В предыдущем параграфе мы чисто алгебраическим путем нашли спектр оператора Шредингера для осциллятора. Было сделано только одно предположение, что существует хотя бы один собственный вектор оператора $H$. Это эквивалентно существованию решения уравнения $a{\psi }_0=0$. Покажем, что в координатном представлении действительно существует единственное решение этого уравнения. Эапишем операторы $a$ и $a^{\ast }$ в координатном представлении
$$\begin{array}{l}a=\frac{1}{\sqrt{2\omega }}(\omega x+\frac{d}{dx}),\\ a^{\ast }=\frac{1}{\sqrt{2\omega }}(\omega x-\frac{d}{dx}).\end{array}$$

Уравнение $a{\psi }_0=0$ принимает вид
$$\omega x{\psi }_0(x)+{\psi }_0^{\prime }(x)=0.$$

Разделяя переменные, получим
$$\begin{array}{l}\frac{d{\psi }_0}{{\psi }_0}=-\omega xdx\\ {\psi }_0(x)=C{e}^{-\frac{\omega x^2}{2}}.\end{array}$$

Постоянная $C$ находится из условия нормировки
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{|{\psi }_0(x)|}^{2}dx=|C{|}^2{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\omega x^2}dx=|C{|}^2{\left(\frac{\pi }{\omega }\right)}^{\frac{1}{2}}=1.$$

Этому условию удовлетворяет $C=(\omega /\pi {)}^{1/4}$, и нормированная собственная функция для основного состояния имеет вид
$${\psi }_0(x)={\left(\frac{0}{\pi }\right)}^{\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{\omega x^2}{2}}.$$

Собственные функции для возбужденных сосюояний ${\psi }_n(x)$ находятся по формуле (16.12) с учетом (2)
$${\psi }_n(x)={\left(\frac{\omega }{\pi }\right)}^{\frac{1}{4}}\frac{(2\omega {)}^{-\frac{n}{2}}}{\sqrt{n!}}{(\omega x-\frac{d}{dx})}^n{e}^{-\frac{\omega x^2}{2}}.$$

Очевидно, что эти функции имеют вид
$${\psi }_n(x)=P_n(x)e^{-\frac{\omega x^2}{2}},$$

где $P_n(x)$ — полином $n$-й степени. Можно показать, что $P_n(x)=$ $=H_n(\sqrt{\omega }x)$, где $H_n(\xi )$ — полином Чебышева-Эрмита. Известно, что система функций $H_n(\xi )e^{-\frac{{\xi }^2}{2}}$ полна в $L^2(\mathbf{R})$. Это утверждение, вообще говоря, следует из неприводимости координатного представления и результатов предыдущего параграфа.

Функция ${|{\psi }_n(x)|}^2$ является плотностью функции распределения координаты в $n$-м состоянии осциллятора. Интересно сравнить это распределение с соответствующим классическим распределением. Решение классической задачи об осцилляторе имеет вид
$$x(t)=A\sin (\omega t+\phi ),$$

где $A$-амплитуда колебания, а $\phi$ — начальная фаза. Энергия колебаний может быть вычислена по формуле
$$E=\frac{{\dot{x}}^2}{2}+\frac{{\omega }^2{x}^2}{2}$$

и равна ${\omega }^2{A}^2/2$. Соответствующая плотность функции распределения координаты имеет вид
$$F(x)=\delta (x-x(t)).$$

Ясно, что стационарное состояние квантового осциллятора ни при каких условиях не может переходить в классическое чистое состояние, задаваемое формулой (3). Естественно предположить, что пределом квантового состояния будет классическое смешанное состояние, являющееся выпуклой комбинацией (3)
Рис. 5.

со случайными фазами $\phi$. Для такого состояния плотность функции распределения координаты получается усреднением (4)
$$\begin{array}{l}F(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\delta (A\sin (\omega t+\phi )-x)d\phi =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\delta (A\sin \phi -x)d\phi =\\ =\frac{1}{\pi }{\int }_A^A\delta (y-x)\frac{1}{\sqrt{A^2-y^2}}=\{\begin{array}{rl}\frac{1}{\pi }\frac{1}{\sqrt{A^2-x^2}},& x\in (-A,A),\\ 0,& x\in (-A,A),\end{array}\end{array}$$

или короче
$$F(x)=\frac{\theta (A^2-x^2)}{\pi \sqrt{A^2-x^2}}.$$

Графики функций $F(x)$ и ${|{\psi }_n(x)|}^2$ приведены на рис. 5 для достаточно большого $n$ при условии, что * $E_n=h(n+1/2)\omega =$ $={\omega }^2{A}^2/2$. При $n\to \mathrm{\infty }$ квантовое распределение будет стремиться к классическому. Условие $n\to \mathrm{\infty }$ при заданной энергии $E$ может быть выполнено, если $h\to 0$.

Отметим важное отличие функций $F(x)$ и ${|{\psi }_n(x)|}^2$. Функция $F(x)=0$ при , т. а классическая частица всегда находится между точками $-A$ и $A$ (в классически разрешен ной области). Функция ${|{\psi }_n(x)|}^2$ при в нуль не обращается. Это означает, что квантовая частица может быть обнаружена с конечной вероятностью в классически запрещенной
* Здесь мы для удобства явно выписываем постоянную Планка $h$, не считая, что $h=1$.

области. Для произвольного потенциала $V(x)$ эта область определяется из условия, что полная энергия , что соответствует отрицательным значениям классической кинетической энергии.