Основу большинства подходов для построения решений \( \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \) и амплитуды рассеяния \( f(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}) \) составляет интегральное уравнение
\[
\psi(\mathbf{x}, \mathbf{k})=e^{i \mathbf{k} \mathbf{x}}-\frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbf{R}^{i}} \frac{e^{i k|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} V(\mathbf{y}) \psi(\mathbf{y}, \mathbf{k}) d \mathbf{y},
\]
которое часто называют уравнением Липпмана – Швингера.
Проверим, что решение этого уравнения удовлетворяет уравнению (39.2) и асимптотическому условию (39.7)*. Действительно, используя формулы
\[
\left(\Delta+k^{2}\right) e^{i \mathrm{kx}}=0, \quad\left(\Delta+k^{2}\right) e^{i k r} / r=-4 \pi \delta(\mathbf{x}),
\]
получим
\[
\left(\Delta+k^{2}\right) \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k})=0+\int_{\mathbf{R}^{*}} \delta(\mathbf{x}-\mathbf{y}) V(\mathbf{y}) \psi(\mathbf{y}, \mathbf{k}) d \mathbf{y}=V(\mathbf{x}) \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) .
\]

Асимптотическое условие проверим для случая финитного потенциала ( \( V(\mathbf{x})=0 \) при \( r>a \) ). Имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{|\mathrm{x}-\mathrm{y}|}=\frac{1}{r}+O\left(\frac{1}{r^{2}}\right), \quad r=|\mathbf{x}|, \quad|\mathbf{y}|<a, \\
|\mathrm{x}-\mathrm{y}|=r \sqrt{1-\frac{2 \mathrm{xy}}{r^{2}}+\frac{y^{2}}{r^{2}}}=r-\mathrm{ny}+O\left(\frac{1}{r}\right) \text {, } \\
e^{i k|\mathrm{x}-\mathrm{y}|}=e^{i(k r-k \mathrm{ny})}+O\left(\frac{1}{r}\right) \text {. } \\
\end{array}
\]

Поэтому для функции \( \psi(x, k) \) получим
\[
\psi(\mathbf{x}, \mathbf{k})=e^{i \mathbf{k} \mathbf{x}}-\frac{1}{4 \pi} \frac{e^{i k r}}{r} \int_{\mathbf{R}^{2}} e^{-i k \mathrm{ny}} V(\mathbf{y}) \psi(\mathbf{y}, \mathbf{k}) d \mathbf{y}+O\left(\frac{1}{r^{2}}\right) .
\]

Сравнивая последнюю формулу с (39.7), мы видим, что решение интегрального уравнения имеет правильную асимптотику,
* Можно, конечно, проверить и обратное утверждение.
и, кроме того, получаем
\[
f(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega})=-\frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbf{R}^{3}} e^{-i k \mathrm{nx}} V(\mathbf{x}) \psi(\mathbf{x}, k \boldsymbol{\omega}) d \mathbf{x} .
\]

Формула (2), в которой амплитуда рассеяния выражена через решение уравнения (1), часто оказывается полезной для приближенного нахождения \( f(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}) \).

Один из приближенных методов теории рассеяния основан на использовании ряда итераций уравнения (1)
\[
\psi(\mathbf{x}, \mathbf{k})=\sum_{n=0}^{\infty} \psi^{n}(\mathbf{x}, \mathbf{k})
\]
где
\[
\psi^{(0)}(\mathbf{x}, \mathbf{k})=e^{i \mathbf{k}}, \quad \psi^{(n+1)}(\mathbf{x}, \mathbf{k})=-\frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbf{R}^{3}} \frac{e^{i k|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} V(\mathbf{y}) \psi^{(n)}(\mathbf{y}, \mathbf{k}) .
\]

Ряд (3) называется борновским рядом, подстановка (3) в (2) дает борновский ряд для амплитуды рассеяния. Борновский ряд для задачи рассеяния на потенциальном центре хорошо изучен. Известно, например, что он сходится при условии
\[
\max _{\mathbf{x}} \int_{\mathrm{R}^{3}}|V(\mathrm{y})| \frac{1}{|\mathrm{x}-\mathrm{y}|} d \mathrm{y}<4 \pi .
\]

Известно также, что при этом условии на потенциал оператор \( H \) не имеет дискретного спектра. Если дискретный спектр присутствует, то ряд (3) сходится не при всех \( k \). В то же время при достаточно больших \( k \) ряд (3) сходится для весьма широкого класса потенциалов.

Простейшее приближение для амплитуды рассеяния получится, если в (2) вместо \( \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \) подставить \( \psi^{(0)}(\mathbf{x}, \mathbf{k})=e^{i \mathbf{k} \mathbf{x}} \)
\[
f_{B}(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega})=-\frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbf{R}^{i}} e^{-i k \mathrm{nx} V}(\mathbf{x}) e^{i k \boldsymbol{x}} d \mathbf{x} .
\]

Это приближение называется борновским приближением. Точное утверждение состоит в том, что при больших \( k \)
\[
f(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega})-f_{B}(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega})=o(1)
\]

равномерно по \( \mathbf{n} \) и \( \boldsymbol{~} \).
Интегральное уравнение используется для математического изучения задачи о рассеянии. При подходящем выборе функционального пространства это уравнение может быть сведено к уравнению второго рода
\[
\psi=\varphi+A \psi
\]
с вполне непрерывным оператором. Поэтому для уравнения (1) справедливы теоремы Фредгольма. Для широкого класса потенциалов показано, что соответствующее однородное уравнение может иметь решения лишь при мнимых значениях параметра \( k\left(k_{n}=i \chi_{n}, x_{n}>0\right) \). Буквально повторяя вычисления, приведенные в начале этого параграфа, легко убедиться, что решение \( \psi_{n}(\mathbf{x}) \) однородного уравнения удовлетворяет уравнению Шредингера \( [-\Delta+V(\mathbf{x})] \psi_{n}(\mathbf{x})=-x_{n}^{2} \psi_{n}(\mathbf{x}) \) и имеет асимптотику \( \boldsymbol{\psi}_{n}(\mathbf{x}) \cong f(\mathbf{n}) e^{-x_{n} r} / r \), где \( f(\mathbf{n}) \) – некоторая функция, определенная на единичной сфере. Это значит, что решения однородного уравнения являются собственными функциями дискретного спектра оператора \( H \). С помощью интегрального уравнения (1) была доказана полнота набора собственных функций \( \left\{\psi_{n}(\mathbf{x}), \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k})\right\} \) оператора \( H \).