Эгот раздел мы начнем с доказательства важной теоремы Лиувилля. Пусть \( \Omega \) — некоторая область фазового пространства \( \mathscr{M} \). Обозначим через \( \Omega(t) \) образ этой области под действием фазового потока, т. е. множество точек \( G_{t} \mu, \mu \in \Omega \). Пусть \( V(t) \) — объем области \( \Omega(t) \). Теорема Лиувилля утверждает, что
\[
\frac{d V(t)}{d t}=0 .
\]

Доказательство:
\[
V(t)=\int_{\Omega(t)} d \mu=\int_{\Omega}\left|\frac{D\left(G_{1} \mu\right)}{D(\mu)}\right| d \mu, \quad d \mu=d q d p .
\]

Здесь через \( D\left(G_{t} \mu\right) / D(\mu) \) обозначен определитель Якоби преобразования \( G_{t} \). Для доказательства теоремы достаточно показать, что
\[
\frac{D\left(G_{t^{\mu}}\right)}{D(\mu)}=1
\]

при всех \( t \). При \( t=0 \) равенство (1) очевидно. Покажем теперь, что
\[
\frac{d}{d t} \frac{D\left(G_{4} \mu\right)}{D(\mu)}=0
\]

При \( t=0 \) формула (2) проверяется непосредственно
\[
\begin{aligned}
\left.\frac{d}{d t} \frac{D\left(G_{t} \mu\right)}{D(\mu)}\right|_{t=0}=\left[\frac{D(\dot{q}, p)}{D(q, p)}\right. & \left.+\frac{D(q, \dot{p})}{D(c, p)}\right]\left.\right|_{t=0}= \\
& =\left.\left(\frac{\partial \dot{q}}{\partial q}+\frac{\partial \dot{p}}{\partial p}\right)\right|_{t=0}=\frac{\partial^{2} H}{\partial q \partial p}-\frac{\partial^{2} H}{\partial p \partial q}=0 .
\end{aligned}
\]

При \( t
eq 0 \), дифференцируя тождество
\[
\frac{D\left(G_{t+s} \mu\right)}{D(\mu)}=\frac{D\left(G_{t+s} \mu\right)}{D\left(G_{t} \mu\right)} \frac{D\left(\theta_{t} \mu\right)}{D(\mu)}
\]

по \( s \) и полагая \( s=0 \), получим
\[
\frac{d}{d t} \frac{D\left(G_{t} \mu\right)}{D(\mu)}=\left.\left[\frac{d}{d s} \frac{D\left(G_{s} G_{t} \mu\right)}{D\left(G_{t} \mu\right)}\right]\right|_{s=0} \frac{D\left(G_{t} \mu\right)}{D(\mu)}=0 .
\]

Таким образом, равенство (2) справедливо при всех \( t \). Теорема доказана.

Рассмотрим теперь эволюцию механической системы. Нас интересует зависимость от времени средних значений наблюдаемых \( \langle f \mid \omega\rangle \). Возможны два способа описания этой зависимости или две картины движения. Мы начнем с формулировки так называемой картины Гамильтона. В этой картине зависимость от времени наблюдаемых определяется уравнением \( (1.15) * \), а состояния от времени не зависят
\[
\frac{d f_{t}}{d t}=\left\{H, f_{t}\right\}, \quad \frac{d \rho}{d t}=0 .
\]

Среднее значение наблюдаемой \( f \) в состоянии \( \omega \) зависит от времени по формуле
\[
\left\langle f_{t} \mid \omega\right\rangle=\int_{\mathscr{H}} f_{t}(\mu) \rho(\mu) d \mu=\int_{\mathscr{M}} f\left(G_{t} \mu\right) \rho(\mu) d \mu
\]

или подробнее
\[
\left\langle f_{t} \mid \omega\right\rangle=\int_{\propto M} f\left(q\left(q_{0}, p_{0}, t\right), p\left(q_{0}, p_{0}, t\right)\right) \rho\left(q_{0}, p_{0}\right) d q_{0} d p_{0} .
\]
* При ссылке на формулу из предыдущих параграфов номер соответствующего параграфа вводится перед номером формулы,

Напомним, что \( q\left(q_{0}, p_{0}, t\right) \) и \( p\left(q_{0}, p_{0}, t\right) \) — решения уравнений Гамильтона с начальными условиями \( \left.q\right|_{t=0}=q_{0},\left.p\right|_{t=0}=p_{0} \).

Для чистого состояния \( \rho(q, p)=\delta\left(q-q_{0}\right) \delta\left(p-p_{0}\right) \), и из формулы (4) следует, что
\[
\left\langle f_{t} \mid \omega\right\rangle=f\left(q\left(q_{0}, p_{0}, t\right), p\left(q_{0}, p_{0}, t\right)\right) .
\]

Это обычная формула классической механики для зависимости от времени наблюдаемой в чистом состоянии *. Из формулы (4) ясно, что состояние в картине Гамильтона определяет вероятностное распределение начальных значений \( q \) и \( p \).

Альтернативный способ описания движения получится, если в (3) сделать замену переменных \( G_{t} \mu \rightarrow \mu \). Тогда
\[
\begin{aligned}
\int_{\mathscr{M}} f\left(G_{t} \mu\right) \rho(\mu) d \mu=\int_{\mathscr{M}} f(\mu) \rho\left(G_{-t} \mu\right)\left|\frac{D\left(G_{-t} \mu\right)}{D(\mu)}\right| d \mu= \\
\quad=\int_{\mathscr{M}} f(\mu) \rho_{t}(\mu) d \mu=\left\langle f \mid \omega_{t}\right\rangle .
\end{aligned}
\]

Здесь использовано равенство (1) и введено обозначение \( \rho_{t}(\mu)=\rho\left(G_{-t} \mu\right) \). Нетрудно понять, что \( \rho_{t}(\mu) \) удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d \rho_{t}}{d \mu}=-\left\{H, \rho_{t}\right\}
\]

которое отличается от (1.15) знаком перед скобкой Пуассона. Вывод уравнения (5) буквально повторяет вывод уравнения (1.15), а разница в знаке возникает за счет того, что \( G_{-t} \mu \) удовлетворяет уравнениям Гамильтона с обращенным временем. Қартина движения, в которой зависимость от времени состояний определяется уравнением (5), а наблюдаемые от времени не зависят, называется картиной Лиувилля:
\[
\frac{d f}{d t}=0, \quad \frac{d \rho_{t}}{d t}=-\left\{H, \rho_{t}\right\} .
\]

Уравнение (5) называется уравнением Лиувилля. Из самого способа введения картины Лиувилля очевидно, что
\[
\left\langle f_{t} \mid \omega\right\rangle=\left\langle f \mid \omega_{t}\right\rangle .
\]

Эта формула выражает эквивалентность двух картин движения. Средние значения наблюдаемых зависят от времени одинаково, а разница между картинами только в способе описания этой зависимости. Заметим, что в статистической физике обычно используется картина Лиувилля.
* В курсах механики обычно рассматриваются только чистые состояния. При этом не делается различия между зависимостью от времени абстрактной наблюдаемой в картине Гамильтона и изменением ее среднего значения.