В этом параграфе мы рассмотрим вопросы, касающиеся физического толкования теории. Прежде всего мы должны научиться строить функции распределения для наблюдаемых в заданном состоянии. Мы знаем общую формулу
\[
\omega_{A}(\lambda)=\langle\theta(\lambda-A) \mid \omega\rangle,
\]

где \( \theta(x) \) – функция Хевисайда. Чтобы построить функцию от наблюдаемой \( \theta(\lambda-A) \), рассмотрим уравнение
\[
A \varphi_{i}=a_{i} \varphi_{i} .
\]

Только для простоты рассуждений пока предположим, что все собственные значения различны, т. е. спектр оператора \( A \) простой, и занумеруем собственные значения в порядке их возрастания \( a_{1}<\ldots<a_{n} \). Через \( P_{\varphi_{i}} \) обозначим операторы проектирования на собственные векторы. Введем оператор
\[
P_{A}(\lambda)=\sum_{a_{i} \leqslant \lambda} P_{\varphi_{i}}
\]
(значок \( i \) под знаком суммы принимает значения, удовлетворяющие условию \( a_{i} \leqslant \lambda \) ). Покажем, что
\[
P_{A}(\lambda)=\theta(\lambda-A) \text {. }
\]

Для проверки этого равенства достаточно убедиться, что операторы \( P_{A}(\lambda) \) и \( \theta(\lambda-A) \) одинаково действуют на базисные векторы \( \varphi_{i} \). Используя определение функции от оператора, имеем
\[
\theta(\lambda-A) \varphi_{i}=\theta\left(\lambda-a_{j}\right) \varphi_{j}=\left\{\begin{array}{ll}
\varphi_{j}, & \lambda \geqslant a_{j}, \\
0, & \lambda<a_{j} .
\end{array}\right.
\]

С другой стороны,
\[
P_{A}(\lambda) \varphi_{j}=\sum_{a_{i} \leqslant \lambda} P_{\varphi_{i}} \varphi_{j}=\left\{\begin{array}{ll}
\varphi_{j}, & \lambda \geqslant a_{j}, \\
0, & \lambda<a_{j} .
\end{array}\right.
\]

Последнее равенство написано с учетом того, что \( P_{\varphi_{i}} \varphi_{j}= \) \( =\delta_{i /} \varphi_{l} \) и оператор \( P_{\varphi_{i}} \) появится под знаком суммы только при условии \( \lambda \geqslant a_{l} \). Легко проверить, что \( P_{A}(\lambda) \) – проектор, т. е. \( P_{A}^{*}(\lambda)=P_{A}(\lambda) \) и \( P_{A}^{2}(\lambda)=P_{A}(\lambda) \). Очевидно, что \( P_{A}(\lambda)=0 \) при \( \lambda<a_{1} \) и \( P_{A}(\lambda)=1 \) при \( \lambda \geqslant a_{n} \). Оператор \( P_{A}(\lambda) \) называется спектральной функцией оператора \( A \).

Теперь нетрудно получить явный вид для функции распределения \( \omega_{A}(\lambda), \omega \leftrightarrow M \),
\[
\begin{array}{r}
\omega_{A}(\lambda)=\left\langle P_{A}(\lambda) \mid \omega\right\rangle=\operatorname{Tr} M P_{A}(\lambda)= \\
\quad=\operatorname{Tr} M \sum_{a_{i} \leqslant \lambda} P_{\varphi_{i}}=\sum_{a_{i} \leqslant \lambda} \operatorname{Tr} M P_{\varphi_{i}}
\end{array}
\]

окончательно
\[
\omega_{A}(\lambda)=\sum_{a_{i} \leqslant \lambda}\left(M \varphi_{i}, \varphi_{i}\right) .
\]

Напомним, что \( \left(M \varphi_{i}, \varphi_{i}\right) \geqslant 0 \). Мы видим, что \( \omega_{A}(\lambda) \) – кусочно-постоянная функция, имеющая скачки при значениях \( \lambda \), совпадающих с собственными числами, и непрерывная в этих точках справа. График ее изображен на рис. 3.
Рис. 3.
Из вида функции распределения следует, что отличной от нуля является вероятность получить значение наблюдаемой \( A \), совпадающее только с одним из собственных чисел. Вероятность \( W_{i} \) при измерении получить значение \( a_{\ell} \) равна величине скачка функции \( \omega_{A}(\lambda) \) в этой точке
\[
W_{i}=\left(M \varphi_{i}, \varphi_{i}\right) .
\]

Сумма \( \mathbb{W}_{l} \), как и следует ожидать, равна единице, так как
\[
\sum_{i=1}^{n} W_{i}=\operatorname{Tr} M=1 .
\]

Для чистого состояния \( \omega \leftrightarrow \digamma_{4} \) формула (5) принимает вид
\[
W_{i}=\left|\left(\psi, \varphi_{i}\right)\right|^{2} .
\]

Наконец, если система находится в состоянии \( P_{\varphi_{i}} \), т. е. в чистом состоянии, определяемом одним из собственных векторов наблюдаемой \( A \), то по формуле (6) \( W_{i}=\delta_{i j} \). В таком чистом состоянии при измерении наблюдаемой \( A \) с достоверностью получится число \( a_{i} \).

Пока мы предполагали, что оператор \( A \) имеет простой спектр. Обобщение полученных результатов на случай кратного спектра, когда собственному значению \( a_{i} \) соответствует несколько собственных векторов \( \varphi_{i}^{(1)}, \varphi_{i}^{(2)}, \ldots, \varphi_{i}^{(r)} \), труда не представляет. Достаточно заменить проекторы \( P_{\varphi_{i}} \) на операторы \( P_{i} \), проектирующие на собственные подпространства, соответствующие собственным значениям \( a_{i} \)
\[
P_{i} \Psi=\sum_{k=1}^{r}\left(\psi, \varphi_{i}^{(k)}\right) \varphi_{i}^{(k)} .
\]

Тогда вероятность при измерении наблюдаемой \( A \) получить значение \( a_{i} \) в общем случае определяется формулой
\[
W_{i}=\sum_{k=1}^{r}\left(M \varphi_{i}^{(k)}, \varphi_{i}^{(k)}\right)
\]

а в случае чистого состояния
\[
W_{i}=\sum_{k=1}^{r}\left|\left(\psi, \varphi_{i}^{(k)}\right)\right|^{2}
\]

Теперь мы получили возможность показать, что обычное определение функции от оператора согласуется с данным в § 4 понятием функции от наблюдаемой. Действительно, операторы \( A \) и \( \mathrm{f}(A) \) имеют общую систему собственных векторов
\[
\begin{aligned}
A \varphi_{i}^{(k)} & =a_{i} \varphi_{i}^{(k)}, \\
f(A) \varphi_{i}^{(k)} & =f\left(a_{i}\right) \varphi_{i}^{(k)},
\end{aligned}
\]

а число \( \sum_{k=1}^{r}\left(M \varphi_{i}^{(k)}, \varphi_{i}^{(k)}\right) \) одновременно является вероятностью при измерении получить значение \( a_{i} \) для наблюдаемой \( A \) и \( f\left(a_{i}\right) \) для наблюдаемой \( f(A) \). Отсюда сразу следует, что
\[
\omega_{\dagger(A)}(E)=\omega_{A}\left(f^{-1}(E)\right) .
\]

Заметим еще, что в состояниях, определяемых собственными векторами \( A \), наблюдаемые \( A \) и \( \mathrm{f}(A) \) одновременно имеют вполне определенные значения \( a_{i} \) и \( f\left(a_{i}\right) \) соответственно.

Мы можем следующим образом подытожить результаты, которые связывают математический аппарат теории с ее физическим толкованием.
1) Наблюдаемая \( A \) в состоянии \( \omega \leftrightarrow M \) имеет среднее значение
\[
\langle A \mid \omega\rangle=\operatorname{Tr} M A
\]

и функцию распределения
\[
\omega_{A}(\lambda)=\operatorname{Tr} M P_{A}(\lambda) .
\]

Для чистого состояния \( M=P_{\psi},\|\psi\|=1 \)
\[
\begin{array}{c}
\langle A \mid \omega\rangle=(A \psi, \psi), \\
\omega_{A}(\lambda)=\left(P_{A}(\lambda) \psi, \psi\right) .
\end{array}
\]
2) Множество собственных значений наблюдаемой \( A \) совпадает с множеством возможных результатов измерения этой наблюдаемой.
3) Вероятность \( W_{i} \) получить в результате измерения наблюдаемой \( A \) число, совпадающее с одним из ее собственных значений, вычисляется по формуле (7) в общем случае и по формуле (8) для чистых состояний.
4) Собственные векторы наблюдаемой \( A \) определяют чистые состояния, в которых наблюдаемая с достоверностью принимает значение, равное соответствующему собственному числу.

Мы видим, что построенная модель удовлетворяет многим физическим требованиям к механике микромира, сформулированным в \( § 4 \). Она допускает существование неизмеримых одновременно наблюдаемых и объясняет соотношения неопределенности. В рамках этой модели естественно описываются наблюдаемые, имеющие дискретное множество значений. С другой стороны, мы видим и ограниченность такой модели. Любая наблюдаемая не может иметь больше, чем \( n \) значений, где \( n \) – размерность пространства состояний \( \mathbf{C}^{n} \) и, следовательно, эта модель не позволяет описать наблюдаемые с непрерывным множеством значений. Поэтому трудно предположить, что такая модель может описывать реальные физические системы. Однако эти трудности не возникнут, если перейти к \( n=\infty \) и в качестве пространства состояний взять комплексное гильбертово пространство, а наблюдаемые считать самосопряженными операторами в этом пространстве. Выбор пространств состояний для конкретных физических систем и правила построения наблюдаемых для них мы обсудим в \( \$ 11 \), а пока продолжим изучение нашей конечномерной модели. Конечномерная модель удобна для нас еще тем, что мы не сталкиваемся с чисто математическими трудностями спектральной теории неограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.

Заметим, что основные положения этой теории были разработаны фон Нейманом именно в связи с потребностями квантовой механики.