До настоящего параграфа мы изучали в основном поведение одной квантовой частицы. Пространством состояний частицы без спина является в координатном представлении пространство $L^2\left({\mathbf{R}}^3\right)$, а для частицы со спином $1/2-L^2\left({\mathbf{R}}^3\right)\otimes {\mathbf{C}}^2$. Естественным обобщением таких пространств на случай системы из $n$ частиц представляются пространство
$$L^2\left({\mathbf{R}}^{3n}\right)=L^2({\mathbf{R}}^3!\otimes \dots \otimes L^2\left({\mathbf{R}}^3\right)$$
для частиц без спина и пространство
$$L^2\left({\mathbf{R}}^{3n}\right)\otimes {\mathbf{C}}^{2n}=L^2\left({\mathbf{R}}^3\right)\otimes {\mathbf{C}}^2\otimes \dots \otimes L^2\left({\mathbf{R}}^3\right)\otimes {\mathbf{C}}^2$$
для частиц со спином $1/2$.
Сравнение теории с экспериментом показывает, однако, что такое предположение о пространствах состояний систем из $n$ частиц оказывается справедливым только в том случае, когда среди частиц системы нет одинаковых. При наличии одинаковых частиц в поведении квантовых систем обнаруживаются
особенности, объяснение которых становится возможным на основе так называемого принципа тождественности. Сразу заметим, что принцип тождественности является новым принципом квантовой механики. Он не может быть выведен из других, сформулированных ранее, основных положений квантовой механики и должен быть постулирован.

Будем обозначать одним символом $\mathcal{H}$ пространства $L^2\left({\mathbf{R}}^{3n}\right)$ и $L^2\left({\mathbf{R}}^{3n}\right)\otimes {\mathbf{C}}^{2n}$, а элементы этих пространств записывать в виде $\mathrm{\Psi }({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$, где ${\xi }_i={\mathbf{x}}^{(i)}$ — для бесспиновой частицы и ${\xi }_i=({\mathbf{x}}^{(i)},s_3^{(i)})$ — для частицы со спином, $s_3^{(i)}$ — спиновая переменная $i$-й частицы. Для частицы со спином $1/2$ переменные $s_3^{(i)}$ принимают два значения $\pm 1/2$.

Скалярное произведение в пространствах $\mathcal{H}$ также можно записывать единообразно
$$(\mathrm{\Psi },\mathrm{\Phi })=\int \mathrm{\Psi }({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\overline{\mathrm{\Phi }({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)}d{\xi }_1\dots d{\xi }_n,$$
подразумевая, что для частиц со спином интегрирование по переменным ${\xi }_i$ есть интегрирование по пространственным переменным ${\mathbf{x}}^{(i)}$ и суммирование по спиновым переменным $s_3^{(i)}$.

Прежде чем переходить к формулировке принципа тождественности, рассмотрим группу перестановок $S_n$, которая называется также симметрической группой. Элементами этой группы являются перестановки
$$\pi =\left(\begin{array}{c}1,2,\dots ,n\\ i_1,i_2,\dots ,i_n\end{array}\right),$$
а единичный элемент есть тождественная перестановка
$$I=\left(\begin{array}{c}1,2,\dots ,n\\ 1,2,\dots ,n\end{array}\right).$$

Произведением перестановок $\pi ={\pi }_2{\pi }_1$ называется перестановка, которая получается в результате последовательного выполнения перестановок ${\pi }_1$ и ${\pi }_2$.

Легко построить представление группы $S_n$ в пространстве $\mathcal{H}$. Введем операторы $P_{л}$, положив
$$P_{\pi }\mathrm{\Psi }({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)=\mathrm{\Psi }({\xi }_{i_1},\dots ,{\xi }_{i_n}).$$

Очевидно, $P_{\pi }$ являются унитарными операторами и отображение $\pi \to P_{\pi }$ есть представление симметрической группы в пространстве $\mathcal{H}$.

В пространстве $\mathcal{H}$ сразу выделяются два инвариантных относительно операторов $P_{\pi }$ подпространства. Это подпространство ${\mathcal{H}}_S$ симметричных функций, для которых
$$P_{\pi }\mathrm{\Psi }({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)=\mathrm{\Psi }({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$$
и подпространство ${\mathcal{H}}_A$ антисимметричных функций
$$P_{\pi }\mathrm{\Psi }({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)=(-1{)}^{[\pi ]}\mathrm{\Psi }({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n),$$
где через $[\pi ]$ обозначена четность перестановки $\pi$. Очевидно, что ${\mathcal{H}}_A\perp {\mathcal{H}}_s$.

В случае двух частиц $\mathcal{C}={\mathcal{H}}_A\oplus {\mathcal{H}}_s$. Действительно, любая функция $\mathrm{\Psi }({\xi }_1,{\xi }_2)$ может быть записана в виде
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Psi }({\xi }_1,{\xi }_2)=\frac{\mathrm{\Psi }({\xi }_1,{\xi }_2)+\mathrm{\Psi }({\xi }_2,{\xi }_1)}{2}+\frac{\mathrm{\Psi }({\xi }_1,{\xi }_2)-\mathrm{\Psi }({\xi }_2,{\xi }_1)}{2}=\\ ={\mathrm{\Psi }}_S({\xi }_1,{\xi }_2)+{\mathrm{\Psi }}_A({\xi }_1,{\xi }_2),\text{ где }{\mathrm{\Psi }}_S\in {\mathcal{H}}_S,\text{ а }{\mathrm{\Psi }}_A\in {\mathcal{H}}_A.\end{array}$$

В случае большего числа частиц имеются и более сложные, чем ${\mathcal{H}}_S$ и ${\mathcal{H}}_A$ инвариантные подпространства, однако интереса эти подпространства не представляют. Принцип тождественности утверждает, что пространством состояний системы из $n$ одинаковых частиц является либо пространство ${\mathcal{H}}_A$, либо пространство ${\mathcal{H}}_s$. Выбор одного из этих пространств в качестве пространства состояний зависит только от рода частиц.

Говорят, что частицы, состояния которых онисываются симметричными функциями, подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, а частицы, описываемые антисимметричными функциями, подчиняются статистике Ферми — Дирака. Первые на зываются бозонами, а вторые — фермионами.

Оказывается, что статистика, которой подчиняются частицы, определяется их спином. Частицы с целым спином (в том числе и без спина) являются бозонами, а часгицы с полуцелым спином — фермионами. В нерелятивистской квантовой механике нет объяснения связи спина и статистики, отчасти эта связь объясняется в релятивистской квантовой механике. Фермионами являются электроны, протоны, нейтроны, спин которых равен $1/2$, бозонами являются фстоны, спин которых равен единице, и мезоны, у которых спин равен нулю. Статистика составных тождественных частиц (например, атомных ядер) определяется четностью входящих в их состав фермионов, так как перестановка одинаковых сложных частиц эквивалентна перестановке нескольких пар элементарных частиц. Так, дейтроны, состоящие из нейтрона и протона, являются бозонами. Заметим, что спин дейтрона целый *, так как спины протона и нейтрона равны $1/2$.

Выпишем оператор Шредингера для системы попарно взаимодействующих частиц, находящейся во внешнем поле
$$H=-\sum _{i=1}^n\frac{1}{2m}{\mathrm{\Delta }}_i+\sum _{i=1}^{n}V\left({\mathbf{x}}^{(i)}\right)+\sum _{i<k}^{n}U({\mathbf{x}}^{(i)}-{\mathbf{x}}^{(k)}).$$

Первый член есть оператор кинетической энергии системы частиц, второй — описывает взаимодействие частиц с внешним
* Из экспериментов известно, что спин дейтрона равен единице.
полем, а третий — взаимодействие частиц между собой. Обратим внимание на то, что массы всех частиц одинаковы, а потенциалы взаимодействия $V(\mathbf{x})$ и $U(\mathbf{x})$ не зависят от номеров частиц. Вследствие этого оператор Шредингера $H$ коммутирует со всеми операторами $P_{\pi },[H,P_{\pi }]=0$.