Оператор Шредингера для частицы в потенциальном поле в координатном представлении имеет вид
\[
H=-\frac{h^{2}}{2 m} \Delta+V(\mathbf{x}) .
\]
Важность задачи о движении частицы в потенциальном поле объясняется тем, что к ней сводится (как и в классической механике) задача о движении двух тел. Покажем, как это делается в квантовой механике. Рассмотрим систему двух частиц с массами \( m_{1} \) и \( m_{2} \), взаимодействие между которыми описывается потенциалом \( V\left(\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2}\right) \). Запишем оператор Шредингера этой системы в координатном представлении
\[
H=-\frac{h^{2}}{2 m_{1}} \Delta_{1}-\frac{h^{2}}{2 m_{2}} \Delta_{2}+V\left(\mathbf{x}_{1}-\mathbf{x}_{2}\right) .
\]
Здесь \( \Delta_{1} \) и \( \Delta_{2} \) – операторы Лапласа по координатам первой и второй частиц соответственно.
Введем новые переменные
\[
\mathbf{X}=\frac{m_{1} \mathbf{x}_{1}+m_{2} \mathbf{x}_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \quad \mathbf{x}=\mathbf{x}_{1}-\mathbf{x}_{2},
\]
\( \mathbf{X} \) – координаты центра инерции системы, а \( \mathbf{x} \)-относительные координаты. С помощью простых вычислений получим выражение для \( H \) в новых переменных:
\[
H=-\frac{h^{2}}{2 M} \Delta_{\mathbf{x}}-\frac{h^{2}}{2 \mu} \Delta_{\mathbf{x}}+V(\mathbf{x}) .
\]
Здесь \( M=m_{1}+m_{2} \) – полная масса системы, а \( \mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+\right. \) \( +m_{2} \) ) – так называемая приведенная масса. Первое слагаемое в \( H \) может быть истолковано как оператор кинетической энергии центра инерции системы, а оператор
\[
H_{1}=-\frac{h^{2}}{2 \mu} \Delta+V(\mathbf{x})
\]
является оператором Шредингера для относительного движения. В уравнении
\[
H \Psi=E \Psi
\]
переменные разделяются, и решения такого уравнения можно искать в виде
\[
\Psi(\mathbf{X}, \mathbf{x})=\psi(\mathbf{X}) \psi_{1}(\mathbf{x}) .
\]
Функции \( \psi(\mathbf{X}) \) и \( \psi_{1}(\mathbf{x}) \) удовлетворяют уравнениям \( (h=1) \)
\[
\begin{array}{c}
-\frac{1}{2 M} \Delta \psi(\mathbf{X})=\varepsilon \psi(\mathbf{X}), \\
-\frac{1}{2 \mu} \Delta \psi_{1}(\mathbf{x})+V(\mathbf{x}) \psi_{1}(\mathbf{x})=\varepsilon_{1} \psi_{1}(\mathbf{x}),
\end{array}
\]
причем \( E=\varepsilon+\varepsilon_{1} \). Первое из этих уравнений имеет решения
\[
\psi_{\mathrm{K}}(\mathbf{X})=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} e^{i \mathbf{K} \mathbf{X}}, \quad \frac{K^{2}}{2 M}=\varepsilon ;
\]
задача сводится к решению второго уравнения, которое по форме совпадает с уравнением Шредингера для частицы с массой \( \mu \) в потенциальном поле \( V(\mathrm{x}) \). Отметим, что спектр оператора \( H \) является всегда непрерывным, так как непрерывным является спектр оператора \( -\frac{1}{2 M} \Delta \).
Наиболее важным случаем задачи о движении частицы в потенциальном поле является задача о движении в поле силового центра. В этом случае потенциал \( V(\mathbf{x})=V(|\mathbf{x}|) \) зависит только от \( |\mathbf{x}|=r \). К задаче о центральном поле сводится задача двух частиц, если потенциал взаимодействия зависит только от расстояния между частицами. Прежде чем переходить к рассмотрению этой задачи, мы изучим свойства момента импульса и некоторые вопросы из теории представлений группы вращений, что позволит нам явно учесть сферическую симметрию задачи.