Для задачи о рассеянии на потенциальном центре оператор Шредингера имеет вид
\[
H=-\Delta+V(\mathbf{x})
\]
( Мы снова считаем, что \( m=1 / 2, h=1 \) ). В дальнейшем мы обычно будем считать, что потенциал \( V(\mathrm{x}) \) – финитная функция
– Согласно классической механике частица с вероятностью единица проходит через барьер при \( k^{2}>V_{0} \) и с вероятностью единица отражается при \( k^{2}<V_{0} \).
\( (V(\mathbf{x})=0 \) при \( |\mathbf{x}|>a) \). Изложение построим по той же схеме, что и в одномерном случае, т. е. сначала рассмотрим некоторые решения стационарного уравнения Шредингера, а затем выясним их физический смысл с помошью нестационарного уравнения Шредингера.

Наша первая задача – сфэрмулировать асимптотическое (при \( r \rightarrow \infty \) ) условие на решение уравнения
\[
-\Delta \psi(\mathbf{x})+V(\mathbf{x}) \psi(\mathbf{x})=k^{2} \psi(\mathbf{x}),
\]

которое соответствует физической картине рассеяния и является аналогом условий (36.4) для одномерной задачи. Естественно ожидать, что одно слагаемое асимптотически будет соответствовать частице, налетающей на рассеивающий центр по определенному направлению, а вторсе – соответствовать рассеянной частице, которая может иметь различные направления движения после рассеяния и удаляется от центра. Аналогами функ, ций \( e^{i k x} \) и \( e^{-i k x} \) в трехмерном случае являются функции \( e^{i k r} / r \) и \( e^{-i k r} / r \). Поэтому разумно предположить, что частице до и после рассеяния в асимптотике соответствуют слагаемые \( \frac{e^{-i k r}}{r} \delta(\mathbf{n}+\boldsymbol{\omega}) \) и \( \frac{e^{i k r}}{r} S(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}) \). Мы используем следующие обозначения: \( \mathbf{k} \) – импульс налетающей частицы, \( \boldsymbol{\omega}=\mathbf{k} / k, \mathbf{n}= \) \( =\mathrm{x} / r, \delta\left(\mathbf{n}–\mathbf{n}_{0}\right)-\delta \)-функция на единичной сфере, определяемая равенством
\[
\int_{S_{2}} f(\mathbf{n}) \delta\left(\mathbf{n}-\mathbf{n}_{0}\right) d \mathbf{n}=f\left(\mathbf{n}_{0}\right), \quad d \mathbf{n}=\sin \theta d \theta d \varphi,
\]
\( S(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}) \) – некоторая функция, которая, как будет показано, содержит всю информацию о процессе рассеяния и которая должна быть найдена при решении задачи. Мы увидим в дальнейшем, что функция \( S(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}) \) является ядром некоторого унитарного оператора \( S \), который называется оператором рассеяния.

Мы приходим к следующей постановке задачи о рассеянии на силовом центре: требуется найти решение уравнения
\[
-\Delta \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k})+V(\mathbf{x}) \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k})=k^{2} \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}),
\]

которое при \( r \rightarrow \infty \) имеет асимптотику
\[
\psi(\mathbf{x}, \mathbf{k})=\frac{e^{-i k r}}{r} \delta(\mathbf{n}+\boldsymbol{\omega})-\frac{e^{i k r}}{r} S(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega})+o\left(\frac{1}{r}\right) .
\]

Обоснование такой постановки задачи может быть дано только при помощи нестационарного формализма теории рассеяния, это будет сделано в следующем параграфе. Bопрос о существовании решения уравнения (2) с условием (3) мы также обсудим ниже. На этот вопрос, однако, просто ответить для
случая \( V(\mathrm{x})=0 \). Покажем, что функция
\[
\psi_{0}(\mathbf{x}, \mathbf{k})=\frac{k}{2 \pi i} e^{i \mathbf{k x}}=\frac{k}{2 \pi i} e^{i k r \mathbf{n} \mathbf{w}},
\]

которая, очевидно, является решением (2) при \( V(\mathrm{x})=0 \), удовлетворяет и условию (3), и найдем вид функции \( S(k, \mathrm{n}, \omega) \) для этого случая.

Мы ищем асимптотику функции \( \psi_{0}(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \) в классе обобщенных функций, поэтому должны найти асимптотическое выраже. ние при \( r \rightarrow \infty \) интеграла
\[
I=\int_{S_{2}} f(\mathbf{n}) \psi_{j}(r \mathbf{n}, k \omega) d \mathbf{n},
\]

где \( f(\mathbf{n}) \)-тладкая функция. Используя явный вид \( \psi_{0}(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \) и вводя сферическую систему координат, полярная ось которой направлена по вектору \( \omega \), имеем
\[
\begin{array}{l}
I=\frac{k}{2 \pi i} \int_{0}^{2 \pi} d \varphi \int_{0}^{\pi} f(\cos \theta, \varphi) e^{i k r \cos \theta} \sin \theta d \theta= \\
=\frac{k}{2 \pi i} \int_{0}^{2 \pi} d \varphi \int_{-1}^{1} d \eta f(\eta, \varphi) e^{i k r \eta} . \\
\end{array}
\]

Интегрируя по частям, получим
\[
\begin{aligned}
I=\left.\frac{k}{2 \pi i} \int_{0}^{2 \pi} d \varphi \frac{1}{i k r} f(\eta, \varphi) e^{i k r \eta}\right|_{-1} ^{1} & – \\
& -\frac{k}{2 \pi i} \int_{0}^{2 \pi} d \varphi \frac{1}{i k r} \int_{-1}^{1} d \eta f_{\eta}^{\prime}(\eta, \varphi) e^{i k r \eta} .
\end{aligned}
\]

Еще раз проинтегрировав по частям, легко убедиться, что второе слагаемое имеет порядок \( O\left(1 / r^{2}\right) \), поэтому
\[
\begin{aligned}
I=-\frac{1}{2 \pi r} \int_{0}^{2 \pi} d \varphi\left(e^{i k r} f(\omega)\right. & \left.-e^{-i k r} f(-\omega)\right)+O\left(\frac{1}{r^{2}}\right)= \\
& =\frac{e^{-i k r}}{r} f(-\omega)-\frac{e^{i k r}}{r} f(\omega)+O\left(\frac{1}{r^{2}}\right) .
\end{aligned}
\]

Таким образом, мы показали, что
\[
\psi_{0}(\mathbf{x}, \mathbf{k})=\frac{e^{-i k r}}{r} \delta(\mathbf{n}+\boldsymbol{\omega})-\frac{e^{i k r}}{r} \delta(\mathbf{n}-\boldsymbol{\omega})+O\left(\frac{1}{r^{2}}\right) .
\]

Сравнивая (4) с (3), найдем функцию \( S \) для свободной частицы
\[
S_{0}(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega})=\delta(\mathbf{n}-\boldsymbol{\omega}) .
\]
Используя (4), можно переписать асимптотическое условие (3) в форме
\[
\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}, \mathbf{k})=\frac{k}{2 \pi i}\left(e^{i k r(\mathbf{n}, \omega)}+f(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}) \frac{e^{i k r}}{r}\right)+o\left(\frac{1}{r}\right),
\]

где функция \( f(k, \mathbf{n}, \omega) \) связана с функцией \( S(k, \mathbf{n}, \omega) \) соотношением
\[
S(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega})=\delta(\mathbf{n}-\boldsymbol{\omega})+\frac{i k}{2 \pi} f(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}) .
\]

Функция \( f(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}) \) называется амплитудой рассеяния. Очевидно, что \( f(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega})=0 \) при \( V(\mathbf{x})=0 \). Мы увидим, что через эту функцию наиболее просто выражается сечение рассеяния.
Вместо асимптотического условия (5) часто используют
\[
\psi(\mathbf{x}, \mathbf{k})=e^{i k r \mathbf{n} \omega}+f(\mathbf{k}, \mathbf{n}, \omega) \frac{e^{i k r}}{r}+o\left(\frac{1}{r}\right),
\]
которое приводит к более удобной нормировке функции \( \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \).

Посмотрим теперь, какими свойствами обладает функция \( S(k, \mathbf{n}, \omega) \). Для изучения этих свойств удобным оказывается следующее вспомогательное утверждение.

Пусть функции \( \psi_{1}(\mathbf{x}) \) и \( \psi_{2}(\mathbf{x}) \) удовлетворяют уравнению (2) и асимптотическим условиям при \( r \rightarrow \infty \), которые можно один раз дифференцировать по \( r \)
\[
\begin{array}{l}
\Psi_{1}(\mathbf{x})=A_{1}(\mathbf{n}) \frac{e^{-i k r}}{r}+B_{1}(\mathbf{n}) \frac{e^{i k r}}{r}+o\left(\frac{1}{r}\right), \\
\psi_{2}(\mathbf{x})=A_{2}(\mathbf{n}) \frac{e^{-i k r}}{r}+B_{2}(\mathbf{n}) \frac{e^{i k r}}{r}+o\left(\frac{1}{r}\right) .
\end{array}
\]

Тогда справедливо равенство
\[
\int_{S_{2}} A_{1}(\mathbf{n}) B_{2}(\mathbf{n}) d \mathbf{n}=\int_{S_{9}} A_{2}(\mathbf{n}) B_{1}(\mathbf{n}) d \mathbf{n} .
\]

Это утверждение легко доказывается при помощи формулы Грина
\[
\int_{\Omega}\left(\psi_{1} \Delta \psi_{2}-\psi_{2} \Delta \psi_{1}\right) d \mathbf{x}=\int_{\partial \Omega}\left(\psi_{1} \frac{\partial \psi_{2}}{\partial n}-\psi_{2} \frac{\partial \psi_{1}}{\partial n}\right) d \Sigma .
\]

В качестве области интегрирования \( \Omega \) следует выбрать шар радиуса \( R \) и перейти к пределу при \( R \rightarrow \infty \). Положим
\[
\begin{array}{c}
\psi_{1}(\mathbf{x})=\psi(\mathbf{x}, \mathbf{k})=\frac{e^{-i k r}}{r} \delta(\mathbf{n}+\boldsymbol{\omega})-\frac{e^{i k r}}{r} S(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega})+o\left(\frac{1}{r}\right), \\
\psi_{2}(\mathbf{x})=\psi\left(\mathbf{x}, \mathbf{k}^{\prime}\right)=\frac{e^{-i k r}}{r} \delta\left(\mathbf{n}+\omega^{\prime}\right)-\frac{e^{i k r}}{r} S\left(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}^{\prime}\right)+o\left(\frac{1}{r}\right), \\
\left.\left.\psi_{3}(\mathbf{x})=\overline{\psi\left(\mathbf{x}, \mathbf{k}^{\prime}\right.}\right)=-\frac{e^{-i k r}}{r} \overline{S\left(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}^{\prime}\right.}\right)+\frac{e^{i k r}}{r} \delta\left(\mathbf{n}+\boldsymbol{\omega}^{\prime}\right)+o\left(\frac{1}{r}\right),
\end{array}
\]
где \( \mathbf{k}^{\prime}=k \omega^{\prime} \). Применяя формулу (8) к функциям \( \psi_{1} \) и \( \psi_{2} \), получим
\[
S\left(k,-\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega}^{\prime}\right)=S\left(k,-\boldsymbol{\omega}^{\prime}, \boldsymbol{\omega}\right),
\]
или, заменяя \( \boldsymbol{\omega} \) на – \( \boldsymbol{\omega} \),
\[
S\left(k, \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega}^{\prime}\right)=S\left(k,-\boldsymbol{\omega}^{\prime},-\boldsymbol{\omega}\right) .
\]

Эта формула является аналогом равенства \( B=D \) для одномерной задачи рассеяния и выражает тот факт, что значения функции \( S \) для прямого \( \left(\boldsymbol{\omega}^{\prime} \rightarrow \boldsymbol{\omega}\right) \) и обращенного во времени \( \left(-\boldsymbol{\omega} \rightarrow-\boldsymbol{\omega}^{\prime}\right) \) процессов столкновений совпадают. Можно показать, что это свойство (так же, как и симметрия \( S \)-матрицы в одномерном случае) является следствием инвариантности уравнения Шредингера относительно обращения времени.
Далее, применяя формулу (8) к функциям \( \psi_{1} \) и \( \psi_{3} \), получим
\[
\int_{S_{2}} \overline{S\left(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}^{\prime}\right)} S(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}) d n=\delta\left(\boldsymbol{\omega}-\boldsymbol{\omega}^{\prime}\right) .
\]

Если рассматривать функцию \( S(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}) \) как ядро интегрального оператора в \( L^{2}\left(S_{2}\right) \)
\[
S \varphi(\boldsymbol{\omega})=\int_{S_{2}} S\left(k, \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega}^{\prime}\right) \varphi\left(\boldsymbol{\omega}^{\prime}\right) d \boldsymbol{\omega}^{\prime},
\]
то формула (11) может быть переписана в виде
\[
S^{*} S=I \text {. }
\]

Учитывая (10), из (11) следует, что справедливо равенство
\[
S S^{*}=I \text {. }
\]

Из последних двух соотношений следует, что оператор \( S \) является унитарным.

Мы видим, что оператор \( S \) для задачи рассеяния на потенциальном центре обладает теми же свойствами, что и \( S \)-матрица для одномерной задачи тассеяния. Из унитарности оператора \( S \) вытекает важное соотношение
\[
\int_{S_{2}}|f(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega})|^{2} d \mathbf{n}=\frac{4 \pi}{k} \operatorname{Im} f(k, \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega})
\]
которое носит название оптической теоремы. Действительно, используя (6) и (11), получим
\[
\begin{array}{c}
\int_{S_{2}}\left[\delta\left(\mathbf{n}-\boldsymbol{\omega}^{\prime}\right)-\frac{i k}{2 \pi} \overline{f\left(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}^{\prime}\right)}\right]\left[\delta(\mathbf{n}-\boldsymbol{\omega})+\frac{i k}{2 \pi} f(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega})\right] d \mathbf{n}= \\
=\delta\left(\boldsymbol{\omega}-\boldsymbol{\omega}^{\prime}\right)+\frac{i k}{2 \pi}\left[f\left(k, \boldsymbol{\omega}^{\prime}, \boldsymbol{\omega}\right)-\overline{f\left(k, \boldsymbol{\omega}^{\prime} \boldsymbol{\omega}^{\prime}\right)}\right]+ \\
+\frac{k^{2}}{4 \pi^{2}} \int_{S_{2}} f(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega},) f\left(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}^{\prime}\right) d \mathbf{n}=\delta\left(\boldsymbol{\omega}-\boldsymbol{\omega}^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Полагая \( \boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}^{\prime} \), мы сразу приходим к формуле (12).
В § 42 мы увидим, что интеграл в левой части (12) совпадает с полным сечением \( \sigma \) для рассеяния частицы на потенциальном центре. Поэтому (12) можно переписать в виде
\[
\sigma=\frac{4 \pi}{k} \operatorname{Im} f(k, \omega, \omega) .
\]

Эта формула связывает полное сечение рассеяния с мнимой частью амплитуды рассеяния на нулевой угол.

Используя унитарность оператора \( S \), легко показать, что функции \( \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \), удовлетворяющие асимптотическому условию (7), имеют нормировку
\[
\int_{R^{3}} \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \overline{\psi\left(\mathbf{x}, \mathbf{k}^{\prime}\right)} d \mathbf{x}=(2 \pi)^{3} \delta\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}^{\prime}\right),
\]
т. е. нормированы так же, как решения для свободной частицы \( e^{i \mathbf{k} x} \). Чтобы проверить (13), умножим равенства
\[
\begin{array}{l}
\Delta \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k})+k^{2} \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k})=V(\mathbf{x}) \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}), \\
\Delta \overline{\psi\left(\mathbf{x}, \mathbf{k}^{\prime}\right)}+k^{2} \overline{\psi\left(\mathbf{x}, \mathbf{k}^{\prime}\right)}=V(\mathbf{x}) \overline{\psi\left(\mathbf{x}, \mathbf{k}^{\prime}\right)} \\
\end{array}
\]
на \( \overline{\psi\left(\mathbf{x}, \mathbf{k}^{\prime}\right)} \) и \( \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \) соответственно, вычтем первое из второго и проинтегрируем по шару радиуса \( R \), тогда
\[
\begin{aligned}
\int_{\Omega_{R}} \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \overline{\psi\left(\mathbf{x}, \mathbf{k}^{\prime}\right)} d \mathbf{x}=\frac{1}{k^{2}-k^{\prime 2}} \int_{\Omega_{R}}\left[\psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \Delta \overline{\psi\left(\mathbf{x}, \mathbf{k}^{\prime}\right)}-\right. \\
\left.-\overline{\psi\left(\mathbf{x}, \mathbf{k}^{\prime}\right)} \Delta \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k})\right] d \mathbf{x} .
\end{aligned}
\]

С помощью формулы Грина это равенство можно переписать в виде
\[
\begin{array}{l}
\int_{\Omega_{R}} \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \psi\left(\mathbf{x}, \mathbf{k}^{\prime}\right) d \mathbf{x}=\frac{1}{k^{2}-k^{\prime 2}} \int_{S_{R}}\left(\psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \frac{\partial \overline{\psi\left(\mathbf{x}, \mathbf{k}^{\prime}\right)}}{\partial r}-\right. \\
\left.-\overline{\psi\left(\mathbf{x}, \mathbf{k}^{\prime}\right)} \frac{\partial \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k})}{\partial r}\right) d \Sigma,
\end{array}
\]
где \( S_{R} \) – сфера радиуса \( R \). Формула (13) получается из последнего соотношения переходом к пределу при \( R \rightarrow \infty \), интеграл в правой части считается с помощью асимптотического выражения для \( \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \). Мы не приводим соответствующих выкладок, так как они буквально повторяют вычисления, которые привели нас к формулам (36.9), (36.10).