Оператор \( A \) называется сферически-симметричным, если он коммутирует со всеми операторами \( W(g) \) представления группы вращений.
Очевидно, что оператор \( A \) является сферически-симметричным, если \( \left[A, L_{i}\right]=0, i=1,2,3 \).
Приведем примеры сферически-симметричных операторов.
1) Оператор умножения на функцию \( f(r) \). В самом деле, мы видели, что операторы момента импульса действуют только на угловые переменные. Поэтому \( L_{i} f(r) \psi(\mathbf{x})=f(r) L_{i} \psi(\mathbf{x}) \) при произвольной \( \psi \in \mathscr{H} \).
2) Оператор \( L^{2} \). Сферическая симметрия этого оператора следует из полученных ранее соотношений \( \left[L^{2}, L_{i}\right]=0, i=1 \), \( 2,3 \).
3) Оператор кинетической энергии \( T=-\frac{1}{2 m} \Delta \). Сферическая симметрия этого оператора сразу видна в импульсном представлении, в котором он является оператором умножения на функцию \( p^{2} /(2 m) \). Операторы момента импульса \( L_{i} \) в импульсном представлении имеют точно такой же вид, как и в координатном.
4) Оператор Шредингера для частицы в центральном поле
\[
H=-\frac{1}{2 m} \Delta+V(r)
\]
как сумма двух сферически-симметричных операторов.
Обратим внимание на то, что из самого существования сферически-симметричных операторов, отличных от \( C I \), следует приводимость построенного представления группы вращений в пространстве состояний \( \mathscr{G} \).

Выясним теперь особенности спектра оператора Шредингера в центральном поле, связанные с его сферической симметрией. Пусть \( \psi \) – некоторый собственный вектор, соответствующий
собственному значению \( E \)
Тогда
\[
H \psi=E \psi
\]
\[
H W(g) \psi=W(g) H \psi=E W(g) \psi,
\]
откуда видно, что вектор \( W(g) \psi \) тоже является собственным вектором \( H \), соответствующим тому же собственному значению.

Мы видим, что собственное подпространство \( \mathscr{H}_{E} \) оператора \( H \), соответствующее собственному значению \( E \), является инвариантным относительно вращений (т. е. относительно действия операторов \( W(g)) \). Представление \( W \) групты вращений в пространстве \( \mathscr{H} \) индуцирует представление \( W_{E} \) в подпространстве \( \mathscr{H}_{E} \) \( g \rightarrow W_{E}(g) \), где \( W_{E}(g) \) – ограничение оператора \( W(g) \) на подпространство \( \mathscr{H}_{E} \) (в дальнейшем мы будем пользоваться обозначением \( W(g) \) и для операторов \( \left.W_{E}(g)\right) \). Могут представиться два случая: либо представление, индуцированное в \( \mathscr{H}_{E} \), является неприводимым, либо \( \mathscr{H}_{E} \) содержит инвариантные относительно \( W(g) \) подпространства меньшей размерности, и тогда это представление будет эквивалентно прямой сумме неприводимых представлений *.

Мы видим, что кратность собственного значения сферическисимметричного оператора Шредингера всегда не меньше размерности некоторого неприводимого представления группы вращений и в первом из упомянутых случаев совпадает с этой размерностью.

Появление кратных собственных значений энергии в физике называют вырождением, а такие энергетические уровни вырожденными. Если в каждом из собственных подпространств индуцированное представление неприводимо, то говорят, что оператор \( H \) не имеет случайных вырождений. В этом случае кратность спектра полностью объясняется выбранной симметрией задачи. При наличии случайных вырождений, возможно, существует более богатая группа симметрии уравнения Шредингера. Именно так обстоит дело с оператором Шредингера для атома водорода, который, как мы увидим, имеет случайные вырождения относительно группы вращений.

Заметим, что у сферически-симметричного оператора \( H \) с чисто точечным спектром существуют собственные значения сколь угодно большой кратности. Действительно, в этом случае \( \mathscr{H} \) представимо в виде
\[
\mathscr{H}=\mathscr{G}_{E_{1}} \oplus \mathscr{H}_{E_{2}} \oplus \ldots .
\]
* Здесь мы используем известную из теории групп теорему:

Пусть задано унитарное представление \( g \rightarrow W(g) \) группы вращений в гильбертовом пространстве \( \mathscr{E} \). Тогда существуют конечномерные подпространства \( \mathscr{E}_{1}, \mathscr{E}_{2}, \ldots \), инвариантные огносительно \( W(\mathrm{~g}) \), в каждом из которых представление \( W \) неприводимо. Эти подпространсгва попарно ортогональны, и их сумма есть все \( \mathscr{E}_{1} \) т. е. \( \mathscr{E}=\mathscr{E}_{1} \bigoplus \mathscr{E}_{2} \bigoplus \ldots \).
С другой стороны,
\[
\mathscr{H}=\mathscr{H}_{1} \oplus \mathscr{H}_{2} \oplus \ldots,
\]
где через \( \mathscr{H}_{n} \) обозначены подпространства, в которых действуют неприводимые представления группы вращений. Изучая такие представления в \( \$ 30 \), мы увидим, что среди \( \mathscr{H}_{n} \) имеются подпространства сколь угодно большой размерности. Но для любого \( \mathscr{\mathscr { C }}_{n} \) хотя бы одно из пересечений \( \mathscr{H}_{n} \cap \mathscr{\mathscr { C }}_{E_{k}}
eq \varnothing \) и тогда содержит \( \mathscr{H}_{n} \) целиком, поэтому собственное значение \( E_{k} \) имеет кратность не меньшую, чем размерность * \( \mathscr{H}_{n} \).

Если система не имеет случайных вырождений, то собственные значения оператора \( H \) можно классифицировать с помощью неприводимых представлений группы \( G \) в том смысле, что каждое собственное подпространство \( \mathscr{H}_{E} \) является и собственным подпространством соответствующего представления. Поэтому важной представляется задача о нахождении всех неприводимых представлений группы вращений. Этим вопросом мы займемся в следующих параграфах.

В заключение этого параграфа заметим, что такую сравнительно простую задачу квантовой механики, как задача о движении в центральном поле, можно было бы решатть вообще не привлекая теории групп. Наша цель на этом примере показать, как применяется теория групп при решении квантовомеханических задач. Микромир (атомы, молекулы, кристаллические решетки) весьма богат различными видами симметрии. Теория представлений групп позволяет с самого начала явно учесть эти свойства симметрии, и зачастую только подход, основанный на теории групп, позволяет получать важные результаты для очень сложных систем.
* Очень простым примером сферически-симметричного оператора с чисто точечным спектром является оператор Шредингера для трехмерного гармонического осциллятора
\[
H=\frac{P_{1}^{2}+P_{2}^{2}+P_{3}^{2}}{2}+\frac{\omega^{2}\left(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}+Q_{3}^{2}\right)}{2}
\]
или в координатном представлении
\[
H=-\frac{1}{2} \Delta+\frac{\omega^{2}}{2} r^{2} .
\]

Задача разделением переменных сводится к одномерному случаю и для собственных значений получается формула
\[
E_{n_{1} n_{2} n_{3}}=\left(n_{1}+n_{2}+n_{3}+\frac{3}{2}\right) \omega, \quad n_{1}, n_{2}, n_{3}=0,1,2, \ldots
\]

Каждой тройке чисел \( n_{1}, n_{2}, n_{3} \) соответствует собственный вектор \( \Psi_{n_{1} n_{2} n_{3}} \). Видно, что кратность собственных значений \( E \) при \( E \rightarrow \infty \) растет неогра: ниченно.