Изложение этого вопроса мы построим по следующему плану. Сначала мы сформулируем так называемую стационарную задачу о рассеянии. Для этого мы изучим решения уравнения \( H \psi=E \psi \) некоторого специального вида. Физический смысл таких решений мы выясним позже, построив при их помощи решения нестационарного уравнения Шредингера \( i \frac{\partial \psi}{\partial t}=H \psi \). Для простоты записи мы используем систему единицы, в которой \( h=1, m=1 / 2 \).

Оператор Шредингера в координатном представлении имеет вид
\[
H=-\frac{d^{2}}{d x^{2}}+V(x) .
\]

Функцию \( V(x) \) мы будем считать финитной \( (V(x)=0,|x|>a) \) и кусочно-непрерывной.

Условимся называть области \( x<-a, x>a \) и \( -a<x<a \) вещественной оси областями \( I, I I \) и \( I I I \) соответственно. Задача о рассеянии является задачей об инфинитном движении частицы. Такое движение возможно при \( E>0 \), и мы знаем, что при \( E>0 \) спектр оператора Шредингера непрерывен. С математической точки зрения задачи о рассеянии являются задачами о непрерывном спектре оператора Шредингера.

Стационарное уравнение Шредингера, которое на всей вещественной оси имеет вид
\[
-\psi^{\prime \prime}+V(x) \psi=k^{2} \psi, \quad E=k^{2}, \quad k>0,
\]

упрощается в областях \( I \) и \( I I \)
\[
\psi^{\prime \prime}+k^{2} \psi=0 .
\]

Уравнение (3) имеет два линейно-независимых решения \( \dot{e}^{i k x} \) и \( e^{-i k x} \). Решения уравнения (2) на всей оси могут быть построены сшиванием решений в областях \( I-I I I \). При сшивании мы должны использовать условия непрерывности решений и их первых производных в точках – \( a \) и \( a \). Это накладывает четыре условия на шесть произвольных постоянных, входящих в выражения для общих решений в областях \( I-I I I \). Пятым условием для этих постоянных является условие нормировки. Поэтому могут быть построены линейно-независимые решения уравнения (2), которые в областях \( I \) и \( I I \) имеют вид *
\[
\begin{array}{lll}
& \text { I } & \text { II } \\
\psi_{1}(k, x), & e^{i k x}+A(k) e^{-i k x}, & B(k) e^{i k x}, \\
\psi_{2}(k, x), & D(k) e^{-i k x}, & e^{-i k x}+C(k) e^{i k x} .
\end{array}
\]
* Если потенциал не является финитным, но достаточно быстро убывает при \( |x| \rightarrow \infty \), то приведенные выражения для \( \psi_{1} \) и \( \psi_{2} \) в областях I и II следует рассматривать как асимптотики функций \( \psi_{1} \) и \( \psi_{2} \) при \( x \rightarrow \pm \infty \), Изучать этот случай мы не будем.
Например, при построении решения \( \psi_{1} \) мы, используя произвольность одной из констант, полагаем равным нулю коэффициент при \( e^{-i k x} \) в области \( / \). Далее мы выбираем равным единице коэффициент при \( e^{i k x} \) в области \( I \), тем самым определяя нормировку функции \( \psi_{1} \). Коэфоициенты \( A \) и \( B \) находятся из условий сшивания вместе с постоянными \( m \) и \( n \), где \( m \varphi_{1}+n \varphi_{2}- \) общее решение (2) в области II. Нетрудно убедиться, что условия сшивания приводят к линейной неоднородной системе уравнений для \( A, B, m \) и \( n \) с определителем, отличным от нуля, если \( \varphi_{1} \) и \( \varphi_{2} \) линейно-независимы. Аналогично строится решение \( \psi_{2} \). Линейная независимость решений \( \psi_{1} \) и \( \psi_{2} \) следует из того, что вронскиан этих решений не равен нулю.

Выясним свойства коэффициентов \( A, B, C \) и \( D \). Для этого заметим, что вронскиан \( W\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=\varphi_{1} \varphi_{2}^{\prime}-\varphi_{1}^{\prime} \varphi_{2} \) решений \( \varphi_{1} \) и \( \varphi_{2} \) уравнения (2) не зависит от \( x \). Действительно, пусть \( \varphi_{1} \) и \( \varphi_{2} \) удовлетворяют (2), тогда
\[
\varphi_{1}^{\prime \prime}-\left(V-k^{2}\right) \varphi_{1}=0, \quad \varphi_{2}^{\prime \prime}-\left(V-k^{2}\right) \varphi_{2}=0 .
\]

Умножая первое из равенств на \( \varphi_{2} \), второе на \( \varphi_{1} \) и вычитая одно из другого, получим
\[
\frac{d}{d x}\left(\varphi_{1} \varphi_{2}^{\prime}-\varphi_{1}^{\prime} \varphi_{2}\right)=0 .
\]

Используя это свойство, мы можем приравнивать вронскианы для любой пары решений в областях I и II. Выбирая в качестве таких пар решений последовательно \( \psi_{1}, \psi_{2} ; \psi_{1}, \bar{\psi}_{1} \); \( \psi_{2}, \bar{\psi}_{2} \), и \( \psi_{1}, \bar{\psi}_{2} \) и используя равенства: \( W\left(e^{-i k x}, e^{i k x}\right)=2 i k \), \( W\left(e^{ \pm i k x}, e^{ \pm i k x}\right)=0 \), мы придем к следующим соотношениям между коэффициентами \( A, B, C \) и \( D \) :
\[
\begin{array}{c}
B=D, \\
|A|^{2}+|B|^{2}=1, \\
|B|^{2}+|C|^{2}=1, \\
A \bar{B}+B \bar{C}=0 .
\end{array}
\]
(Например, в области \( I W\left(\psi_{1}, \bar{\psi}_{1}\right)=-2 i k(1-A \bar{A}) \), а в области II \( W\left(\psi_{1}, \bar{\psi}_{1}\right)=-2 i k B \tilde{B} \). Приравнивая эти выражения, получим соотношение (6).)

Соотношения (5) – (8) показывают, что матрица \( S \), составленная из коэффициентов \( A, B=D \) и \( C \)
\[
S=\left(\begin{array}{ll}
A & B \\
B & C
\end{array}\right) .
\]

является симметричной и унитарной. Эта матрица называется матрицей рассеяния или просто \( S \)-матрицей. Мы увидим в дальнейшем, что все физически интересные результаты могут
быть получены, если известна \( S \)-матрица, поэтому вычисление ее элементов является основной задачей одномерной теории рассеяния.

Рассмотрим вопрос о нормировке функций \( \psi_{1}(k, x) \) и \( \psi_{2}(k, x) \). Имеют место формулы
\[
\begin{array}{c}
\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{1}\left(k_{1}, x\right) \overline{\psi_{2}\left(k_{2}, x\right)} d x=0, \quad k_{1}>0, \quad k_{2}>0, \\
\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{1,2}\left(k_{1}, x\right) \overline{\psi_{1,2}\left(k_{2}, x\right)} d x=2 \pi \delta\left(k_{1}-k_{2}\right),
\end{array}
\]
т. е. справедливы те же соотношения, что и для функций \( e^{i k x} \) и \( e^{-i k x} \), и нормировка не зависит, от вида потенциала \( V(x) \). Интегралы в формулах (9) и (10) понимаются в смысле главного значения. Мы проверим (10) для функции \( \psi_{1} \). Остальные два соотношения проверяются так же. Подстановка функций \( \psi_{1}\left(k_{1}, x\right) \) и \( \overline{\psi_{1}\left(k_{2}, x\right)} \) в уравнение (2) приводит к равенствам
\[
\begin{array}{l}
\psi^{\prime \prime}\left(k_{1}, x\right)+k_{1}^{2} \psi\left(k_{1}, x\right)=V(x) \psi\left(k_{1}, x\right), \\
\psi^{\prime \prime}\left(k_{2}, x\right)+k_{2}^{2} \overline{\psi\left(k_{2}, x\right)}=V(x) \overline{\psi\left(k_{2}, x\right)} .
\end{array}
\]
(Мы не пишем индекс 1 в обозначении решения \( \psi_{1} \) для сокращения записи.) Домножая (11) на \( \overline{\psi\left(k_{2}, x\right)} \), а (12) на \( \psi\left(k_{1}, x\right) \) и вычитая первое из второго, получим
\[
\left.\frac{d}{d x} W\left(\psi\left(k_{1}, x\right), \overline{\psi\left(k_{2}, x\right)}\right)=\left(k_{1}^{2}-k_{2}^{2}\right) \psi\left(k_{1}, x\right) \overline{\psi\left(k_{2}, x\right.}\right) .
\]

Интегрируя это равенство, будем иметь
\[
\int_{-N}^{N} \psi\left(k_{1}, x\right) \overline{\Psi\left(k_{2}, x\right)} d x=\left.\frac{1}{k_{1}^{2}-k_{2}^{2}} W\left(\psi\left(k_{1}, x\right), \psi \overline{\left(k_{2}, x\right)}\right)\right|_{-N} ^{N} .
\]

Нас интересует предел в смысле обобщенных функций интеграла, стоящего в левой части (13), при \( N \rightarrow \infty \). Уже из формулы (13) видно, что этот предел зависит только от вида решений в областях I и II (для случая инфинитных потенциалов только от асимптотики решений при \( x \rightarrow \pm \infty \) ).
После простых вычислений получим
\[
\begin{array}{l}
\int_{-N}^{N} \psi\left(k_{1}, x\right) \overline{\psi\left(k_{2}, x\right)} d x= \\
=-\frac{i}{k_{1}-k_{2}}\left[\left(A\left(k_{1}\right) \overline{A\left(k_{2}\right)}+B\left(k_{1}\right) \overline{\left.B\left(k_{2}\right)\right)} e^{i\left(k_{1}-k_{2}\right) N}-e^{-i\left(k_{1}-k_{2}\right) N}\right]-\right. \\
-\frac{i}{k_{1}+k_{2}}\left[\overline{A\left(k_{2}\right)} e^{-i\left(k_{1}+k_{2}\right) N}+\overline{A\left(k_{1}\right)} e^{i\left(k_{1}+k_{2}\right) N}\right] \\
\end{array}
\]
Второе слагаемое по теореме Римана – Лебега стремится к нулю (в смысле обобщенных функций). Подобное утверждение несправедливо по отношению к первому слагаемому, так как оно сингулярно при \( k_{1}=k_{2} \). Сингулярная часть этого слагаемого не изменится, если заменить \( \overline{A\left(k_{2}\right)} \) и \( \overline{B\left(k_{2}\right)} \) на \( \overline{A\left(k_{1}\right)} \) и \( \overline{B\left(k_{1}\right)} \) соответственно *. Используя (6), имеем
\[
\int_{-N}^{N} \psi_{1}\left(k_{1}, x\right) \overline{\psi_{1}\left(k_{2}, x\right)} d x=\frac{2}{k_{1}-k_{2}} \sin \left(k_{1}-k_{2}\right) N+F\left(k_{1}, k_{2}, N\right),
\]

где
\[
\lim _{N \rightarrow \infty} F\left(k_{1}, k_{2}, N\right)=0 .
\]

Наконец, используя известную формулу

получим
\[
\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{\sin N x}{x}=\pi \delta(x)
\]
\[
\lim _{N \rightarrow \infty} \int_{-N}^{N} \psi_{1}\left(k_{1}, x\right) \overline{\psi_{1}\left(k_{2} x\right)} d x=2 \pi \delta\left(k_{1}-k_{2}\right),
\]

что совпадает с (10).