Согласно результатам \( \S 16 \) любой вектор \( \varphi \in \mathscr{H} \) может быть разложен в ряд по собственным векторам оператора энергии гармонического осциллятора
\[
\varphi=\sum_{n} C_{n} \frac{\left(a^{*}\right)^{n}}{\sqrt{n !}} \psi_{0}, \sum_{n}\left|C_{n}\right|^{2}<\infty .
\]

Қаждый вектор \( \varphi \in \mathscr{H} \) однозначно определяется последова. тельностью коэффициентов \( \left\{C_{n}\right\} \), т. е.
\[
\varphi \leftrightarrow\left\{C_{n}\right\} .
\]

Пусть \( \psi \leftrightarrow\left\{B_{n}\right\} \), тогда в силу ортонормированности системы векторов \( \psi_{n}=\frac{\left(a^{*}\right)^{n}}{\sqrt{n !}} \psi_{0} \)
\[
(\psi, \varphi)=\sum_{n} B_{n} \bar{C}_{n} .
\]

Посмотрим, как действуют операторы в таком представлении. Для этого достаточно построить операторы \( a \) и \( a^{*} \). Пусть \( \varphi \leftrightarrow\left\{C_{n}\right\}, \quad а \leftrightarrow\left\{C_{n}^{\prime}\right\} \). Нам нужно выразить \( C_{n}^{\prime} \) через \( C_{n} \). Это можно сделать следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
a \varphi=a \sum_{n} C_{n} \frac{\left(a^{*}\right)^{n}}{\sqrt{n !}} \psi_{0}=\sum_{n} C_{n} \frac{n\left(a^{*}\right)^{n-1}}{\sqrt{n !}} \psi_{0}= \\
\quad=\sum_{n} \sqrt{n} C_{n} \frac{\left(a^{*}\right)^{n-1}}{\sqrt{(n-1) !}} \psi_{0}=\sum_{n} \sqrt{n+1} C_{n+1} \frac{\left(a^{*}\right)^{n}}{\sqrt{n !}} \psi_{0} .
\end{array}
\]

При вычислении использовались соотношения \( \left[a,\left(a^{*}\right)^{n}\right]= \) \( =n\left(a^{*}\right)^{n-1}, a \psi_{0}=0 \), последнее равенство получается при замене значка суммирования \( n \rightarrow n+1 \). Из (1) видно, что
\[
C_{n}^{\prime}=\sqrt{n+1} C_{n+1} .
\]

Аналогично
\[
\begin{array}{l}
a^{*} \varphi=a^{*} \sum_{n} C_{n} \frac{\left(a^{*}\right)^{n}}{\sqrt{n !}} \psi_{0}=\sum_{n} C_{n} \frac{\left(a^{*}\right)^{n+1}}{\sqrt{n !}} \psi_{0}= \\
=\sum_{n} \sqrt{n+1} C_{n} \frac{\left(a^{*}\right)^{n+1}}{\sqrt{(n+1) !}} \psi_{0}=\sum_{n} \sqrt{n} C_{n-1} \frac{\left(a^{*}\right)^{n}}{\sqrt{n !}} \psi_{0} .
\end{array}
\]

Поэтому, если \( a^{*} \varphi \leftrightarrow\left\{C_{n}^{\prime \prime}\right\} \), то
\[
C_{n}^{\prime \prime}=\sqrt{n} C_{n-1} .
\]

Формулы (2) и (3) становятся особенно наглядными, если использовать матричные обозначения. Будем записывать последовательность \( \left\{C_{n}\right\} \) в виде столбца
\[
\varphi \leftrightarrow\left(\begin{array}{c}
C_{0} \\
C_{1} \\
C_{2} \\
\vdots \\
.
\end{array}\right) .
\]

Тогда операторы \( a \) и \( a^{*} \) могут быть записаны при помощи матриц
\[
a \leftrightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & . \\
0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & : \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & .
\end{array}\right), \quad a^{*} \leftrightarrow\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & : \\
\sqrt{1} & 0 & 0 & : \\
0 & \sqrt{2} & 0 & : \\
\ldots & \ldots & . & .
\end{array}\right) .
\]

Проверим, что такая запись эквивалентна соотношениям и (3). Действительно,
\[
a \varphi \leftrightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & : \\
0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & : \\
0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & \vdots \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & .
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
C_{0} \\
C_{1} \\
C_{2} \\
\vdots \\
.
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\sqrt{1} & C_{1} \\
\sqrt{2} & C_{2} \\
\sqrt{3} & C_{3} \\
\cdots & \vdots
\end{array}\right),
\]

что совпадает с формулой (2); аналогично проверяется связь формул (3) и (4). Для операторов \( a \) и \( a^{*} \) в представлении (4) сразу же проверяется перестановочное соотношение \( \left[a, a^{*}\right]=1 \). Собственные векторы оператора \( H \) в этом представлении имеют вид
\[
\psi_{0}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
. \\
.
\end{array}\right), \quad \psi_{1}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
: \\
.
\end{array}\right), \quad \psi_{2}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1 \\
. \\
.
\end{array}\right), \ldots
\]

Очевидно, что вектор \( \psi_{0} \) удовлетворяет уравнению \( a \psi_{0}=0 \).
Операторы \( a^{*} \) и \( a \) часто называют операторами рождения и уничтожения возбуждения. Эти названия объясняются тем, что оператор \( a^{*} \) превращает состояние с энергией \( E \) в состояние

с большей энергией \( E+\omega \), а оператор \( a \)-состояние с энергией \( E \) в состояние с энергией \( E-\omega \) (основное состояние \( \psi_{0} \) оператор \( a \) аннулирует). Иногда вводят так называемый оператор числа возбуждений \( N=a^{*} a \). В нашем представлении он имеет вид
\[
N \leftrightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & . \\
0 & 1 & 0 & 0 & : \\
0 & 0 & 2 & 0 & : \\
0 & 0 & 0 & 3 & : \\
. & \ldots & \ldots & .
\end{array}\right) .
\]

Собственные значения этого оператора совпадают с порядковым номером возбужденного состояния \( \psi_{n} \).

Выпишем, наконец, операторы \( H, \mathrm{P} \) и \( Q \) в рассматриваемом представлении
\[
\begin{array}{l}
Q=\frac{a+a^{*}}{\sqrt{2 \omega}} \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2 \omega}}\left[\begin{array}{ccccc}
0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & : \\
\sqrt{1} & 0 & \sqrt{2} & 0 & \vdots \\
0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3} & \vdots \\
0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \vdots \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots
\end{array}\right] \\
\end{array}
\]

Из этих формул видно, что \( H \) представляется диагональной матрицей, т. е. рассматриваемое представление является собственным для оператора Шредингера гармонического осциллятора. Далее, сразу видно, что \( P \) и \( Q \)-самосопряженные операторы, и легко можно проверить выполнение перестановочного соотношения \( [Q, P]=i \).

В связи с представлением состояний в пространстве \( l_{2} \) хотелось бы несколько слов сказать о первоначальной матричной формулировке квантовой механики Гейзенберга. На начальном этапе развития квантовой механики основной была задача

о нахождении допустимых значений энергии системы. Рецепт, предложенный Гейзенбергом применительно к системе с одной степенью свободы, состоял в следующем. Рассматривалась классическая система с функцией Гамильтона \( H(q, p)= \) \( =p^{2} / 2 m+V(q) \). Строились самосопряженные матрицы \( Q \) и \( P \), удовлетворяющие соотношению \( [Q, P]=i \) (такие матрицы определены неоднозначно). Далее строилась матрица \( H= \) \( =P^{2} / 2 m+V(Q) \). Последний этап состоял в диагонализации этой матрицы, причем собственные значения матрицы \( H \) отождествлялись с допустимыми значениями энергии.

Формулы (6) и (7) дают пример матриц \( P \) и \( Q \), удовлетворяющих перестановочным соотношениям Гейзенберга. Эти матрицы подобраны так, что матрица оператора \( H \) для осциллятора сразу является диагональной. Однако для произвольного \( H \) нельзя обойтись без этапа диагонализации.

Мы видим, что формулировка Гейзенберга по существу совпадает с современной формулировкой квантовой механики, если в качестве пространства состояний взять пространство \( l_{2} \).