В предыдущем параграфе мы чисто алгебраическим путем нашли спектр оператора Шредингера для осциллятора. Было сделано только одно предположение, что существует хотя бы один собственный вектор оператора \( H \). Это эквивалентно существованию решения уравнения \( a \psi_{0}=0 \). Покажем, что в координатном представлении действительно существует единственное решение этого уравнения. Эапишем операторы \( a \) и \( a^{*} \) в координатном представлении
\[
\begin{array}{l}
a=\frac{1}{\sqrt{2 \omega}}\left(\omega x+\frac{d}{d x}\right), \\
a^{*}=\frac{1}{\sqrt{2 \omega}}\left(\omega x-\frac{d}{d x}\right) .
\end{array}
\]

Уравнение \( a \psi_{0}=0 \) принимает вид
\[
\omega x \psi_{0}(x)+\psi_{0}^{\prime}(x)=0 .
\]

Разделяя переменные, получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \psi_{0}}{\psi_{0}}=-\omega x d x \\
\psi_{0}(x)=C e^{-\frac{\omega x^{2}}{2}} .
\end{array}
\]

Постоянная \( C \) находится из условия нормировки
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left|\psi_{0}(x)\right|^{2} d x=|C|^{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\omega x^{2}} d x=|C|^{2}\left(\frac{\pi}{\omega}\right)^{\frac{1}{2}}=1 .
\]

Этому условию удовлетворяет \( C=(\omega / \pi)^{1 / 4} \), и нормированная собственная функция для основного состояния имеет вид
\[
\psi_{0}(x)=\left(\frac{0}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{\omega x^{2}}{2}} .
\]

Собственные функции для возбужденных сосюояний \( \psi_{n}(x) \) находятся по формуле (16.12) с учетом (2)
\[
\psi_{n}(x)=\left(\frac{\omega}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}} \frac{(2 \omega)^{-\frac{n}{2}}}{\sqrt{n !}}\left(\omega x-\frac{d}{d x}\right)^{n} e^{-\frac{\omega x^{2}}{2}} .
\]

Очевидно, что эти функции имеют вид
\[
\psi_{n}(x)=P_{n}(x) e^{-\frac{\omega x^{2}}{2}},
\]

где \( P_{n}(x) \) – полином \( n \)-й степени. Можно показать, что \( P_{n}(x)= \) \( =H_{n}(\sqrt{\omega} x) \), где \( H_{n}(\xi) \) – полином Чебышева-Эрмита. Известно, что система функций \( H_{n}(\xi) e^{-\frac{\xi^{2}}{2}} \) полна в \( L^{2}(\mathbf{R}) \). Это утверждение, вообще говоря, следует из неприводимости координатного представления и результатов предыдущего параграфа.

Функция \( \left|\psi_{n}(x)\right|^{2} \) является плотностью функции распределения координаты в \( n \)-м состоянии осциллятора. Интересно сравнить это распределение с соответствующим классическим распределением. Решение классической задачи об осцилляторе имеет вид
\[
x(t)=A \sin (\omega t+\varphi),
\]

где \( A \)-амплитуда колебания, а \( \varphi \) – начальная фаза. Энергия колебаний может быть вычислена по формуле
\[
E=\frac{\dot{x}^{2}}{2}+\frac{\omega^{2} x^{2}}{2}
\]

и равна \( \omega^{2} A^{2} / 2 \). Соответствующая плотность функции распределения координаты имеет вид
\[
F(x)=\delta(x-x(t)) .
\]

Ясно, что стационарное состояние квантового осциллятора ни при каких условиях не может переходить в классическое чистое состояние, задаваемое формулой (3). Естественно предположить, что пределом квантового состояния будет классическое смешанное состояние, являющееся выпуклой комбинацией (3)
Рис. 5.

со случайными фазами \( \varphi \). Для такого состояния плотность функции распределения координаты получается усреднением (4)
\[
\begin{array}{l}
F(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \delta(A \sin (\omega t+\varphi)-x) d \varphi=\frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \delta(A \sin \varphi-x) d \varphi= \\
=\frac{1}{\pi} \int_{A}^{A} \delta(y-x) \frac{1}{\sqrt{A^{2}-y^{2}}}=\left\{\begin{aligned}
\frac{1}{\pi} \frac{1}{\sqrt{A^{2}-x^{2}}}, & x \in(-A, A), \\
0, & x \in(-A, A),
\end{aligned}\right. \\
\end{array}
\]

или короче
\[
F(x)=\frac{\theta\left(A^{2}-x^{2}\right)}{\pi \sqrt{A^{2}-x^{2}}} .
\]

Графики функций \( F(x) \) и \( \left|\psi_{n}(x)\right|^{2} \) приведены на рис. 5 для достаточно большого \( n \) при условии, что * \( E_{n}=h(n+1 / 2) \omega= \) \( =\omega^{2} A^{2} / 2 \). При \( n \rightarrow \infty \) квантовое распределение будет стремиться к классическому. Условие \( n \rightarrow \infty \) при заданной энергии \( E \) может быть выполнено, если \( h \rightarrow 0 \).

Отметим важное отличие функций \( F(x) \) и \( \left|\psi_{n}(x)\right|^{2} \). Функция \( F(x)=0 \) при \( |x|>A \), т. а классическая частица всегда находится между точками \( -A \) и \( A \) (в классически разрешен ной области). Функция \( \left|\psi_{n}(x)\right|^{2} \) при \( |x|>A \) в нуль не обращается. Это означает, что квантовая частица может быть обнаружена с конечной вероятностью в классически запрещенной
* Здесь мы для удобства явно выписываем постоянную Планка \( h \), не считая, что \( h=1 \).

области. Для произвольного потенциала \( V(x) \) эта область определяется из условия, что полная энергия \( E<V(x) \), что соответствует отрицательным значениям классической кинетической энергии.