Понятие состояния системы можно связать непосредственно с условиями эксперимента. Всякий физический эксперимент сводится к измерению численного значения наблюдаемой для системы, поставленной в определенные условия, которые можно назвать условиями эксперимента. Считается, что эти условия могут воспроизводиться многократно, однако мы не предполагаем заранее, что при повторном проведении эксперимента измерение даст то же самое значение наблюдаемой. На вопрос, с чем связана неопределенность в результатах эксперимента, возможны два ответа.
1) Число условий, которые фиксируются при проведении экспериментов недостаточно для того, чтобы однозначно определить результаты измерения наблюдаемых. Если неоднозначность возникает только по этой причине, то по крайней мере в принципе эти условия можно дополнить новыми, т. е. поставить эксперимент более «чисто» и тогда результаты всех измерений будут определены однозначно.
2) Свойства системы таковы, что при повторных экспериментах наблюдаемые могут принимать различные значения, независимо от числа и выбора условий эксперимента.

Разумеется, если имеет место 2), то недостаточность условий может лишь усугублять неоднозначность результатов экспериментов. Подробно 1) и 2) мы обсудим после того, как научимся описывать состояния в классической и квантовой механике.

Мы будем считать, что условия эксперимента определяют состояние системы, если при многократном повторении опыта при этих условиях возникают вероятностные распределения для всех наблюдаемых. В этом случае мы будем говорить об измерении наблюдаемой \( f \) для системы, находящейся в состоянии \( \omega \).

Более точно: состояние \( \omega \) на алгебре наблюдаемых \( \mathfrak{A} \) сопоставляет каждой наблюдаемой \( f \) вероятностное распределение ее возможных значений, т. е. меру на вещественной оси R.

Пусть \( f \) – наблюдаемая, \( E \) – борелевское множество на вещественной оси R. Тогда определение состояния \( \omega \) может быть записано
\[
f, E \xrightarrow{\oplus} \omega_{f}(E) .
\]

Напомним свойства вероятностей меры
\[
0 \leqslant \omega_{f}(E) \leqslant 1, \quad \omega_{f}(\varnothing)=0, \quad \omega_{f}(\mathbf{R})=1,
\]

если \( E_{1} \cap E_{2}=\varnothing \), то \( \omega_{f}\left(E_{1} \cup E_{2}\right)=\omega_{f}\left(E_{1}\right)+\omega_{f}\left(E_{2}\right) \).
Среди наблюдаемых могут встретиться функционально зависимые, поэтому необходимо наложить условие на вероятностные распределения таких наблюдаемых. Если наблюдаемая \( \varphi \) есть функция от наблюдаемой \( f, \varphi=\varphi(f) \), то это утверждение
10
подразумевает, что измерение численного значения наблюдаемой \( f \), которое приводит к значению \( f_{0} \), одновременно является измерением наблюдаемой \( \varphi \) и дает для нее численное значение \( \varphi_{0}=\varphi\left(f_{0}\right) \). Поэтому \( \omega_{f}(E) \) и \( \omega_{\varphi(f)}(E) \) связаны соотношением
\[
\omega_{\varphi(f)}(E)=\omega_{f}\left(\varphi^{-1}(E)\right),
\]

где \( \varphi^{-1}(E) \) – прообраз множества \( E \) при отображении \( \varphi \).
Выпуклая комбинация вероятностных мер
\[
\omega_{f}(E)=\alpha \omega_{1 f}(E)+(1-\alpha) \omega_{2 f}(E), \quad 0<\alpha<1
\]

удовлетворяет свойствам (1) для любой наблюдаемой \( f \) и соответствует состоянию, которое мы будем обозначать
\[
\omega=\alpha \omega_{1}+(1-\alpha) \omega_{2} .
\]

Таким образом, состояния образуют выпуклое множество. Иногда выпуклую комбинацию (4) состояний \( \omega_{1} \) и \( \omega_{2} \) называют смесью этих состояний. Если для некоторого состояния \( \omega \) из (4) следует, что \( \omega_{1}=\omega_{2}=\omega \), будем говорить, что состояние \( \omega \) не раскладывается в выпуклую комбинацию других состояний. Такие состояния называются чистыми, все остальные-смешанными.

В качестве множества \( E \) удобно выбирать интервал вещественной оси \( (-\infty, \lambda] \). По определению \( \omega_{f}(\lambda)=\omega_{f}((-\infty, \lambda]) \) и является функцией распределения наблюдаемой \( f \) в состоянии \( \omega \). Численно \( \omega_{f}(\lambda) \) равна вероятности получить значение, не превосходящее \( \lambda \) при измерении наблюдаемой \( f \) в состоянии \( \omega \). Из (1) следует, что функция распределения \( \omega_{f}(\lambda) \) – неубывающая функция \( \lambda, \omega_{f}(-\infty)=0, \omega_{f}(+\infty)=1 \).

Математическое ожидание (среднее значение) наблюдаемой \( f \) в состоянии \( \omega \) определяется формулой *
\[
\langle f \mid \omega\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d \omega_{f}(\lambda) .
\]

Заметим, что знание математических ожиданий для всех наблюдаемых эквивалентно знанию вероятностных распределений. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть функцию от наблюдаемой \( \theta(\lambda-f) \), где \( \theta(x) \) – функция Хевисайда:
\[
\theta(x)=\left\{\begin{array}{l}
1, x \geqslant 0 \\
0, x<0
\end{array}\right.
\]

Нетрудно понять, что
\[
\omega_{f}(\lambda)=\langle\theta(\lambda-f) \mid \omega\rangle .
\]
* Обозначение \( \langle f \mid \omega\rangle \) для среднего значения наблюдаемой не следует путать с часто используемым в квантовой механике обозначением Дирака для скалярного произведения векторов \( \langle\varphi \mid \psi\rangle \).
11
Потребуем выполнения следующих, естественных с физической точки зрения условий для средних значений наблюдаемых:
1) \( \langle C \mid \omega\rangle=C \),
2) \( \langle f+\lambda g \mid \omega\rangle=\langle f \mid \omega\rangle+\lambda\langle g \mid \omega\rangle \),
3) \( \left\langle f^{2}|\omega|\right\rangle \geqslant 0 \).
Если такие требования введены, то реализация алгебры наблюдаемых уже сама определяет способ описания состояний. Действительно, среднее значение есть линейный положительный функционал, определенный на алгебре наблюдаемых \( \mathfrak{A} \). Общая форма такого функционала:
\[
\langle f \mid \omega\rangle=\int_{\omega \mathscr{H}} f(p, q) d \mu_{\omega}(p, q),
\]

где \( d \mu_{\omega}(p, q) \) – дифференциал меры на фазовом пространстве, а интеграл берется по всему фазовому пространству. Из условия 1) следует, что
\[
\int_{\mathscr{M}} d \mu_{\omega}(p, q)=\mu_{\omega}(\mathscr{M})=1
\]

Мы видим, что состояние в классической механике описывается заданием вероятностного распределения на фазовом пространстве. Формулу (7) можно переписать в виде
\[
\langle f \mid \omega\rangle=\int_{\mathscr{H}} f(p, q) \rho_{\omega}(p, q) d p d q,
\]
т. е. мы приходим к обычному в статистической физике описанию состояния системы при помощи функции распределения \( \rho_{\omega}(p, q) \), которая в общем случае является обобщенной положительной функцией. Условие нормировки функции распределения имеет вид
\[
\int_{\mathscr{M}} \rho(p, q) d p d q=1 .
\]

В частности, легко видеть, что чистому состоянию соответствует функция распределения
\[
\rho(q, p)=\delta\left(q-q_{0}\right) \delta\left(p-p_{0}\right),
\]

где \( \delta(x)-\delta \)-функция Дирака. Соответствующая мера на фазовом пространстве сосредоточена в точке \( q_{0}, p_{0} \), и чистое состояние определяется заданием этой точки фазового пространства. По этой причине фазовое пространство \( \mathscr{M} \) иногда называют пространством состояний. Среднее значение наблюдаемой \( f \) в чистом состоянии \( \omega \)
\[
\langle f \mid \omega\rangle=f\left(q_{0}, p_{0}\right) .
\]
12
Эта формула непосредственно следует из определения \( \delta \)-функции
\[
f\left(q_{0}, p_{0}\right)=\int_{o n} f(q, p) \delta\left(q-q_{0}\right) \delta\left(p-p_{0}\right) d q d p .
\]

Обычно в курсах механики ограничиваются изучением чистых состояний, а смешанные состояния с функцией распределения отличной от (11) рассматриваются в статистической физике. Введение с самого начала в теорию смешанных состояний оправдывается следующими обстоятельствами. Формулировка классической механики на языке состояний и наблюдаемых наиболее близка к формулировке квантовой механики II позволяет единообразно описывать состояния механики и статистической физики. Такая формулировка позволит нам в дальнейшем детально проследить за предельным переходом от квантовой механики к классической. Мы увидим, что в квантовой механике тоже существуют чистые и смешанные состояния, причем при предельном переходе чистое квантовое состояние может превращаться в смешанное классическое, поэтому предельный переход проще всего описывается при единообразном рассмотрении чистых и смешанных состояний.

Выясним теперь физический смысл смешанных и чистых состояний классической механики и найдем причину, по которой результаты опытов необязательно определяются однозначно условиями эксперимента.
Рассмотрим смесь состояний \( \omega_{1} \) и \( \omega_{2} \)
\[
\omega=\alpha \omega_{1}+(1-\alpha) \omega_{2}, \quad 0<\alpha<1 .
\]

Для средних значений, очевидно, справедлива формула
\[
\langle f \mid \omega\rangle=\alpha\left\langle f \mid \omega_{1}\right\rangle+(1-\alpha)\left\langle f \mid \omega_{2}\right\rangle .
\]

Формулы (14) и (3) допускают следующее толкование. Утверждение о том, что система находится в состоянии \( \omega \), эквивалентно утверждению, что система с вероятностью \( \alpha \) находится в состоянии \( \omega_{1} \) и с вероятностью \( (1-\alpha) \) в состоянии \( \omega_{2} \). Заметим, что такое толкование возможно, но не является необходимым.

Простейшее смешанное состояние является выпуклой комбинацией двух чистых
\[
\rho(q, p)=\alpha \delta\left(q-q_{1}\right) \delta\left(p-p_{1}\right)+(1-\alpha) \delta\left(q-q_{2}\right) \delta\left(p-p_{2}\right) .
\]

Возможны смеси \( n \) чистых состояний
\[
\rho(q, p)=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \delta\left(q-q_{i}\right) \delta\left(p-p_{i}\right), \quad \alpha_{i}>0, \quad \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}=1 .
\]

Здесь \( \alpha_{i} \) может быть истолковано как вероятность реализации чистого состояния, задаваемого точкой фазового пространства \( q_{i}, p_{i} \). Наконец, в общем случае для функции распределения
13
можно написать
\[
\rho(q, p)=\int_{\mathcal{K}} \rho\left(q_{0}, p_{0}\right) \delta\left(q-q_{0}\right) \delta\left(p-p_{0}\right) d q_{0} d p_{0} .
\]

Такая запись приводит к обычному в статистической физике толкованию функции распределения: \( \int_{\Omega} \rho(q, p) d q d p \) есть вероятность обнаружить систему в чистом состоянии, изображаемом точкой из области \( \Omega \) фазового пространства. Еще раз подчеркнем, что в таком толковании нет необходимости, так как чистые и смешанные состояния могут быть описаны в рамках единого формализма.

Одной из важнейших характеристик вероятностного распределения является дисперсия
\[
\Delta_{\omega}^{2} f=\left\langle(f-\langle f \mid \omega\rangle)^{2} \mid \omega\right\rangle=\left\langle f^{2} \mid \omega\right\rangle-\langle f \mid \omega\rangle^{2} .
\]

Покажем, что смешивание состояний приводит к увеличению дисперсии. Более точная формулировка этого утверждения содержится в неравенствах
\[
\begin{array}{c}
\Delta_{\omega}^{2} f \geqslant \alpha \Delta_{\omega_{1}}^{2} f+(1-\alpha) \Delta_{\omega_{2}}^{2} f, \\
\Delta_{\omega} f \Delta_{\omega} g \geqslant \alpha \Delta_{\omega_{1}} f \Delta_{\omega_{1}} g+(1-\alpha) \Delta_{\omega_{2}} f \Delta_{\omega_{2}} g,
\end{array}
\]

причем знаки равенства имеют место только при условии, что средние значения наблюдаемых в состояниях \( \omega_{1} \) и \( \omega_{2} \) совпадают
\[
\left\langle f \mid \omega_{1}\right\rangle=\left\langle f \mid \omega_{2}\right\rangle,\left\langle g \mid \omega_{1}\right\rangle=\left\langle g \mid \omega_{2}\right\rangle .
\]

В ослабленной форме (16) и (17) можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
\Delta_{\omega}^{2} f \geqslant \min \left(\Delta_{\omega_{1}}^{2} f, \Delta_{\omega_{2}}^{2} f\right), \\
\Delta_{\omega} f \Delta_{\omega} g \geqslant \min \left(\Delta_{\omega_{1}} f \Delta_{\omega_{1}} g, \Delta_{\omega_{2}} f \Delta_{\omega_{2}} g\right) .
\end{array}
\]

При доказательстве используется элементарное неравенство \( \varphi(x)=\alpha+(1-\alpha) x^{2}-(\alpha+(1-\alpha) x)^{2} \geqslant 0, \quad-\infty<x<\infty \), причем \( \quad \varphi(1)=0, \quad \varphi(x)>0 \) при \( x
eq 1 \).

Используя (14) и (20), имеем
\[
\begin{aligned}
\Delta_{\omega}^{2} f & =\left\langle f^{2} \mid \omega\right\rangle-\langle f \mid \omega\rangle^{2}= \\
& =\alpha\left\langle f^{2} \mid \omega_{1}\right\rangle+(1-\alpha)\left\langle f^{2} \mid \omega_{2}\right\rangle-\left[\alpha\left\langle f \mid \omega_{1}\right\rangle+(1-\alpha)\left\langle f \mid \omega_{2}\right\rangle\right]^{2} \geqslant \\
& \geqslant \alpha\left\langle f^{2} \mid \omega_{1}\right\rangle+(1-\alpha)\left\langle f^{2} \mid \omega_{2}\right\rangle-\alpha\left\langle f \mid \omega_{1}\right\rangle^{2}-(1-\alpha)\left\langle f \mid \omega_{2}\right\rangle^{2}= \\
& =\alpha \Delta_{\omega_{1}}^{2} f+(1-\alpha) \Delta_{\omega_{2}}^{2} f .
\end{aligned}
\]
14
Неравенство (16) доказано. Неравенство (17) является следствием (16). Действительно,
\[
\begin{aligned}
\Delta_{\omega}^{2} f \Delta_{\omega}^{2} g \geqslant\left(\alpha \Delta_{\omega_{1}}^{2} f+(1-\alpha) \Delta_{\omega_{2}}^{2} f\right)\left(\alpha \Delta_{\omega_{1}}^{2} g\right. & \left.+(1-\alpha) \Delta_{\omega_{2}}^{2} g\right) \geqslant \\
& \geqslant\left[\alpha \Delta_{\omega_{1}} f \Delta_{\omega_{1}} g+(1-\alpha) \Delta_{\omega_{2}} f \Delta_{\omega_{2}} g\right]^{2} .
\end{aligned}
\]

Для чистых состояний
\[
\begin{array}{c}
\rho(q, p)=\delta\left(q-q_{0}\right) \delta\left(p-p_{0}\right), \\
\langle f \mid \omega\rangle=f\left(q_{0}, p_{0}\right), \\
\Delta_{\omega}^{2} f=f^{2}\left(q_{0}, p_{0}\right)-f^{2}\left(q_{0}, p_{0}\right)=0,
\end{array}
\]
т. е. для чистых состояний классической механики дисперсия равна нулю. Это значит, что для системы в чистом состоянии результат измерения любой наблюдаемой определен однозначно. Состояние классической системы будет чистым, если условия эксперимента фиксируют к моменту измерения значения всех обобщенных координат и импульсов. Ясно, что если макроскопическое тело рассматривать как механическую систему из \( N \) молекул, где \( N \) имеет обычно порядок \( 10^{23} \), то никакие условия реального физического эксперимента не фиксируют значений \( q_{0} \) и \( p_{0} \) для всех молекул и описание такой системы при помощи чистых состояний является бесполезным. Поэтому в статистической физике изучаются смешанные состояния.

Подведем некоторые итоги. В классической механике существует бесконечное множество состояний системы (чистые состояния), в которых все наблюдаемые имеют вполне определенные значения. В реальных экспериментах с системами из огромного числа частиц возникают смешанные состояния. Paзумеется, такие состояния возможны и в экспериментах с простыми механическими системами. В этом случае теория дает только вероятностные предсказания.