Мы построим представление группы вращений \( G \), действующее в пространстве \( \mathbf{C}^{2} \). Для этого введем три самосопряженные матрицы со следом, равным нулю,
\[
\sigma_{1}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_{2}=\left(\begin{array}{rr}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_{3}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) .
\]
Эти матрицы называются матрицами Паули. Вычислим перестановочные соотношения для этих матриц:
\[
\left[\sigma_{1}, \sigma_{2}\right]=\sigma_{1} \sigma_{2}-\sigma_{2} \sigma_{1}=\left(\begin{array}{rr}
i & 0 \\
0 & -i
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{rr}
-i & 0 \\
0 & i
\end{array}\right)=2 i\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right),
\]
т. е. \( \left[\sigma_{1}, \sigma_{2}\right]=2 i \sigma_{3} \). Аналогично проверяется, что
\[
\left[\sigma_{2}, \sigma_{3}\right]=2 i \sigma_{1}, \quad\left[\sigma_{3}, \sigma_{1}\right]=2 i \sigma_{2} .
\]
Нетрудно видеть, что матрицы \( -i \sigma_{j} / 2, j=1,2,3 \) имеют перестановочные соотношения такие же, как инфинитезимальные образующие группы вращения \( A_{i} \) :
\[
\left[-\frac{i \sigma_{1}}{2},-\frac{i \sigma_{2}}{2}\right]=-\frac{i \sigma_{3}}{2} .
\]
Поэтому можно построить представление \( g \rightarrow U(g) \) :
\[
U(g)=\exp \left[-\frac{i}{2}\left(\sigma_{1} a_{1}+\sigma_{2} a_{2}+\sigma_{3} a_{3}\right)\right] .
\]
Следует отметить, что это представление не является представлением в обычном смысле слова, так как вместо
\[
U\left(g_{1}\right) U\left(g_{2}\right)=U\left(g_{1} g_{2}\right)
\]
мы будем иметь
где \( \boldsymbol{\sigma}= \pm 1 \). В этом нетрудно убедиться на простом примере, сосчитав произведение \( U\left(g_{1}\right) U\left(g_{2}\right) \), где \( g_{1}=g_{2} \) есть вращение на угол \( \pi \) вокруг оси \( x_{3} \)
\[
U\left(g_{1}\right) U\left(g_{2}\right)=e^{-\frac{i}{2} \sigma_{2} \pi} e^{-\frac{i}{2} \sigma_{j} \pi}=e^{-i \sigma_{3} \pi}=\left(\begin{array}{cc}
e^{-i \pi} & 0 \\
0 & e^{i \pi}
\end{array}\right)=-I .
\]
В то же время по формуле (1) единичному элементу группы соответствует \( U(0,0,0)=I \). Отображение \( g \rightarrow U(g) \), удовлетворяющее (3) при \( |\sigma|=1 \), называется проективным представлением с мультипликатором. Если мы все-таки захотим сохранить (2), то должны будем считать, что каждому вращению соответствует две матрицы \( U \), отличающиеся знаком. В физике такого рода представления называют двузначными. Эти представления играют в квантовой механике такую же важную роль, как и обычные. В дальнейшем мы не будем подчеркивать это различие. Заметим еще, что появление такого рода представлений объясняется тем, что группа вращений неодносвязна.

Выясним свойства матриц \( U(g) \). Унитарность этих матриц очевидна, так как \( \sigma_{i} \) – самосопряженные матрицы. Нетрудно
видеть, что определитель этих матриц равен единице. Действительно, \( U(g) \) имеет вид \( e^{i S} \), где \( S \) – самосопряженная матрица со следом, равным нулю. Эту матрицу всегда можно привести к диагональному виду подобным преобразованием и она примет вид \( \left(\begin{array}{rr}\lambda & 0 \\ 0 & -\lambda\end{array}\right) \). Соответственно диагональный вид матрицы будет \( \left(\begin{array}{cc}e^{i \lambda} & 0 \\ 0 & e^{-i \lambda}\end{array}\right) \). След и определитель инвариантны относительно подобного преобразования, поэтому \( \operatorname{det} U(g)=1 \).

Найдем общий вид унитарных матриц с определителем, равным единице. Запишем условие унитарности:
\[
\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
\bar{a} & \bar{c} \\
\bar{b} & \bar{d}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
a \bar{a}+b \bar{b} & a \bar{c}+b \bar{d} \\
c \bar{a}+d \bar{b} & c \bar{c}+d \bar{d}
\end{array}\right)=I .
\]

Из равенства \( c \bar{a}+d \bar{b}=0 \) находим, что \( d=-\frac{c \bar{a}}{\bar{b}} \). Из условий \( \operatorname{det} U=1 \) и \( a \bar{a}+b \bar{b}=1 \) получим
\[
\begin{array}{c}
a d-b c=-\frac{a \bar{a} c}{\bar{b}}-b c=-\frac{c}{\bar{b}}(a \bar{a}+b \stackrel{\rightharpoonup}{b})=-\frac{c}{\bar{b}}=1, \\
\text { т. е. } \quad c=-\bar{b}, \quad d=\bar{a} .
\end{array}
\]
Таким образом, унитарные матрицы с определителем, равным единице, имеют вид
\[
U=\left(\begin{array}{rr}
a & b \\
-\bar{b} & \bar{a}
\end{array}\right), \quad|a|^{2}+|b|^{2}=1 .
\]
Группа таких матриц называется группой \( S U(2) \).