Покажем, что алгебра наблюдаемых \( \mathfrak{A} \) может быть реализована как алгебра самосопряженных операторов в конечномерном комплексном пространстве \( \mathbf{C}^{n} \).

Векторы пространства \( \mathbf{C}^{n} \) будем обозначать греческими буквами \( \xi, \eta, \varphi, \psi, \ldots \). Напомним основные свойства скалярного

произведения:
1) \( (\xi, \psi)=(\overline{\psi, \xi}) \),
2) \( (\xi+\lambda \eta, \psi)=(\xi, \psi)+\lambda(\eta, \psi) \),
3) \( \quad(\xi, \xi)>0 \) при \( \xi
eq 0 \).

Здесь \( \lambda \)-комплексное число.
Векторы \( e_{1}, \ldots, e_{n} \) образуют ортонормированный * базис в \( \mathbf{C}^{n} \), если
\[
\left(e_{i}, e_{i}\right)=\delta_{i l},
\]

где \( \delta_{i j} \) — символ Кронекера.
Разложение произвольного вектора \( \xi \) по векторам базиса \( e_{1}, \ldots, e_{n} \) имеет вид
\[
\xi=\sum_{i=1}^{n} \xi_{i} e_{i}, \quad \xi_{i}=\left(\xi, e_{i}\right) .
\]

Вектор \( \xi \) однозначно определяется числами \( \xi_{1}, \ldots, \xi_{n} \)
\[
\xi \leftrightarrow\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right) .
\]

Если выбран базис, то тем самым выбрана конкретная реализация для векторов или задано представление. Пусть \( e_{1}, \ldots \) \( \ldots, e_{n} \) — базис, тогда векторы
\[
e_{i}^{\prime}=\sum_{k=1}^{n} U_{i k} e_{k}, \quad i=1,2, \ldots, n
\]

тоже образуют базис, если матрица \( U=\left\{U_{i k}\right\} \) обратима и
\[
U_{i k}^{-1}=\bar{U}_{k i} \text {. }
\]

Матрица, для элементов которой справедливо равенство (5), называется унитарной. Переход от одного базиса к другому есть унитарное преобразование.

Если выбрано представление, то для скалярного произведения справедлива формула
\[
(\xi, \eta)=\sum_{i=1}^{n} \xi_{i} \bar{\eta}_{i} .
\]

Операторы в заданном базисе представляются матрицами
\[
A \leftrightarrow\left\{A_{i k}\right\}, \quad A_{i k}=\left(A e_{k}, e_{i}\right) .
\]

Действительно, пусть \( \eta=A \xi \), тогда \( \eta_{i}=\left(A \xi, e_{i}\right)=\left(A \sum_{k=1}^{n} \xi_{k} e_{k}, e_{i}\right)= \) \( =\sum_{k=1}^{n} \xi_{k}\left(A e_{k}, e_{i}\right)=\sum_{k=1}^{n} A_{i k} \xi_{k} \). Оператор \( A^{*} \) называется сопряжен-
* В дальнейшем слово «ортонормированный» мы часто будем опускать, так как другие базисы мы не рассматриваем.

ным оператору \( A \), если для любой пары векторов \( \xi \) и \( \eta \) справедливо равенство
\[
(A \xi, \eta)=\left(\xi, A^{*} \eta\right)
\]

Очевидно, что \( A_{i k}^{*}=\bar{A}_{k i} \). Оператор называется самосопряженным, если \( A^{*}=A \). Для самосопряженного оператора \( A_{i k}= \) \( =\widetilde{A}_{k i} \). Непосредственно из определения сопряженного оператора следуют равенства
\[
(A B)^{*}=B^{*} A^{*}, \quad(\alpha A)^{*}=\bar{\alpha} A^{*},
\]

где \( \alpha \) — комплексное число.
Построим реализацию алгебры наблюдаемых. Пусть \( \mathfrak{1}- \) множество самосопряженных операторов в \( \mathbf{C}^{n} \). В дальнейшем самосопряженные операторы мы часто будем называть наблюдаемыми. На множестве операторов обычным образом определены операции сложения и умножения на число. Если \( A \in \mathfrak{A} \), \( B \in \mathfrak{A}, \lambda \in \mathbf{R} \), то \( (A+B) \in \mathfrak{U} \) и \( \lambda \mathrm{A} \in \mathfrak{A} \), так как \( (A+B)^{*}= \) \( =A+B \) и \( (\lambda A)^{*}=\lambda A \). Естественно эти операции считать операциями сложения наблюдаемых и умножения на число.

Следующая наша задача — научиться строить функции от наблюдаемых. Можно предположить, что здесь годится обычное определение функции от оператора. Это предположение мы сможем оправдать после того, как научимся строить вероятностные распределения для наблюдаемых в квантовой механике. Тогда мы сумеем проверить формулу \( \omega_{f(A)}(E)=\omega_{A}\left(f^{-1}(E)\right) \), эквивалентную общему определению функции от наблюдаемой, данному в предыдущем параграфе.

Напомним, что существует несколько эквивалентных определений функции от оператора. Если для \( f(x) \) на всей вещественной оси справедливо разложение в степенной ряд
\[
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}
\]

то \( f(A) \) определяется формулой
\[
f(A)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} A^{n} .
\]

Второе определение использует существование у самосопряженных операторов собственного базиса *
\[
A \varphi_{i}=a_{i} \varphi_{i}, \quad i=1, \ldots, n .
\]
* Напомним, что собственные числа самосопряженного оператора вещественны, а собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны. Если собственное значение имеет кратность \( r \), то ему соответствует \( r \) линейно-независимых собственных векторов, которые всегда можно выбрать ортонормированными.

Здесь \( \varphi_{i} \) — собственные векторы, \( \left(\varphi_{i}, \varphi_{i}\right)=\delta_{i j} \), а \( a_{i} \) — собственные значения оператора \( A \). Для определения линейного оператора \( f(A) \) достаточно определить результат действия \( f(A) \) на векторы базиса. По определению
\[
f(A) \varphi_{i}=f\left(a_{i}\right) \varphi_{i} .
\]

В собственном базисе матрица \( A \) диагональна, и на диагонали стоят собственные значения, т. е. \( A_{i j}=a_{i} \delta_{i j} \). В этом же представлении \( [f(A)]_{i j}=f\left(a_{i}\right) \hat{\delta}_{i j} \). Заметим, что вещественной функции соответствует самосопряженный оператор, т. е. \( f(A) \in \) \( \in \mathfrak{A} \).

Операция \( A \circ B \) определяется формулой (4.6), которая для самосопряженных операторов имеет вид
\[
A \circ B=\frac{(A+B)^{2}-(A-B)^{2}}{4}=\frac{A B+B A}{2} .
\]

Самосопряженность оператора \( A \circ B \) очевидна.
Нам осталось построить лиевскую операцию. Для этого рассмотрим коммутатор операторов \( A \) и \( B[A, B]=A B-B A \). Операция \( [A B] \) обладает следующими свойствами:
1) \( [A B]=-[B, A] \),
2) \( [A+\lambda B, C]=[A C]+\lambda[B, C] \),
3) \( [A, B \circ C]=[A, B] \circ C+B \circ[A, C] \),
4) \( [A,[B, C]]+[B,[C, A]]+[C,[A, B]]=0 \).

Все эти свойства проверяются непосредственным вычислением. Заметим, что свойство 3) справедливо и для несимметризованного произведения. Действительно,
\[
[A, B C]=A B C-B C A+B A C-B A C=[A, B] C+B[A, C] .
\]

Мы видим, что коммутатор обладает свойствами лиевской операции, но \( [A, B] \) не является самосопряженным оператором, т. е. \( [A, B] € \Re \). Однако выражение \( (i / h)[A, B] \), которое отличается от коммутатора чисто мнимым множителем \( i / h \), удовлетворяет всем требованиям. Отметим, что алгебры \( \mathfrak{A} \), построенные с разными постоянными \( h \), неизоморфны друг другу. Выбор \( h \) может быть сделан только после сравнения теории с экспериментом. Это сравнение показывает, что константа \( h \) совпадает с постоянной Планка. В дальнейшем мы будем использовать обозначение
\[
\{A, B\}_{h}=\frac{i}{h}[A, B]
\]

и называть \( \{A, B\}_{h} \) квантовой скобкой Пуассона.

Интересно отметить, что в классической механике мы могли бы вместо
\[
\{f, g\}=\frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial g}{\partial q}-\frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial g}{\partial p}
\]

определить скобку Пуассона равенством
\[
\{f, g\}=\alpha\left(\frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial g}{\partial q}-\frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial g}{\partial p}\right),
\]

где \( \alpha \)-вещественная постоянная. Нетрудно видеть, однако, что новое определение скобки Пуассона в классической механике приведет к алгебре изоморфной исходной. Действительно, замена переменных \( p=\sqrt{|\alpha|} p^{\prime}, q=\operatorname{sign} \alpha \sqrt{|\alpha|} q^{\prime} \) возвращает нас к старому определению.

Важную роль в квантовой механике играет след оператора \( \operatorname{Tr} A \). По определению
\[
\operatorname{Tr} A=\sum_{i=1}^{n} A_{i i}=\sum_{i=1}^{n}\left(A e_{i}, e_{i}\right) .
\]

Напомним основные свойства этой операции. След не зависит от выбора базиса. В частности, если взять собственный базис оператора \( A \), то
\[
\operatorname{Tr} A=\sum_{i=1}^{n} a_{i},
\]
т. е. след является суммой собственных чисел. Если \( a_{i} \) — кратное собственное значение, то оно входит слагаемым в сумму столько раз, какова его кратность.

След произведения двух операторов не зависит от порядка сомножителей
\[
\operatorname{Tr} A B=\operatorname{Tr} B A .
\]

В случае большего числа сомножителей допустима их циклическая перестановка под знаком \( \mathrm{Tr} \)
\[
\operatorname{Tr} A B C=\operatorname{Tr} B C A .
\]

След самосопряженной матрицы — вещественное число, так как собственные значения ее вещественны.