барьера или с вероятностью \( \left|B\left(k_{0}\right)\right|^{2} \) проходит через потенциальный барьер *.

Обратим внимание на то, что результат не зависит от вида функции \( C(k) \), важно только, чтобы интервал \( \Delta k \), в котором \( C(k) \) отлична от нуля, был мал. Физически это требование понятно, если мы хотим эксперлментально найти зависимость,
* В одномерной задаче понятие сечения теряет смысл. Всю информацию о рассеянии содержат вероятности \( |A|^{2} \) и \( |B|^{2} \).
например, коэффициента отражения \( |A(k)|^{2} \) от \( k \), должны нспользовать частицы, находяциеся в состоянии с возможно меньшей дисперсией \( k \) (состояний с’ нулевой дисперсией не существует). При конкретных ргсчетах коэффициентов отражения и прохождения \( |A(k)|^{2} \) и \( |B(k)|^{2} \) нет необходимости решать нестационарное уравнение Шредингера, достаточно найти решение \( \psi_{1}(k, x) \). Заметим, что решение \( \varphi_{2}(x, t) \), которое можно построить по функции \( \psi_{2}(k, x) \), имеет такой же смысл, только частица приближается к барьеру справа.

Вспомним свойства матрицы рассеяния \( S \). Равенство \( B=D \) приводит к равенству вероятногтей прохождения через барьер в противоположных направлениях и, как можно показать, является следствием инвариантнссти уравнения Шредингера относительно обращения времени. Равенства
\[
|A|^{2}+|B|^{2}=1, \quad|B|^{2}+|C|^{2}=1
\]

выражают закон сохранения вероятности. Действительно, нормировка решений \( \varphi_{1}(x, t) \) и \( \varphi_{2}(x, t) \) от времени не зависит, а при \( t \rightarrow \infty \) имеем
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{\infty}\left|\varphi_{1}(x, t)\right|^{2} d x=\left|A\left(k_{0}\right)\right|^{2}+\left|B\left(k_{0}\right)\right|^{2}=1 .
\]