Пусть дан полный набор операторов \( A_{1}, \ldots, A_{n} \) с чисто точечным спектром. Эти операторы имеют общий полный набор собственных векторов \( \varphi_{a_{1}, \ldots a_{n}} \), и каждому набору собственных чисел соответствует один вектор \( \varphi_{a_{1}, \ldots, a_{n}} \). Произвольный вектор \( \psi \in \mathscr{H} \) может быть представлен в виде ряда
\[
\psi=\sum_{a_{1}, \ldots, a_{n}} \psi\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right), \varphi_{a_{1}, \ldots, a_{n}}, \psi\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=\left(\psi, \varphi_{a_{1}, \ldots, a_{n}}\right) .
\]

Эта формула определяет взаимно-однозначное соответствие между векторами \( \psi \) и функциями \( \psi\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \), определенными на спектре операторов \( A_{1}, \ldots, A_{n} \),

Очевидно, что
\[
\psi \leftrightarrow \psi\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) .
\]
\[
\begin{aligned}
\left(\psi_{1}, \psi_{2}\right)=\sum_{a_{1}, \ldots, a_{n}} \psi_{1}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \overline{\psi_{2}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)}, \\
A_{i} \psi \leftrightarrow a_{i} \psi\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right),
\end{aligned}
\]
т. е. построенное представление является собственным для всех операторов \( A_{1}, \ldots, A_{n} \) (действие этих операторов сводится к умножению на переменную).

Функция \( \psi\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \) называется волновой функцией. Чтобы выяснить ее физический смысл, построим, как в предыдущем параграфе, оператор \( R \) такой, что \( A_{i}=F_{i}(R), i=1,2, \ldots, n \),
\[
R \varphi_{a_{1}, \ldots, a_{n}}=r_{a_{1}, \ldots, a_{n}} \varphi_{a_{1}, \ldots, a_{n}},
\]
где \( r_{a_{1}, \ldots, a_{n}} \) – различные вещественные числа и \( a_{i}=F_{i}\left(r_{a_{1}}, \ldots, a_{n}\right) \). Мы знаем, что \( \left|\left(\psi, \varphi_{a_{1}, \ldots, a_{n}}\right)\right|^{2}=\left|\psi\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)\right|^{2} \) есть вероятность в результате измерения получить численное значение наблюдаемой \( R \), равное \( r_{a_{1}, \ldots a_{n}} \). Поэтому \( \left|\psi\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)\right|^{2} \) является вероятностью получить в результате одновременного измерения наблюдаемых \( A_{1}, \ldots, A_{n} \) значения \( a_{1}, \ldots, a_{n} \).

Все эти результаты обобщаются на случай полного набора операторов \( A_{1}, \ldots, A_{n} \) с произвольным спектром. Сформулируем без доказательства теорему.
Теорема. Пусть дан полный набор коммутирующих операторов \( A_{1}, \ldots, A_{n} \). Тогда существует такое представление пространства состояний, что вектор \( \psi \in \mathscr{H} \) представляется функцией \( \psi\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \), определенной на некотором множестве \( \mathfrak{A} \) ( \( a= \) \( \left.=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \in \mathfrak{U}\right) \). На множестве \( \mathfrak{U} \) задана мера \( d \mu(a) \) и скалярное произведение определяется формулой
\[
\left(\psi_{1}, \psi_{2}\right)=\int_{\mathscr{U}} \psi_{1}(a) \overline{\psi_{2}(a)} d \mu(a) .
\]

Операторы \( A_{1}, \ldots, A_{n} \) в этом представлении являются операто. рами умножения на переменную
\[
A_{i} \psi\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=a_{i} \psi\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right), \quad i=1,2, \ldots, n .
\]

Функция \( \left|\psi\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)\right|^{2} \) есть плотность общей функции распределения для наблюдаемых \( A_{1}, \ldots, A_{n} \) относительно меры \( d \mu(a) \).

Выше мы уже имели примеры полных наборов коммутирующих операторов и соответствующих представлений пространства состояний \( \mathscr{H} \).

Для бесструктурной частицы полный набор образуют операторы координат \( Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} \). Этому набору соответствует координатное представление. Аналогично строится импульсное представление по полному набору \( P_{1}, P_{2}, P_{3} \). Полный набор образуют также операторы \( H, L^{2}, L_{3} \), где \( H \) – оператор Шредингера для частицы в центральном поле. Представление, соответствующее этому полному набору, описано в § 31. Для одномерной частицы оператор Цредингера \( H \) для гармонического осциллятора сам по себе представляет полный набор. Соответствующее представление было построено в \( \$ 18 \).