Рассмотрим конкретный пример задачи о рассеянии одномерной частицы на прямоугольном потенциальном барьере. Пусть
\[
V(x)=\left\{\begin{array}{ll}
V_{0}, & |x| \leqslant a, \quad V_{0}>0, \\
0, & |x|>a .
\end{array}\right.
\]

Уравнение \( H \psi=k^{2} \psi \) в этом случае в областях \( I-I I I \) имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\text { I и II: } \psi^{\prime \prime}+k^{2} \psi=0 \text {, } \\
\text { III: } \psi^{\prime \prime}+\alpha^{2} \psi=0,
\end{array}
\]

где \( \alpha=\sqrt{k^{2}-V_{0}} \quad \) (для определенности считаем, что \( \alpha>0 \) при \( k^{2}-V_{0}>0 \) и \( -i \alpha>0 \) ппри \( k^{2}-V_{0}<0 \) ).

Построим решение \( \psi_{1}(k, x) \). Это решение в областях \( I-I I I \) имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\text { I: } e^{i k x}+A e^{-i k x}, \\
\text { II: } B e^{i k x}, \\
\text { III: } m e^{i c \cdot x}+n e^{-i \alpha x} .
\end{array}
\]

Коэффициенты \( A, B, m, n \) находятся из условий непрерывности функции \( \psi_{1} \) и ее производной в точках \( -a \) и \( a \)
\[
\begin{array}{c}
e^{-i k a}+A e^{i k a}=m e^{-i \alpha a}+n e^{i \alpha a}, \\
k\left(e^{-i k a}-A e^{i k a}\right)=\alpha\left(m e^{-i \alpha a}-n e^{i \alpha a}\right), \\
m e^{i \alpha a}+n e^{-i \alpha a}=B e^{i k a}, \\
\alpha\left(m e^{i \alpha a}-n e^{-i \alpha a}\right)=k B e^{i k a} .
\end{array}
\]

Выпишем выражение для коэффициента \( B \)
\[
B=\left[\frac{(\alpha+k)^{2}}{4 \alpha k} e^{2 i(k-\alpha) a}-\frac{(\alpha-k)^{2}}{4 \alpha k} e^{2 i(k+\alpha) a}\right]^{-1} .
\]

Нетрудно проверить, что \( B \rightarrow 0 \) при выполнении любого из условий:
1) \( k \rightarrow 0 \),
2) \( V_{0} \rightarrow \infty \),
3) \( a \rightarrow \infty, k^{2}<V_{0} \).

Наоборот, \( B \rightarrow 1 \) при выполнении одного из условий:
4) \( k \rightarrow \infty \),
5) \( V_{0} \rightarrow 0 \),
6) \( a \rightarrow 0 \).

Мы видим, что в предельных случаях 1) -5) результаты, полученные на основе квантовой механики, совпадают с классиче-
Рис. 13. скими*. На рис. 13 приведен график функции \( |B(k)|^{2} \). Из графика видно, что при некоторых конечных значениях \( k \) вероятность прохождения \( |B|^{2}=1 \). Интересно отметить, что уравнения (1) вместе с условиями (2) и (3) описывают прохождение световых волн через прозрачные пластинки. При этом \( |B|^{2} \) и \( |A|^{2} \) пропорциональны интенсивностям проходящей и отраженной волн. В случае \( |B|^{2}= \) \( =1,:\left.A\right|^{2}=0 \) отраженная волна отсутствует. Это явление используется для просветления оптики.