В этом параграфе мы покажем, как задаются состояния в квантовой механике. Напомним, что мы сохранили определение состояния, приведенное в § 2. Там же было показано, что задание вероятностных распределений эквивалентно заданию средних значений для всех наблюдаемых. Рассуждения, которые привели нас к этому результату, сохраняют свою силу

и в квантовой механике, так как они не использовали конкретной реализации алгебры наблюдаемых классической механики. Задать состояние – это значит задать функционал \( \langle\omega \mid A\rangle \) на алгебре наблюдаемых \( \mathfrak{A} \) со следующими свойствами:
\[
\begin{array}{ll}
\text { 1) } & \langle\lambda A+B \mid \omega\rangle=\lambda\langle A \mid \omega\rangle+\langle B \mid \omega\rangle, \\
\text { 2) } & \left\langle A^{2} \mid \omega\right\rangle \geqslant 0, \\
\text { 3) } & \langle C \mid \omega\rangle=C, \\
\text { 4) } & \langle\overline{A \mid \omega}\rangle=\langle A \mid \omega\rangle .
\end{array}
\]

Свойство 1) мы уже обсуждали. Свойство 2) выражает тот факт, что для наблюдаемой \( A^{2} \), которая по своему смыслу неотрицательна, среднее значение не может быть отрицательным числом. Свойство 3) утверждаєт, что среднее значение наблюдаемой \( C \) в любом состоянии совпадает с этой константой. Наконец, по свойству 4) средние значения вещественны. Таким образом, состояние в квантовой механике есть положительный, линейный функционал на алгебре самосопряженных операторов \( \mathfrak{A} \). Общая форма такого функционала
\[
\langle A \mid \omega\rangle=\operatorname{Tr} M A,
\]

где \( M \) – оператор в \( \mathbf{C}^{n} \), удовлетворяющий условиям:
\[
\begin{array}{ll}
1) & M^{*}=M, \\
2) & (M \xi, \xi) \geqslant 0, \\
3) & \operatorname{Tr} M=1 .
\end{array}
\]

Оператор \( M \) называется матрицей плотности и играет в квантовой механике ту же роль, что и функция распределения \( \rho(q, p) \) в классической.

Покажем, что свойства матрицы плотности – следствие сформулированных выше свойств функционала усреднения \( \langle A \mid \omega\rangle \). Действительно, из вещественности функционала \( \langle A \mid \omega\rangle \) следует
\[
\begin{array}{l}
\overline{\operatorname{Tr} A M}=\sum_{i, k=1}^{n} \overline{A_{i k} M_{k i}}=\sum_{i, k=1}^{n} A_{k i}^{*} M_{i k}^{*}= \\
=\sum_{i, k=1}^{n} A_{k i} M_{i k}^{*}=\operatorname{Tr} A M^{*}=\operatorname{Tr} A M .
\end{array}
\]

Полагая \( X=A_{1}+i A_{2} \), где \( A_{1} \) и \( A_{2} \)-самосопряженные операторы, получаем из последнего равенства
\[
\operatorname{Tr} X M=\operatorname{Tr} X M^{*}
\]

где \( X \) – произвольный оператор в \( \mathbf{C}^{n} \). Из произвольности оператора \( X \) сразу следует свойство 1).
Теперь используем положительность функционала \( \langle A \mid \omega\rangle \)
\[
\operatorname{Tr} A^{2} M \geqslant 0 .
\]

Положим \( A=P_{\eta} \), где \( P_{\eta} \) – оператор проектирования на нормированный вектор \( \eta(\|\eta\|=1) \),
\[
P_{\eta} \xi=(\xi, \eta) \eta \text {. }
\]

Для вычисления следа удобен .юбой базис, в котором первый базисный вектор совпадает с \( \eta\left(e_{1}=\eta, e_{2}, \ldots, e_{n}\right) \), тогда
\[
\operatorname{Tr} P_{\eta}^{2} M=\operatorname{Tr} P_{\eta} M=(M \eta, \eta) \geqslant 0 .
\]

Мы видим, что положительность матрицы плотности является необходимым условием для положительности функционала \( \langle A \mid \omega\rangle \). Достаточность проверяегся следующим образом:
\[
\operatorname{Tr} A^{2} M=\operatorname{Tr} A M A=\sum_{i=1}^{n}\left(A M A e_{i}, e_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(M A e_{i}, A e_{i}\right) \geqslant 0,
\]

так как каждое слагаемое под знаком суммы неотрицательно.
Наконец, условие нормировки матрицы плотности \( \operatorname{Tr} M=1 \) сразу следует из свойства 3) функционала.

Таким образом, мы показали, что состояния в квантовой механике описываются положительными самосопряженными операторами со следом, равным единице. (Напомним, что в классической механике состояние задается неотрицательной функцией \( \rho(q, p) \), нормированной условием \( \int \rho(q, p) d q d p=1 \).)

Любой оператор \( M \) со свойствами (18) описывает некото. рое состояние системы, т. е. между множеством состояний и множеством матриц плотности \( M \) существует взаимно-однозначное соответствие
\[
\omega \leftrightarrow M .
\]

Если \( M_{1} \) и \( M_{2} \) – операторы со свойствами (3), то очевидно, что их выпуклая комбинация
\[
M=\alpha M_{1}+(1-\alpha) M_{2}, \quad 0<\alpha<1
\]

также обладает этими свойствами и, следовательно, соответствует некоторому состоянию
\[
\omega=\alpha \omega_{1}+(1-\alpha) \omega_{2} .
\]

Мы видим, что множество состояний в квантовой механике является выпуклым.

Всем требованиям к матрице плотности удовлетворяет одномерный проектор \( P_{\psi},(\|\psi\|=1) \). Действительно,
1) \( \left(P_{\psi} \xi, \eta\right)=(\xi, \psi)(\psi, \eta)=(\overline{\eta, \psi})(\xi, \psi)=\left(\xi, P_{\psi} \eta\right) \),
2) \( \left(P_{\psi} \xi, \xi\right)=(\xi, \psi)(\psi, \xi)=|(\xi, \psi)|^{2} \geqslant 0 \),
3) \( \operatorname{Tr} P_{\psi}=(\psi, \psi)=1 \).
В конце параграфа мы покажем, что состояние \( P_{\downarrow} \) не раскладывается в выпуклую комбинацию других состояний, т. е.

является чистым. (Напомним, что в классической механике чистое состояние имеет функцию распределения \( \rho(q, p)= \) \( =\delta\left(q-q_{0}\right) \delta\left(p-p_{0}\right) \).) Заметим, что чистое состояние определяется заданием вектора \( \psi \), однако между чистыми состояниями и векторами нет взаимно-однозначного соответствия, так как если \( \psi^{\prime} \) отличается от \( \psi \) численным множителем по модулю равным единице, то \( P_{\psi^{\prime}}=P_{\psi} \). Таким образом, чистому состоянию соответствует класс нормированных на единицу векторов, отличающихся друг от друга множителем \( e^{i \alpha} \), где \( \alpha \in \mathbf{R} \).

Вектор \( \psi \) обычно называют вектором состояния, а пространство, в котором действуют самосопряженные операторы (наблюдаемые), пространством состояний. Пока в качестве пространства состояний мы взяли пространство \( \mathbf{C}^{n} \).

Покажем, что любое состояние в квантовой механике является выпуклой комбинацией чистых состояний. Для этого заметим, что \( M \), как всякий самосопряженный оператор, имеет собственный базис
\[
M \varphi_{i}=\mu_{i} \varphi_{i} .
\]

Разложим произвольный вектор \( \xi \) по этому базису и подействуем на него оператором \( M \),
\[
\begin{array}{c}
\xi=\sum_{i=1}^{n}\left(\xi, \varphi_{i}\right) \varphi_{i}, \\
M \xi=\sum_{i=1}^{n} \mu_{i}\left(\xi, \varphi_{i}\right) \varphi_{i}=\sum_{i=1}^{n} \mu_{i} P_{\varphi_{i}} \xi .
\end{array}
\]

В силу произвольности \( \xi \)
\[
M=\sum_{i=1} \mu_{i} P_{\varphi_{i}}
\]

Все числа \( \mu_{i} \) неотрицательны, так как они являются собственными значениями положительного оператора. Кроме того, \( \sum_{i=1}^{n} \mu_{i}=\operatorname{Tr} M=1 \) и, следовательно, состояние \( M \) действительно является выпуклой комбинацией чистых состояний \( P_{\varphi_{i}} \). Для среднего значения наблюдаемой в чистом состоянии \( \omega \leftrightarrow P_{\psi} \) формула (2) принимает вид
\[
\langle A \mid \omega\rangle=(A \psi, \psi),\|\psi\|=1 .
\]

Для случая смешанного состояния \( \omega \leftrightarrow M=\sum_{i=1}^{n} \mu_{i} P_{\varphi_{i}} \) имеем
\[
\langle A \mid \omega\rangle=\sum_{i=1}^{n} \mu_{i}\left(A \varphi_{i}, \varphi_{i}\right)
\]

Эта формула показывает, что так же как и в классической механике, утверждение о том, что система находится в смешанном состоянии \( M=\sum_{i=1}^{n} \mu_{i} P_{\varphi_{i}} \) равносильно утверждению, что система с вероятностями \( \mu_{i}, i=1, \ldots, n \) находится в чистых состояниях \( P_{\varphi_{i}} \).

В заключение этого параграфа докажем, что состояние, описываемое матрицей плотности \( M=P_{\psi} \), является чистым. Нам нужно показать, что из равенства
\[
P_{\psi}=\alpha M_{1}+(1-\alpha) M_{2}, \quad 0<\alpha<1
\]

следует, что \( M_{1}=M_{2}=P_{\psi} \).
При доказательстве используем, что для положительного оператора \( A \) и произвольных векторов \( \varphi \) и \( \psi \) справедливо неравенство
\[
|(A \varphi, \psi)|^{2} \leqslant(A \varphi, \varphi)(A \psi, \psi) .
\]

Из (8) следует, что \( A \varphi=0 \), если \( (A \varphi, \varphi)=0 \). (Неравенство (8) есть условие положительности формы Эрмита: ( \( A(a \varphi+b \psi) \), \( a \varphi+b \psi)=(A \varphi, \varphi) a \bar{a}+(A \varphi, \psi) a \bar{b}+(A \psi, \varphi) \bar{a} b+(A \psi, \psi) b \bar{b} \geqslant 0 \), где \( a \) и \( b \) – комплексные числа.)

Обозначим через \( \mathscr{H}_{1} \) подпространство, ортогональное вектору \( \psi \), тогда \( P_{\psi} \varphi=0 \), если \( \varphi \in \mathscr{H}_{1} \). Используя положительность операторов \( M_{1} \) и \( M_{2} \) и (7), имеем
\[
0 \leqslant \alpha\left(M_{1} \varphi, \varphi\right) \leqslant \alpha\left(M_{1} \varphi, \varphi\right)+(1-\alpha)\left(M_{2} \varphi, \varphi\right)=\left(P_{\psi} \varphi, \varphi\right)=0,
\]
т. е. \( M_{1} \varphi=0 \). Используя самосопряженность \( M_{1} \), получим для произвольного вектора \( \xi \)
\[
\left(M_{1} \varphi, \xi\right)=\left(\varphi, M_{1} \xi\right)=0, \quad \varphi \in \mathscr{H}_{1},
\]

поэтому \( M_{1} \xi=C_{\xi} \psi \) и, в частности \( M_{1} \psi=C_{\psi} \dot{\psi} \). Здесь \( C_{\xi} \) – константа, зависящая от вектора \( \xi \). Произвольный вектор \( \xi \) можно представить в виде
\[
\xi=(\xi, \psi) \psi+\varphi, \quad \varphi \in \mathscr{H}_{1},
\]

поэтому \( M_{1} \xi=C_{\psi} P_{\psi} \xi \), т. е. \( M_{\mathrm{t}}=C_{\psi} P_{\psi} \). Наконец, из условия \( \operatorname{Tr} M_{1}=1 \) получаем, что \( C_{\psi}=1 \), следовательно, \( M_{1}=P_{\psi} \) и \( M_{2}=P_{\psi} \).

Можно проверить и обратное утверждение. Если состояние является чистым, то существует вектор \( \psi \in \mathbf{C}^{n},\|\psi\|=1 \) такой, что \( M=P_{\psi} \).