Рассмотрим теперь уравнения для собственных векторов операторов \( Q \) и \( P \). Для простоты записи рассмотрим частицу с одной степенью свободы. В координатном представлении эти уравнения имеют вид
\[
\begin{array}{c}
x \varphi_{x_{0}}(x)=x_{0} \varphi_{x_{0}}(x), \\
\frac{h}{i} \frac{d}{d x} \varphi_{p}(x)=p \varphi_{p}(x)
\end{array}
\]

Решая эти уравнения, получим
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{x_{0}}(x)=\delta\left(x-x_{0}\right), \\
\varphi_{p}(x)=\left(\frac{1}{2 \pi h}\right)^{\frac{1}{2}} e^{\frac{i}{h} p x} .
\end{array}
\]
(Первая формула сразу следует из свойства \( \delta \)-функции \( x \delta(x)=0 \), вторая очевидна. Выбор нормировочных констант бу. дет ясен из дальнейшего.)

Хотя «собственная функция» оператора координаты \( \varphi_{x_{0}}(x) \) есть обобщенная функция, а \( \varphi_{9}(x) \) – обычная функция, их объединяет то, что они обе не являются квадратично интегрируемыми, т. е. не принадлежат пространству \( L^{2} \). Собственных функций в обычном смысле слова у операторов \( Q \) и \( P \) нет.

Чтобы понять, как функции \( \varphi_{r}(x) \) и \( \varphi_{n}(x) \) связаны со спектром операторов \( Q \) и \( P \), вспомним, какой смысл имеют собственные векторы в \( \mathbf{C}^{n} \). Задача о нахождении собственных чисел и собственных векторов матрицы \( A \) связана с задачей о диагонализации этой матрицы подобным преобразованием или, иначе говоря, с преобразованием оператора из некоторого исходного представления в собственное.
Для самосопряженного оператора \( A \) в \( \mathbf{C}^{n} \) всегда существует базис, составленный из собственных векторов
\[
A \varphi_{i}=a_{i} \varphi_{i},\left(\varphi_{i}, \varphi_{k}\right)=\delta_{i k} .
\]

Собственные векторы мы ищем в исходном представлении, в котором
\[
\begin{array}{c}
\xi \leftrightarrow\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right), \\
\varphi_{i} \leftrightarrow\left(\varphi_{1}^{(i)}, \ldots, \varphi_{n}^{(i)}\right) .
\end{array}
\]

Компоненты вектора \( \xi \) в собственном представлении оператора \( A \) вычисляются по формуле
\[
\xi_{i}^{\prime}=\left(\xi, \varphi_{i}\right)=\sum_{k=1}^{n} \xi_{k} \overline{\varphi_{k}^{(i)}} .
\]

Мы видим, что матрица, составленная из чисел, сопряженных компонентам собственных векторов \( U_{i k}=\overline{\varphi_{k}^{(i)}} \), осуществляет спектральное преобразование
\[
\xi_{l}^{\prime}=\sum_{k=1}^{n} U_{i k} \xi_{k} .
\]

Матрица \( U \) является унитарной, так как
\[
\sum_{k=1}^{n} U_{i k} U_{k j}^{*}=\sum_{k=1}^{n} U_{i k} \overline{U_{j k}}=\sum_{k=1}^{n} \overline{\varphi_{k}^{(i)}} \varphi_{k}^{(j .}=\left(\varphi_{j}, \varphi_{i}\right)=\delta_{i j} .
\]

Если мы формально в (5) заменим \( \varphi_{i} \) на \( \varphi_{p} \) и \( \xi_{i}^{\prime} \) на \( \xi(p) \), то получим
\[
\xi(p)=\left(\xi, \varphi_{p}\right)
\]

или
\[
\xi(p)=\left(\frac{1}{2 \pi h}\right)^{\frac{1}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{i p x}{h}} \xi(x) d x .
\]

Эта формула нам уже знакома. Мы видим, что функция \( U(p, x)=\overline{\varphi_{p}(x)} \) является ядром унитарного оператора, переводящего координатное представление в импульсное (собственное для оператора \( P \) ). Так же может быть истолкована и «собственная функция» оператора координаты \( Q \). Координатное представление является собственным для оператора \( Q \), поэтому оператор, осуществляющий спектральное преобразование, должен быть единичным, а \( \overline{\varphi_{x_{0}}(x)}=\delta\left(x-x_{0}\right) \) является ядром единичного оператора.

На этих примерах мы видим, что «собственные функции» непрерывного спектра, хотя и не являются собственными элементами в обычном смысле слова, но их связь со спектральным преобразованием остается такой же, как и для собственных векторов в конечномерном пространстве.

Заметим, что существует конструкция, позволяющая придать решениям уравнения
\[
A \varphi_{\lambda}=\lambda \varphi_{\lambda}
\]

точный смысл собственных векторов даже для случая, когда \( \varphi_{\lambda} \) не принадлежат \( \mathscr{H} \) : Для этого вводится более широкое пространство \( \Phi^{*} \supset \mathscr{H} \), элементами которого являются линейные функционалы, определенные на некотором пространстве \( \Phi \subset \mathscr{H} \). Пару пространств \( \Phi \) и \( \Phi^{*} \) удается построить так, чтобы каждый самосопряженный оператор в \( \mathscr{H} \) имел в \( \Phi^{*} \) полную систему собственных векторов. Собственные элементы оператора \( A \), принадлежащие \( \Phi^{*} \) и не принадлежащие \( \mathscr{H} \), называются обобщенными собственными элементами. Если оператор \( A \) имеет простой спектр, то для любого \( \psi \in \Phi \) имеет место разложение по собственным элементам
\[
\psi=\int_{\mathbf{R}} c(\lambda) \varphi_{\lambda} d \lambda
\]

Преобразование Фурье может быть истолковано как разложение по собственным функциям оператора импульса \( \varphi_{p}(x) \) :
\[
\varphi(x)=\left(\frac{1}{2 \pi h}\right)^{\frac{1}{2}} \int_{\mathbf{R}} \varphi(p) e^{i \frac{p x}{h}} d p .
\]

Нормировочная константа ( \( 1 / 2 \pi h)^{1 / 2} \) в выражении для собственной функции импульса соответствует условию нормировки
\[
\int_{\mathbf{R}} \varphi_{p}(x) \overline{\varphi_{p^{\prime}}(x)} d x=\delta\left(p-p^{\prime}\right) .
\]

Эта формула – следствие известного интегрального представления для \( \delta \)-функции:
\[
\int_{\mathbf{R}} e^{i k x} d x=2 \pi \delta(k)
\]

В двух последних формулах интегралы понимаются в смысле главного значения. Формула (9) есть аналог равенства
\[
\left(\varphi_{i}, \varphi_{k}\right)=\delta_{i k}
\]

для собственных векторов дискретного спектра.
Построим теперь спектральную функцию оператора импульса. Только в этом месте мы используем для спектральной функции букву П, чтобы не путать ее с оператором импульса.

В импульсном представлении оператор \( \Pi_{p}(\lambda) \) есть оператор умножения на функцию
\[
\Pi_{p}(\lambda) \varphi(p)=\theta(\lambda-p) \varphi(p) .
\]

Перейдем к координатному представлению. Используя формулу. (11.9) для одномерного случая, получим
\[
\begin{array}{r}
\Pi_{p}(\lambda)(x, y)=\frac{1}{2 \pi h} \int_{R} \theta(\lambda-p) e^{\frac{i}{h} p(x-y)} d p= \\
=\frac{1}{2 \pi h} \int_{-\infty}^{\lambda} e^{\frac{i}{h} p(x-y)} d p=\int_{-\infty}^{\lambda} \varphi_{p}(x) \overline{\varphi_{p}(y)} d p .
\end{array}
\]

Производная от спектральной функции по параметру \( \lambda \) называется спектральной плотностью. Ядро этого оператора имеет вид
\[
\frac{d}{d \lambda} \Pi_{p}(\lambda)(x, y)=\varphi_{\lambda}(x) \overline{\varphi_{\lambda}(y)}=\frac{1}{2 \pi h} e^{\frac{i}{h} \lambda(x-y)} .
\]

Мы видим, что это аналог проектора на одномерное собственное подпространство.