Пространство \( \mathbf{C}^{2} \), введенное в предыдущем параграфе, часто называют спиновым пространством для электрона. Для системы из двух электронов спиновым пространством является пространство \( \mathbf{C}^{4}=\mathbf{C}^{2} \otimes \mathbf{C}^{2} \). В пространстве \( \mathbf{C}^{2} \) выберем базис, состоящий из собственных векторов оператора \( S_{3} U_{+}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) \) и \( U_{-}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) \) с собственными значениями \( 1 / 2 \) и \( -1 / 2 \) соответственно. В качестве базисных векторов в пространстве \( \mathbf{C}^{4} \) можно взять векторы \( U_{+}^{(1)} U_{+}^{(2)}, \quad U_{-}^{(1)} U_{-}^{(2)}, U_{+}^{(1)} U_{-}^{(2)} \) и \( U_{-}^{(1)} U_{+}^{(2)}, \quad \) где индексы (1) II (2) нумеруют спиновые подпространства электронов.
Более удобным, однако, оказывается другой ортонормированный базис, состоящий из векторов
\[
\begin{array}{c}
W_{1}=U_{+}^{(1)} U_{+}^{(2)}, \\
W_{2}=U_{-}^{(1)} U_{-}^{(2)}, \\
W_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(U_{+}^{(1)} U_{-}^{(2)}+U_{-}^{(1)} U_{+}^{(2)}\right), \\
W_{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(U_{+}^{(1)} U_{-}^{(2)}-U_{-}^{(1)} U_{+}^{(2)}\right)
\end{array}
\]

Удобство нового базиса состоит в том, что векторы \( W_{i}, i=1 \), \( 2,3,4 \) являются собственными векторами операторов
и
\[
\begin{array}{c}
S_{3}=S_{3}^{(1)}+S_{3}^{(2)} \\
S^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2} .
\end{array}
\]

Здесь оператор \( S_{3} \) есть третья проекция полного спина двух электронов*, аналогичный смысл имеют операторы \( S_{1} \) и \( S_{2} \). Оператор \( S^{2} \) есть квадрат полного спина.
* В более точной записи \( S_{3}=\frac{1}{2} \sigma_{3} \otimes I+\frac{1}{2} I \otimes \sigma_{3} \). Операторы \( \sigma_{j} \otimes I \) и \( I \otimes \sigma_{j} \) мы обозначаем в дальнейщем через \( \sigma_{j}^{(1)} \) и \( \sigma_{j}^{(2)} \) соответственно.
Для того чтобы проверить сформулированное утверждение относительно векторов \( W_{i}, i=1,2,3,4 \), найдем результат действия операторов \( \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3} \) на базисные векторы \( U_{+} \)и \( U_{-} \). Имеем
\[
\begin{array}{c}
\sigma_{1} U_{+}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)=U_{-}, \\
\sigma_{1} U_{-}=U_{+}, \\
\sigma_{2} U_{+}=i U_{-}, \\
\sigma_{2} U_{-}=-i U_{+}, \\
\sigma_{3} U_{+}=U_{+}, \\
\sigma_{3} U_{-}=-U_{-} .
\end{array}
\]

Используя эти формулы, получим
\[
\begin{array}{c}
S_{3} W_{1}=\frac{1}{2}\left(\sigma_{3}^{(1)}+\sigma_{3}^{(2)}\right) U_{+}^{(1)} U_{+}^{(2)}=U_{+}^{(1)} U_{+}^{(2)}=1 W_{1} \\
S_{3} W_{2}=-1 W_{2}, \\
S_{3} W_{3}=0 W_{3} \\
S_{3} W_{4}=0 W_{4} .
\end{array}
\]

Наряду с (2) имеют место формулы
\[
\begin{array}{c}
S^{2} W_{j}=2 W_{j}, \quad j=1,2,3, \\
S^{2} W_{4}=0 W_{4} .
\end{array}
\]

Проверим формулу (3) для вектора \( W_{3} \) :
\[
\begin{array}{c}
S^{2} W_{3}=\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}\right) W_{3}= \\
=\frac{1}{4}\left[\left(\sigma_{1}^{(1)}+\sigma_{1}^{(2)}\right)^{2}+\left(\sigma_{2}^{(1)}+\sigma_{2}^{(2)}\right)^{2}+\left(\sigma_{3}^{(1)}+\sigma_{3}^{(2)}\right)^{2}\right] W_{3}= \\
=\left[\frac{3}{2} I+\frac{1}{2}\left(\sigma_{1}^{(1)} \sigma_{1}^{(2)}+\sigma_{2}^{(1)} \sigma_{2}^{(2)}+\sigma_{3}^{(1)} \sigma_{3}^{(2)}\right)\right] \frac{1}{\sqrt{2}}\left(U_{+}^{(1)} U_{-}^{(2)}+U_{-}^{(1)} U_{+}^{(2)}\right)= \\
=\frac{3}{2} W_{3}+\frac{1}{2} W_{3}+\frac{1}{2} W_{3}-\frac{1}{2} W_{3}=2 W_{3} .
\end{array}
\]

Здесь мы использовали (1) и равенства \( \sigma_{i}^{2}=I, j=1,2,3 \). Таким образом, первые три вектора \( W_{1}, W_{2} \) и \( W_{3} \) описывают состояния, в которых квадрат полного спина системы из двух электронов равен 2. Число 2 можно записать в виде \( 2= \) \( =S(S+1) \), где \( S=1 \), поэтому полный спин в этих состояниях равен единице. Проекция полного спина в соответствии с общими свойствами момента импульса принимает в этих состояниях значения \( \pm 1 \) и 0 . Вектор \( W_{4} \) описывает состояние с полным спином, равным нулю. Иногда говорят, что в состояниях \( W_{1}, W_{2}, W_{3} \) спины электронов параллельны, а в состоянии \( W_{4} \) – антипараллельны.
Обсудим полученный результат с точки зрения теории групп. Мы знаем, что в пространстве \( \mathbf{C}^{2} \) действует неприводимое представление группы вращений операторами \( U(g)=e^{-\frac{i}{2}\left(\sigma_{1} a_{1}+\sigma_{2} a_{2}+\sigma_{3} a_{3}\right)} \). Ясно, что отображение \( g \rightarrow \tilde{U}(g)= \) \( =U(g) \otimes U(g)=e^{-i\left(S_{1} a_{1}+S_{2} a_{2}+S_{3} a\right)} \) есть представление группы вращений в пространстве \( \mathbf{C}^{4} \). Представление \( \tilde{0} \) является тензорным произведением двух одинаковых представлений \( U \), и оно приводимо. Согласно результатам \( \S 29 \) пространство \( \mathbf{C}^{4} \) представимо в виде прямой суммы двух инвариантных относительно операторов \( \tilde{O}(g) \) подпространств, в которых действуют неприводимые представления. Первое из этих подпространств натягивается на векторы \( W_{1}, W_{2}, W_{3} \), а второе – на вектор \( W_{4} \). Используя обозначения \( § 29 \), мы можем записать этот результат в виде
\[
D_{\frac{1}{2}} \otimes D_{\frac{1}{2}}=D_{0} \oplus D_{1} .
\]

Заметим, что мы доказали частный случай теоремы о разложении тензорного произведения неприводимых представлений группы вращений. Сформулируем эту теорему без доказательства.

Пусть в пространствах \( \mathscr{E}_{1} \) и \( \mathscr{E}_{2} \) действуют неприводимые представления группы вращений \( D_{i_{1}} \) и \( D_{j_{2}} \). Тогда тензорное произведение представлений представимо в виде прямой суммы неприводимых представлений
\[
D_{j_{1}} \otimes D_{j_{2}}=D_{\left|j_{1}-j_{2}\right|} \oplus D_{\left|j_{1}-j_{2}\right|+1} \oplus \ldots \oplus D_{j_{1}+j_{2}} .
\]

Последняя формула называется разложением КлебшаГордана. Само разложение получается переходом от базиса, составленного из векторов \( e_{j_{1} m_{1}} e_{l_{2} m_{2}}, m_{k}=-j_{k},-j_{k}+1, \ldots, j_{k} \), \( k=1,2 \), где \( e_{l_{k} m_{k}} \) – собственные векторы операторов \( \left(J^{(k)}\right)^{2} \) и \( J_{3}^{(k)} \) к базису из векторов \( e_{j_{1} j_{2} J M}, J=\left|j_{1}-j_{2}\right|,\left|j_{1}-j_{2}\right|+1, \ldots, j_{1}+j_{2} \), \( M=-J,-J+1, \ldots, J \). Векторы \( e_{j_{1} j_{2} M} \) являются собственными для четырех коммутирующих операторов \( \left(J^{(1)}\right)^{2},\left(J^{(2)}\right)^{2} \)
\[
J^{2}=\left(J_{1}^{(1)}+J_{1}^{(2)}\right)^{2}+\left(J_{2}^{(1)}+J_{2}^{(2)}\right)^{2}+\left(J_{3}^{(1)}+J_{3}^{(2)}\right)^{2}, J_{3}=J_{3}^{(1)}+J_{3}^{(2)} .
\]

Векторы \( e_{j_{1} f_{2} I M} \) представимы в виде
\[
e_{j_{1} l_{2} I M}=\sum_{m_{1}, m_{2}} C_{j_{j, j}, M ; j_{1} J_{2} m_{1} m_{2}} e_{j_{1} m_{1}} e_{j_{2} m_{2}} .
\]

Индексы суммирования \( m_{k} \) пробегают значения \( -j_{k} \), \( -j_{k}+1, \ldots, j_{k}, k=1,2 \) Коэффициенты разложения \( C \) в (4) называются коэффициентами Клебша – Гордана. Заметим, что мы, переходя к базису \( W_{1}, W_{2}, W_{3}, W_{4} \), нашли эти коэффициенты для случая \( j_{1}=j_{2}=1 / 2 \).

Из сформулированной теоремы следует также, что если в некотором состоянии момент импульса \( J^{(1)} \) имеет значение \( j_{1} \),
а момент \( J^{(2)}- \) значение \( j_{2} \), то полный момент \( J \) может принимать значения \( \left|j_{1}-j_{2}\right|,\left|j_{1}-j_{2}\right|+1, \ldots, j_{1}+j_{2} \). Складывать таким образом можно как орбитальные или спиновые моменты для различных частиц, так и орбитальный и спиновой момент для одной частицы.

В заключение этого параграфа отметим важное для дальнейшего свойство базисных элементов \( W_{i}, i=1,2,3,4 \). Для этого запишем их, вводя спиновые переменные \( s_{3}^{(1)} \) и \( s_{3}^{(2)} \), каждая из которых может принимать два значения \( \pm 1 / 2 \)
\[
\begin{array}{l}
W_{1}\left(s_{3}^{(1)}, s_{3}^{(2)}\right)=U_{+}\left(s_{3}^{(1)}\right) U_{+}\left(s_{3}^{(2)}\right), \\
W_{2}\left(s_{3}^{(1)}, s_{3}^{(2)}\right)=U_{-}\left(s_{3}^{(1)}\right) U_{-}\left(s_{3}^{(2)}\right), \\
W_{3}\left(s_{3}^{(1)}, s_{3}^{(2)}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[U_{+}\left(s_{3}^{(1)}\right) U_{-}\left(s_{3}^{(2)}\right)+U_{-}\left(s_{3}^{(1)}\right) U_{+}\left(s_{3}^{(2)}\right)\right] \\
W_{4}\left(s_{3}^{(1)}, s_{3}^{(2)}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[U_{+}\left(s_{3}^{(1)}\right) U_{-}\left(s_{3}^{(2)}\right)-U_{-}\left(s_{3}^{(1)}\right) U_{+}\left(s_{3}^{(2)}\right)\right],
\end{array}
\]

где \( U_{+}\left(\frac{1}{2}\right)=1, U_{+}\left(-\frac{1}{2}\right)=0, U_{-}\left(\frac{1}{2}\right)=0, U_{-}\left(-\frac{1}{2}\right)=1 \).
Из (5) следует, что функции \( W_{1}, W_{2}, W_{3} \) являются симметричными функциями от спиновых переменных
\[
W_{i}\left(s_{3}^{(2)}, s_{3}^{(1)}\right)=W_{i}\left(s_{3}^{(1)}, s_{3}^{(2)}\right), \quad i=1,2,3,
\]
a \( W_{4} \) – антисимметричная функция
\[
W_{4}\left(s_{3}^{(2)}, s_{3}^{(1)}\right)=-W_{4}\left(s_{3}^{(1)}, s_{3}^{(2)}\right) .
\]