Квантовая механика – это механика микромира. Явления, которые она изучает, в основном лежат за пределами нашего чувственного восприятия, поэтому не следует удивляться кажущейся парадоксальности законов, управляющих этими явлениями.

Основные законы квантовой механики не удается сформулировать как логическое следствие результатов некоторой совокупности фундаментальных физических экспериментов. Иными словами, до сих пор неизвестна формулировка квантовой механики, основанная на системе проверенных на опыте аксиом. Более того, некоторые из основных положений квантовой механики принципиально не допускают опытной проверки. Наша уверенность в справедливости квантовой механики основана на том, что все физические результаты теории согласуются с экспериментом. Таким образом, на опыте проверяются только следствия из основных положений квантовой механики, а не ее основные законы. С этими обстоятельствами связаны, по-видимому, главные трудности, возникающие при первоначальном изучении квантовой механики.

Такого же характера, но, очевидно, гораздо большие трудности стояли перед создателями квантовой механики. Эксперименты со всей определенностью указывали на существование особых квантовых закономерностей в микромире, но ни в коей мере не подсказывали форму квантовой теории. Этим можно объяснить поистине драматическую историю создания квантовой механики и, в частности, тот факт, что первоначальные формулировки квантовой механики носили чисто рецептурный характер. Они содержали некоторые правила, позволяющие вычислять измеряемые на опыте величины, а физическое истолкование теории появилось после того, как в основном был создан ее математический формализм.

При построении квантовой механики в настоящем курсе мы не будем следовать историческому пути. Мы очень коротко опишем ряд физических явлений, попытки объяснить которые на основе законов классической физики приводили к непреодолимым трудностям. Далее мн попытаемся выяснить, какие черты описанной в предыдущих параграфах схемы классической механики должны сохраниться в механике микромира и от чего можно и нужно отказаться. Мы увидим, что отказ только от одного утверждения классической механики, а именно от утверждения, что наблюдаемые есть функции на фазовом пространстве, позволит построить схему механики, описывающую системы с поведением, существенно отличным от классического. Наконец, в последующих параграфах мы убедимся, что построенная теория является более общей, чем классическая механика, и содержит последнюю как предельный случай.

Исторически первая квантовая гипотеза была выдвинута Планком в 1900 г. в связи с теорией равновесного излучения. Планку удалось получить согласующуюся с опытом формулу для спектрального распределения энергии теплового излучения, выдвинув предположение о том, что электромагнитное излучение испускается и поглощается дискретными порциями – квантами, энергия которых пропорциональна частоте излучения
\[
E=h \omega,
\]

где \( \omega=2 \pi v, v \) – частота колебаний в световой волне, а \( h= \) \( =1,05 \times 10^{-27} \) эрг \( \cdot \) с – постоянная Планка *.

Гипотеза Планка о световых квантах позволила Эйнштейну дать чрезвычайно простое объяснение закономерностей фотоэффекта (1905 г.). Явление фотоэффекта состоит в том, что под действием светового потока из металла выбиваются электроны. Основная задача теории фотоэффекта – найти зависимость энергии выбиваемых электронов от характеристик светового потока. Пусть \( V \)-работа, которую нужно затратить на выбивание электрона из металла (работа выхода). Тогда закон сохранения энергии приводит к соотношению
\[
h \omega=V+T,
\]

где \( T \)-кинетическая энергия выбитого электрона. Мы видим, что эта энергия линейно зависит от частоты и не зависит от интенсивности светового потока. Кроме того, при частоте \( \omega<V / h \) (красная граница фотоэффекта) явление фотоэффекта становится невозможным, так как \( T \geqslant 0 \). Эти выводы, основанные на гипотезе о световых квантах, полностью согласуются с опытом. В то же время по классической теории энергия вырванных электронов должна зависеть от интенсивности световых волн, что противоречит результатам экспериментов.

Эйнштейн дополнил представление о световых квантах, введя импульс светового кванта по формуле
\[
\mathbf{p}=h \mathbf{k} \text {. }
\]

Здесь \( \mathbf{k} \) – так называемый волновой вектор, имеющий направление распространения световых волн; длина этого вектора \( k \) связана с длиной волны \( \lambda \), частотой \( \omega \) и скоростью света \( c \) соотношениями
\[
k=\frac{2 \pi}{\lambda}=\frac{\omega}{c} .
\]

Для световых квантов справедлива формула
\[
E=p c,
\]
* В старой литературе формула (1) часто записывается в виде \( E=h v \), постоянная \( h \), входящая в последнюю формулу, очевидно, отличается от \( h \) формулы (1) множителем \( 2 \pi \).

являющаяся частным случаем формулы теории относительности
\[
E=\sqrt{p^{2} c^{2}+m^{2} c^{4}}
\]

для частицы с массой покоя \( m=0 \).
Заметим, что исторически первые квантовые гипотезы относились к законам излучения и поглощения световых волн, т. е. к электродинамике, а не к механике. Однако вскоре стало ясно, что не только для электромагнитного излучения, но и для атомных систем характерна дискретность значений ряда физических величин. Опыты Франка и Герца (1913 г.) показали, что при столкновениях электронов с атомами энергия электронов изменяется дискретными порциями. Результаты этих опытов можно объяснить тем, что энергия атомов может иметь только определенные дискретные значения. Позднее, в 1922 г. опыты Штерна и Герлаха показали, что аналогичным свойством обладает проекция момента количества движения атомных систем на некоторое направление. В настоящее время хорошо известно, что дискретность значений ряда наблюдаемых хотя и характерная, но не обязательная черта систем микромира. Так, например, энергия электрона в атоме водорода имеет дискретные значения, а энергия свободно движущегося электрона может принимать любые положительные значения. Математический аппарат квантовой механики должен быть приспособлен к описанию наблюдаемых, принимающих как дискретные, так и непрерывные значения.

В 1911 г. Резерфордом было открыто атомное ядро и предложена планетарная модель атома (опыты Резерфорда по рассеянию \( \alpha \)-частиц на образцах из различных элементов показали, что атом имеет положительно заряженное ядро, заряд которого равен \( Z e \), где \( Z \) – номер элемента в таблице Менделеева, а – \( e \) – заряд электрона, размеры ядра не превышают \( 10^{-12} \mathrm{cм} \); сами атомы имеют линейные размеры порядка \( 10^{-8} \mathrm{cм} \) ). Планетарная модель атома противоречит основным положениям классической электродинамики. Действительно, двигаясь вокруг ядра по классическим орбитам, электроны, как всякие ускоренно движущиеся заряды, должны излучать электромагнитные волны. При этом электроны должны терять свою энергию и в конце концов упасть на ядро. Поэтому такой атом не может быть устойчивым, что, конечно, не соответствует действительности. Одна из основных задач квантовой механики объяснить устойчивость и описать структуру атомов и молекул как систем, состоящих из положительно заряженных ядер и электронов.

Совершенно удивительным с точки зрения классической механики представляется явление дифракции микрочастиц. Это явление было предсказано де Бройлем в 1924 г., который предположил, что свободно движущейся частице с импульсом p

и энергией \( E \) в каком-то смысле соответствует волна с волновым вектором \( \mathbf{k} \) и частотой \( \omega \), причем
\[
\mathbf{p}=h \mathbf{k}, \quad E=h \omega,
\]
т. е. соотношения (1) и (2) справедливы не только для световых квантов, но и для частиц. Физическое истолкование волн де Бройля было дано позднее Борном, и мы его пока обсуждать не будем. Если движущейся частице соответствует волна, то независимо от того, какой точный смысл вкладывается в эти слова, естественно ожидать, что это проявится в существовании дифракционных явлений для частиц. Впервые дифракция электронов наблюдалась в опытах Дэвиссона и Джермера в 1927 г. Впоследствии явления дифракции наблюдались и для других частиц.
Рис. 1.
Покажем, что дифракционные явления несовместимы с классическими представлениями о движении частиц по траекториям. Рассуждение удобнее всего провести на примере мысленного эксперимента по дифракции пучка электронов на двух щелях *, схема которого изображена на рис. 1. Пусть электроны от источника \( A \) двигаются к экрану \( B \) и, проходя через щели \( I \) и \( I \) в в нем, попадают на экран \( B \).

Нас интересует распределение электронов по координате \( y \), попадающих на экран \( B \). Явления дифракции на одной и двух щелях хорошо изучены, и мы можем утверждать, что распределение электронов \( \rho(y) \) имеет вид \( a \), изображенный на рис. 2 , если открыта только первая щель, вид 6 (рис. 2), – если открыта вторая и вид 8 , – если открыты обе щели. Если предположить, что каждый электрон двигался по определенной классической траектории, то все электроны, попавшие на экран \( B \), можно разбить на две группы в зависимости от того, через какую щель они прошли. Для электронов первой группы совершенно безразлично, открыта ли вторая щель, и поэтому их
* Такой эксперимент является мысленным, так длина волны электронов при энергиях, удобных для дифракционных опытов, не превышает \( 10^{-7} \) см, а расстояние между щелями должно иметь тот же порядок. В реальных экспериментах наблюдается дифракция на кристаллах, которые как бы являются природными дифракционными решетками.

распределение на экране должно изображаться кривой \( a \); аналогично электроны второй группы должны иметь распределение б. Поэтому в случае, когда открыты обе щели, на экране должно получиться распределение, являющееся суммой распределений \( a \) и б. Такая сумма распределений не имеет ничего общего с интерференционной картиной \( в \). Это противоречие показывает, что разделение электронов на группы по тому признаку, через какую щель они прошли, в условиях описанного эксперимента невозможно, а значит, мы вынуждены отказаться от понятия траектории.

Сразу же возникает вопрос, а можно ли так поставить эксперимент, чтобы выяснить, через какую щель проходил электрон. Разумеется, такая постановка эксперимента возможна,
Рис. 2.

для этого достаточно поместить источник света между экранами \( \overline{\text { и }} B \) и наблюдать рассеяние световых квантов на электронах. Для того чтобы добиться достаточного разрешения, мы должны использовать квангы с длиной волны, по порядку не превосходящей расстояния между щелями, т. е. с достаточно большой энергией и импульсом. Наблюдая кванты, рассеянные на электронах, мы действительно сможем определить, через какую щель прошел электрон. Однако взаимодействие квантов с электронами вызовет неконтролируемое изменение их импульсов, а следовательно, распределение электронов, попавших на экран, должно измениться. Таким образом, мы приходим к выводу, что ответить на вопрос, через какую щель прошел электрон, можно только за счет изменения как условий, так и окончательного результата эксперимента.

На этом примере мы сталкизаемся со следующей общей особенностью поведения квантовых систем. Экспериментатор не имеет возможности следить за ходом эксперимента, так как это приводит к изменению его окончательного результата. Эта особенность квантового поведения тесно связана с особенностями измерений в микромире. Всякое измерение возможно только при взаимодействии системы с измерительным прибором. Это взаимодействие приводит к возмущению движения системы. В классической физике всегда предполагается, что

это возмущение может быть сделано сколь угодно малым, так же как и длительность процесса измерения. Поэтому всегда возможно одновременное измерение любого числа наблюдаемых.

Детальный анализ процесса измерения некоторых наблюдаемых для микросистем, который можно найти во многих учебниках по квантовой механике, показывает, что с увеличением точности измерения наблюдаемых воздействие на систему увеличивается и измерение вносит неконтролируемые изменения в численные значения некоторых других наблюдаемых. Это приводит к тому, что одновременное точное измерение некоторых наблюдаемых становится принципиально невозможным. Например, если для измерения координаты частицы использовать рассеяние световых квантов, то погрешность такого измерения имеет порядок длины волны света \( \Delta x \sim \lambda \). Повысить точность измерения можно, выбирая кванты с меньшей длиной волны, а следовательно, с большим импульсом \( p=2 \pi h / \lambda \). При этом в численные значения импульса частицы вносится неконтролируемое изменение \( \Delta p \) порядка импульса кванта. Поэтому погрешности измерения коордиғаты и импульса \( \Delta x \) и \( \Delta p \) связаны соотношением
\[
\Delta x \Delta p \sim 2 \pi h .
\]

Более точное рассуждение показывает, что это соотношение связывает только одноименные координату и проекцию импульса. Соотношения, связывающие принципиально возможную точность одновременного измерения двух наблюдаемых, называются соотношениями неопределенности Гейзенберга. В точной формулировке они будут получены в следующих параграфах. Наблюдаемые, на которые соотношения неопределенности не накладывают никаких ограничений, являются одновременно измеримыми. Мы увидим в дальнейшем, что одновременно измеримыми являются декартовы координаты частицы или проекции импульса, а неизмеримыми одновременно – одноименные координаты и проекция импульса или две декартовы проекции момента количества движения. При построении квантовой механики мы должны помнить о возможности существования неизмеримых одновременно величин.

Теперь после небольшого физического вступления попытаемся ответить на уже поставленный вопрос: какие особенности классической механики следует сохранить и от чего естественно отказаться при построении механики микромира. Основными понятиями классической механики были понятия наблюдаемой и состояния. Задача физической теории – предсказание результатов экспериментов, а эксперимент всегда есть измерение некоторой характеристики системы или наблюдаемой при определенных условиях, которые определяют состояние системы. Поэтому понятия наблюдаемой и состояния должны появиться в любой физической теории. С точки зрения экспериментатора определить наблюдаемую – значит задать способ ее измерения. Наблюдаемые мы будем обозначать символами \( a, b, c, \ldots \) и пока не будем делать никаких предположений об их математической природе (напомним, что в классической механике наблюдаемые есть функции на фазовом пространстве). Множество наблюдаемых, как и грежде, мы будем обозначать через \( \mathfrak{d} \).

Разумно предположить, что условия эксперимента определяют по крайней мере вероятностные распределения результатов измерения всех наблюдаемых, поэтому определение состояния, данное в \( \$ 2 \), разумно сохранить. Состояния по-прежнему мы будем обозначать через \( \omega \), соответствующую наблюдаемой \( a \) вероятностную меру на действительной оси через \( \omega_{a}(E) \), функцию распределения наблюдаемой \( a \) в состоянии \( \omega \) через \( \omega_{a}(\lambda) \) и, наконец, среднее значение наблюдаемой \( a \) в состоянии \( \omega \) через \( \langle\omega \mid a\rangle \).

Теория должна содержать определение функции от наблюдаемой. Для экспериментатора утверждение, что наблюдаемая \( b \) есть функция от наблюдаемой \( a(b=f(a)) \) означает, что для измерения \( b \) достаточно измерить \( a \), и, если в результате измерения наблюдаемой \( a \) получится число \( a_{0} \), то численное значение наблюдаемой \( b \) есть \( b_{0}=f\left(a_{0}\right) \). Для соответствующих \( a \) и \( f(a) \) вероятностных мер справедливо равенство
\[
\omega_{f(a)}(E)=\omega_{a}\left(f^{-1}(E)\right)
\]

для любых состояний \( \omega \).
Заметим, что всевозможные функции от одной наблюдаемой \( a \) измеримы одновременно, так как для измерения этих наблюдаемых достаточно измерить наблюдаемую \( a \). В дальнейшем мы увидим, что в квантовой механике этим примером исчерпываются случаи одновременной измеримости наблюдаемых, т. е. если наблюдаемые \( b_{1}, b_{2}, \ldots \) измеримы одновременно, то найдется такая наблюдаемая \( a \) и такие функции \( f_{1}, f_{2}, \ldots \), что \( b_{1}=f_{1}(a), b_{2}=f_{2}(a), \ldots \).

Среди множества функций \( f(a) \) наблюдаемой \( a \), очевидно, определены \( f(a)=\lambda a \) и \( f(a)= \) const, где \( \lambda \) – вещественное число. Существование первой из этих функций показывает, что наблюдаемые можно умножать на вещественные числа. Утверждение, что наблюдаемая есть константа подразумевает, что ее численное значение в любом состоянии совпадает с этой константой.

Попытаемся теперь выяснить, какой смысл можно придать сумме \( a+b \) и произведению \( a b \) наблюдаемых. Эти операции были бы определены, если бы у нас было определение функции от двух наблюдаемых \( f(a, b) \). Здесь, однако, возникают принципиальные трудности, связанные с возможностью существования неизмеримых одновременно наблюдаемых. Если \( a \) и \( b \)

измеримы одновременно, то определение \( f(a, b) \) совершенно аналогично определению \( f(a) \). Для измерения наблюдаемой \( f(a, b) \) достаточно измерить наблюдаемые \( a \) и \( b \), и такое измерение приведет к численному значению \( f\left(a_{0}, b_{0}\right) \), где \( a_{0} \) и \( b_{0}- \) численные значения наблюдаемых \( a \) и \( b \) соответственно. Для случая неизмеримых одновременно наблюдаемых \( a \) и \( b \) не существует никакого разумного определения функции \( f(a, b) \). Это обстоятельство заставляет нас отказаться от предположения, что наблюдаемые есть функции на фазовом пространстве \( f(q, p) \), так как у нас есть физические основания считать \( q \) и \( p \) неизмеримыми одновременно и искать наблюдаемые среди математических объектов иной природы.

Мы видим, что определить сумму \( a+b \) и произведение \( a b \), используя понятие функции от двух наблюдаемых, можно только в том случае, если они одновременно измеримы. Однако возможен другой подход, позволяющий ввести сумму в общем случае. Мы знаем, что вся информация о состояниях и наблюдаемых получается в результате измерений, поэтому разумно предположить, что состояний достаточно много, чтобы по ним можно было различать наблюдєемые, и аналогично наблюдаемых достаточно много, чтобы по ним можно было различать состояния.
Более точно мы предполагаем, что из равенства
\[
\langle a \mid \omega\rangle=\langle b \mid \omega\rangle
\]

справедливого для любого состояния \( \omega \), следует, что наблюдаемые \( a \) и \( b \) совпадают *, а из равенства
\[
\left\langle a \mid \omega_{1}\right\rangle=\left\langle a \mid \omega_{2}\right\rangle,
\]

справедливого для любой наблюдаемой \( a \), следует, что совпадают состояния \( \omega_{1} \) и \( \omega_{2} \).

Первое из сделанных предположений дает возможность определить сумму наблюдаемых \( a+b \) как такую наблюдаемую, для которой справедливо равенство
\[
\langle a+b \mid \omega\rangle=\langle a \mid \omega\rangle+\langle b \mid \omega\rangle
\]

при любом состоянии \( \omega \). Сразу заметим, что это равенство является выражением известной теоремы теории вероятностей о среднем значении суммы только в случае, когда наблюдаемые \( a \) и \( b \) имеют общую функцию распределения. Такая общая функция распределения может существовать (и в квантовой механике действительно существует) только для одновременно измеримых величин. В этом случае определение суммы по формуле (5) совпадает со сделанным прежде. Аналогичное определение произведения невозможно, так как среднее от произ-
* Это предположение позволяет считать, что наблюдаемая задана, если каждому состоянию сопоставлено вещественное число.

ведения не равно произведению средних даже для одновременно измеримых наблюдаемых.

Определение суммы (5) не содержит никакого указания на способ измерения наблюдаемой \( a+b \) по известным способам измерения наблюдаемых \( a \) и \( b \) и в этом смысле является неявным.

Чтобы дать представление о том, насколько понятие суммы наблюдаемых может отличаться от обычного понятия суммы случайных величин, мы приведем пример наблюдаемой, которая будет подробно изучена в дальнейшем. Пусть
\[
H=\frac{P^{2}}{2}+\frac{\omega^{2} Q^{2}}{2} .
\]

Наблюдаемая \( H \) (энергия одномерного гармонического осциллятора) есть сумма двух наблюдаемых, пропорциональных квадратам импульса и координаты. Мы увидим, что эти последние наблюдаемые могут принимать любые неотрицательные численные значения, в то время как значения наблюдаемой \( H \) должны совпадать с числами \( E_{n}=(n+1 / 2) \omega \), где \( n=0,1,2, \ldots \), т. е. наблюдаемая \( H \) с дискретными численными значениями является суммой наблюдаемых с непрерывными значениями.

Таким образом, на множестве наблюдаемых \( \mathfrak{I} \) определены две операции: умножение на вещественные числа и сложение; тем самым множество \( \mathfrak{A} \) станозится линейным пространством. Поскольку на \( \mathfrak{A} \) определены вещественные функции и, в частности, квадрат наблюдаемой, то возникает естественное определение произведения наблюдаемых
\[
a \circ b=\frac{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4} .
\]

Отметим, что произведение \( a \circ b \) коммутативно, но, вообще говоря, не ассоциативно. Введение произведения \( a \circ b \) превращает множество наблюдаемых \( \mathfrak{A} \) в вещественную коммутативную алгебру.

Вспомним, что алгебра наблюдаемых классической механики содержала еще лиевскую операцию-скобка Пуассона \( \{f, g\} \). Эта операция появилась в связи с динамикой системы. C введением такой операции каждая наблюдаемая \( H \) порождает семейство автоморфизмов алгебры наблюдаемых:
\[
U_{t}: \mathfrak{X} \rightarrow \mathfrak{A},
\]

где \( U_{t} f=f_{t} ; f_{t} \) удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d f_{t}}{d t}=\left\{H, f_{t}\right\}
\]

и начальному условию
\[
\left.f_{t}\right|_{t=0}=f \text {. }
\]

Напомним, что отображение \( U_{t} \) является автоморфизмом вследствие того, что скобка Пуассона обладает свойствами

лиевской операции. Тот факт, что наблюдаемые в классической механике являются функциями на фазовом пространстве, здесь роли не играет. Мы предположим, что и алгебра наблюдаемых квантовой механики имеет лиевскую операцию, т. е. каждой паре наблюдаемых \( a, b \) сопоставляется наблюдаемая \( \{a, b\} \) со свойствами:
\[
\begin{array}{c}
\{a, b\}=-\{b, a\}, \\
\{\lambda a+b, c\}=\lambda\{a, c\}+\{b, c\}, \\
\{a, b \circ c\}=\{a, b\} \circ c+b \circ\{a, c\}, \\
\{a,\{b, c\}\}+\{b,\{c, a\}\}+\{c,\{a, b\}\}=0 .
\end{array}
\]

Кроме того, предположим, что связь лиевской операции с динамикой в квантовой механике такая же, как и в классической. Трудно представить более простой и красивый способ описания динамики, кроме того, однотипное описание динамики в классической и квантовой механике позволяет надеяться на то, что мы построим теорию, содержащую классическую механику как предельный случай.

Фактически все наши предположения сводятся к тому, что при построении квантовой механики разумно сохранить структуру алгебры наблюдаемых классической механики, но следует отказаться от реализации этой алгебры функциями на фазовом пространстве, так как мы допускаем существование неизмеримых одновременно наблюдаемых.

Наша ближайшая задача – убедиться в том, что существует реализация алгебры наблюдаемых, отличная от реализации классической механики. В следующем параграфе мы приведем пример такой реализации, построив конечномерную модель квантовой механики. В этой модели алгебра наблюдаемых \( \mathfrak{A} \) есть алгебра самосопряженных операторов в \( n \)-мерном комплексном пространстве \( \mathbf{C}^{n} \). Изучая эту упрощенную модель, мы сумеем проследить за основными особенностями квантовой теории. В то же время, дав физическое толкование построенной модели, мы увидим, что она слишком бедна, чтобы соответствовать действительности. Поэтому конечномерную модель нельзя рассматривать как окончательный вариант квантовой механики. Однако усовершенствование этой модели – замена \( \mathbf{C}^{n} \) на комплексное гильбертово пространство будет представляться весьма естественным.