Электроны являются фермионами, поэтому волновая функция для системы двух электронов должна быть антисимметричной
\[
\Psi\left(\xi_{2}, \xi_{1}\right)=-\Psi\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) .
\]

Разложим функцию \( \Psi\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) \) по введенным в \( \S 47 \) базисным функциям \( W_{1}, W_{2}, W_{3}, W_{4} \) :
\[
\Psi\left(\mathbf{x}^{(1)} s_{3}^{(1)}, \mathbf{x}^{(2)} s_{3}^{(2)}\right)=\sum_{i=1}^{4} \Psi_{i}\left(\mathbf{x}^{(1)}, \mathbf{x}^{(2)}\right) W_{i}\left(s_{3}^{(1)}, s_{3}^{(2)}\right) .
\]

Первые три слагаемых в этой сумме соответствуют состояниям с полным спином единица, а четвертое описывает состояние с полным спином нуль. Введенные соотношением (1) функции \( \Psi_{i}\left(\mathbf{x}^{(1)}, \mathbf{x}^{(2)}\right), i=1,2,3,4 \) называются координатными волновыми функциями в отличие от \( \Psi\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) \), которую называют полной волновой функцией. В \( \$ 47 \) мы видели, что \( W_{i}\left(s_{3}^{(1)}, s_{3}^{(2)}\right) \) при \( i=1,2,3 \) являются симметричными относительно перестановки спиновых переменных, \( W_{4}\left(s_{3}^{(1)}, s_{3}^{(2)}\right) \) – антисимметричная функция. Тогда из антисимметричности полной функции следует, что
\[
\begin{array}{l}
\Psi_{i}\left(\mathbf{x}^{(2)}, \mathbf{x}^{(1)}\right)=-\Psi_{i}\left(\mathbf{x}^{(1)}, \mathbf{x}^{(2)}\right), i=1,2,3, \\
\Psi_{4}\left(\mathbf{x}^{(2)}, \mathbf{x}^{(1)}\right)=\Psi_{4}\left(\mathbf{x}^{(1)}, \mathbf{x}^{(2)}\right),
\end{array}
\]
т. е. координатные волновые функции для состояний со спином единица являются антисимметричными, а для состояний со спином нуль – симметричными.

Применим этот результат к атому гелия. Оператор Шредингера для атома гелия в пренебрежении спиновыми взаимодействиями имеет вид *
\[
H=-\frac{1}{2} \Delta_{1}-\frac{1}{2} \Delta_{2}-\frac{2}{r_{1}}-\frac{2}{r_{2}}+\frac{1}{r_{12}} .
\]
* В точной постановке задачи оператор Шредингера содержит члены, зависящие от спина, однако вывод выражения для спинового взаимодействия возможен только в релятивистской квантовой механике. Кроме того, для атома гелия эти члены играют роль малых поправок и всегда учитываются по теории возмущений.
Если \( \Psi\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) \) является решением уравнения
\[
H \Psi\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)=E \Psi\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right),
\]
то и координатные функции \( \Psi_{i}\left(\mathbf{x}^{(1)}, \mathbf{x}^{(2)}\right) \) удовлетворяют уравнению Шредингера с тем же собственным значением \( E \). Поэтому задача сводится к отысканию решений уравнения
\[
H \Psi\left(\mathbf{x}^{(1)}, \mathbf{x}^{(2)}\right)=E \Psi\left(\mathbf{x}^{(1)}, \mathbf{x}^{(2)}\right)
\]
в подпространствах симметричных или антисимметричных функций. Ясно, что решений уравнения (2) в каждом из таких подпространств меньше, чем в пространстве \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{6}\right) \). Те значения \( E \), для которых уравнение (2) имеет решение в подпространстве антисимметричных функций \( \Psi\left(\mathbf{x}^{(1)}, \mathbf{x}^{(2)}\right) \), соответствуют состояниям со спином единица, а те значения \( E \), для которых существуют симметричные решения уравнения (2), соответствуют состояниям со спином нуль.

Мы видим, что уровни энергии атома гелия зависят от полного спина даже в пренебрежении спиновыми взаимодействиями в операторе Шредингера. Эта зависимость является следствием принципа тождественности и возникает через симметрию координатных волновых функций.

Можно доказать, что основному состоянию атома гелия соответствует симметричная координатная волновая функция, т. е. спин атома гелия в основном состоянии равен нулю.

Интересно отметить, что переходы с испусканием или поглощением квантов между состояниями с \( S=0 \) и \( S=1 \) оказываются маловероятными. Поэтому оптический спектр гелия таков, как если бы существовало два сорта гелия с \( S=0 \) и \( S=1 \). Первый сорт гелия называют парагелием, а второйортогелием. Каждому энергетическому уровню парагелия соответствует одно спиновое состояние \( W_{4} \), а уровню ортогелия три спиновых состояния \( W_{1}, W_{2}, W_{3} \). Поэтому состояния парагелия называют синглетными, а ортогелия – триплетными. Учет спиновых взаимодействий приводит к расщеплению триплетных уровней энергии на три близких *.