Рассмотрим простейшую задачу классической механики задачу о движении материальной точки (частицы) с массой \( m \) в силовом поле \( V(\mathbf{x}) \), где \( \mathbf{x}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \) – радиус-вектор частицы. Сила, действующая на частицу,
\[
\mathbf{F}=-\operatorname{grad} V=-\frac{\partial V}{\partial \mathbf{x}} .
\]

Основными физическими характеристиками частицы являются ее координаты \( x_{1}, x_{2}, x_{3} \) и проекции вектора скорости \( \mathbf{v}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \). Все остальные характеристики есть функции от \( \mathbf{x} \) и \( \mathbf{v} \), например, импульс \( p=m \mathbf{v} \), момент импульса \( \mathbf{I}=\mathbf{x} \times \mathbf{p}= \) \( =m \mathbf{x} \times \mathbf{v} \), энергия частицы \( E=m \mathbf{v}^{2} / 2+V(\mathbf{x}) \).

Уравнения движения материальной точки в форме Ньютона имеют вид
\[
m \frac{d \mathbf{v}}{d t}=-\frac{\partial V}{\partial \mathbf{x}}, \quad \frac{d \mathbf{x}}{d t}=\mathbf{v} .
\]

В дальнейшем удобно вместо скорости \( \mathbf{v} \) в качестве основной переменной использовать импульс р. В новых переменных уравнения движения записываются таким образом:
\[
\frac{d \mathbf{p}}{d t}=-\frac{\partial V}{\partial \mathbf{x}}, \quad \frac{d \mathbf{x}}{d t}=\frac{\mathbf{p}}{m} .
\]

Замечая, что \( \frac{\mathbf{p}}{m}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}, \frac{\partial V}{\partial \mathbf{x}}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{x}} \), где \( H=\frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m}+V(\mathbf{x})- \) функция Гамильтона для частицы в потенциальном поле, мы приходим к уравнениям в форме.Гамильтона
\[
\frac{d \mathbf{x}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}, \quad \frac{d \mathbf{p}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{x}} .
\]

Из курса теоретической механики известно, что широкий класс механических систем и, в частности, консервативные
5
системы описываются уравнениями Гамильтона
\[
\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \quad i=1,2, \ldots, n .
\]

Здесь \( q_{i} \) и \( p_{i} \)-обобщенные координаты и импульсы, \( H= \) \( =H\left(q_{1}, \ldots, q_{n} ; p_{1}, \ldots, p_{n}\right) \) – функция Гамильтона, число \( n \) называется числом степеней свободы системы. Напомним, что для консервативной системы функция Гамильтона \( H \) совпадает с выражением для полной энергии системы в переменных \( q_{i} \) и \( p_{i} \). Выпишем функцию Гамильтона для системы \( N \) материальных точек, попарно взаимодействующих между собой
\[
H=\sum_{i=1}^{N} \frac{\mathrm{p}_{i}^{2}}{2 m_{i}}+\sum_{i<j}^{N} V_{i j}\left(\mathbf{x}_{i}-\mathbf{x}_{j}\right)+\sum_{i=1}^{N} V_{i}\left(\mathbf{x}_{i}\right) .
\]

Здесь в качестве обобщенных координат \( q \) взяты декартовы координаты частиц, число степеней свободы такой системы \( n=3 N, V_{i j}\left(\mathbf{x}_{i}-\mathbf{x}_{j}\right) \) есть потенциал взаимодействия \( i \)-й и \( j \)-й частиц. Зависимость \( V_{i j} \) только от разности \( \mathbf{x}_{i}-\mathbf{x}_{j} \) обеспечивает выполнение третьего закона Ньютона. (Действительно, сила, действующая на \( i \)-ю частицу со стороны \( j \)-й частицы, \( \mathbf{F}_{i j}=-\frac{\partial V_{i j}}{\partial \mathbf{x}_{i}}=\frac{\partial V_{i j}}{\partial \mathbf{x}_{j}}=-\mathbf{F}_{j i} \).) Потенциалы \( V_{i}\left(\mathbf{x}_{i}\right) \) описывают взаимодействие \( i \)-й частицы с внешним полем. Первое слагаемое в формуле (5) – кинетическая энергия системы частиц.

Для произвольной механической системы все физические характеристики есть функции от обобщенных координат и импульсов. Мы введем в рассмотрение множество \( \mathfrak{f} \) всех вещественных, бесконечно дифференцируемых функций * \( f\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right. \); \( \left.p_{1}, \ldots, p_{n}\right) \), которые будем называть наблюдаемыми. Множество наблюдаемых \( \mathfrak{A} \), очевидно, является линейным пространством и образует вещественную алгебру с обычными для функций операциями сложения и умножения. Вещественное \( 2 n \)-мерное пространство с элементами \( \left(q_{1}, \ldots, q_{n} ; p_{1}, \ldots, p_{n}\right) \) называется фазовым пространством и обозначается через \( \mathscr{M} \). Таким образом, алгебра наблюдаемых классической механики есть алгебра вещественных гладких функций, задаваемых на фазовом пространстве \( \mathscr{A} \).

Мы введем ниже в алгебре наблюдаемых еще одну операцию, которая связана с эволюцией механической системы. Для простоты все дальнейшее изложение ведется на примере системы с одной степенью свободы. Уравнения Гамильтона в этом случае имеют вид
\[
\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}, \quad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}, \quad H=H(q, p) .
\]
* Мы не обсуждаем вопрос о введении топологии в алгебре наблюдаемым. К счастью, большинство физических вопросов от этой топологии не зависит.
6
Задача Коши для системы (6) и начальных условий
\[
\left.q\right|_{t=0}=q_{0},\left.\quad p\right|_{t=0}=p_{0}
\]

имеет единственное решение
\[
q=q\left(q_{0}, p_{0}, t\right), \quad p=p\left(q_{0}, p_{0}, t\right) .
\]

Для сокращения записи точку фазового пространства \( (q, p) \) иногда будем обозначать через \( \mu \), а уравнения Гамильтона записывать в виде
\[
\dot{\mu}=\vartheta(\mu),
\]

где \( v(\mu) \)-векторное поле этих уравнений, сопоставляющее каждой точке \( \mu \) фазового пространства вектор \( v \) с компонентами \( \frac{\partial H}{\partial p},-\frac{\partial H}{\partial q} \).

Уравнения Гамильтона порождают однопараметрическую коммутативную группу преобразований фазового пространства в себя*
\[
G_{t}: \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{A},
\]

где \( G_{t} \mu \) есть решение уравнений Гамильтона с начальным условием \( \left.G_{t} \mu\right|_{t=0}=\mu \). Справедливы равенства:
\[
G_{t+s}=G_{t} G_{s}=G_{s} G_{t}, \quad G_{t}^{-1}=G_{-t} .
\]

В свою очередь преобразования \( G_{t} \) порождают семейство преобразований алгебры наблюдаемых в себя
\[
U_{t}: \mathfrak{A} \rightarrow \mathfrak{A},
\]

где
\[
U_{t} f(\mu)=f_{t}(\mu)=f\left(G_{t} \mu\right) .
\]

В координатной записи функция \( f_{t}(q, p) \) определяется следующим образом:
\[
f_{t}\left(q_{0}, p_{0}\right)=f\left(q\left(q_{0}, p_{0}, t\right), p\left(q_{0}, p_{0}, t\right)\right) .
\]

Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция \( f_{t}(q, p) \). Для этсго продифференцируем тождество \( f_{s+t}(\mu)=f_{t}\left(G_{s} \mu\right) \) по переменной \( s \) и положим \( s=0 \),
\[
\begin{array}{c}
\left.\frac{\partial f_{s+t}(\mu)}{\partial s}\right|_{s=0}=\frac{\partial f_{t}(\mu)}{\partial t}, \\
\left.\frac{\partial f_{t}\left(G_{s} \mu\right)}{\partial s}\right|_{s=0}=
abla f_{t}(\mu) \cdot v(\mu)=\frac{\partial f_{t}}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial f_{t}}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q} .
\end{array}
\]
* Мы предполагаем, что уравнения Гамильтона с начальными условиями (7) имеют единственное решение на всей вещественной оси. Легко построить примеры, в которых глобальное решенде и соответственно группа преобразований \( G_{t} \) не существуют. Эти случаи не представляют интереса, и мы их не рассматриваем.
7
Таким образом, функция \( f_{t}(q, p) \) удовлетворяет дифференциальному уравнению
\[
\frac{\partial f_{t}}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial f_{t}}{\partial q}-\frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial f_{t}}{\partial p}
\]

и начальному условию
\[
\left.f_{t}(q, p)\right|_{t=0}=f(q, p) .
\]

Уравнение (13) с начальным условием (14) имеет единственное решение, которое может быть получено по формуле (12), т. е. для построения решений уравнения (13) достаточно знать решения уравнений Гамильтона.
Уравнение (13) может быть переписано в виде
\[
\frac{d f_{t}}{d t}=\left\{H, f_{t}\right\}
\]

где \( \left\{H, f_{t}\right\} \) – скобка Пуассона функций \( H \) и \( f_{t} \). Для произвольных наблюдаемых \( f \) и \( g \) скобка Пуассона определяется формулой
\[
\{f, g\}=\frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial g}{\partial q}-\frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial g}{\partial p},
\]

а в случае системы с \( n \) степенями свободы
\[
\left\{f^{\prime}, g\right\}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}-\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}}\right) .
\]

Перечислим основные свойства скобок Пуассона:
1) \( \{f, g+\lambda h\}=\{f, g\}+\lambda\{f, h\} \) (линейность);
2) \( \{f, g\}=-\{g, f\} \) (кососимметричность);
3) \( \{f,\{g, h\}\}+\{g,\{h, f\}\}+\{h,\{f, g\}\}=0 \) (тождество Якоби);
4) \( \{f, g h\}=g\{f, h\}+\{f, g\} h \).

Свойства 1), 2) и 4) прямо следуют из определения скобок Пуассона. Свойство 4) показывает, что операция «скобка Пуассона» есть дифференцирование алгебры наблюдаемых. Действительно, скобка Пуассона может быть переписана в форме
\[
\{f, g\}=X_{f} g,
\]
тор первого порядка, и свойство 4) принимает вид
\[
X_{f} g h=\left(X_{f} g\right) h+g X_{f} h .
\]

Свойство 3) может быть проверено дифференцированием, однако его можно доказать следующим рассуждением. Каждое слагаемое двойной скобки Пуассона содержит множителем вторую производную от одной из функций по одной из переменных, т. е. левая часть 3) есть линейная однородная функция от вто-
8
рых производных. С другой стороны, вторые производные от \( h \) могут входить только в сумму \( \{f,\{g, h\}\}+\{g,\{h, f\}\}=\left(X_{f} X_{g}-\right. \) – \( \left.X_{g} X_{f}\right) h \), а коммутатор линейных дифференциальных операторов первого порядка является дифференциальным оператором первого порядка, поэтому вторые производные от \( h \) в левую часть 3) не войдут. В силу симметрии левая часть 3) вообще не содержит вторых производных, г. е. равна нулю.

Скобка Пуассона \( \{f, g\} \) вводит в алгебру наблюдаемых структуру вещественной алгебры Ли*. Итак, множество наблюдаемых обладает следующей алгебраической структурой. Множество \( \mathfrak{A} \) является:
1) вещественным линейным пространством;
2) коммутативной алгеброй с операцией \( f g \);
3) алгеброй Ли с операцией \( \{f, g\} \).

Две последние операции связаны соотношением
\[
\{f, g h\}=\{f, g\} h+g\{f, h\} .
\]

В алгебре наблюдаемых \( \mathfrak{A} \) есть выделенный элемент – функция Гамильтона \( H \), роль которой – описание изменения наблюдаемых со временем
\[
\frac{d f_{t}}{d t}=\left\{H, f_{t}\right\}
\]

Покажем, что отображение \( U_{t}: \mathfrak{A} \rightarrow \mathfrak{A} \) сохраняет все операции в \( \mathfrak{A} \) :
\[
\begin{array}{l}
h=f+g \rightarrow h_{t}=f_{t}+g_{t}, \\
h=f g \rightarrow h_{t}=f_{t} g_{t}, \\
h=\{f, g\} \rightarrow h_{t}=\left\{f_{t}, g_{t}\right\},
\end{array}
\]
т. е. является автоморфизмом алгебры наблюдаемых. Проверим для примера последнее утверждение. Для этого достаточно убедиться в том, что уравнение и начальное условие для \( h_{t} \) есть следствие уравнений и начальных условий для функций \( f_{t} \) и \( g_{t} \)
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial h_{t}}{\partial t}=\left\{\frac{\partial f_{t}}{\partial t},\right. & \left.g_{t}\right\}+\left\{f_{t}, \frac{\partial g_{t}}{\partial t}\right\}= \\
& =\left\{\left\{H, f_{t}\right\}, g_{t}\right\}+\left\{f_{t}\left\{H, g_{t}\right\}\right\}=\left\{H,\left\{f_{t}, g_{t}\right\}\right\}=\left\{H, h_{t}\right\} .
\end{aligned}
\]

Здесь были использованы свойства 2) и 4) скобок Пуассона. Далее,
\[
\left.h_{t}\right|_{t=0}=\left.\left\{f_{t}, g_{1}\right\}\right|_{t=0}=\{f, g\} .
\]

Теперь наше утверждение следует из единственности решения уравнения (13) с начальным условием (14).
* Напомним, что линейное пространство с бинарной операцией, удовлеткоряющей условиям 1) – 3), называется алгеброй Ли.