В классической механике гармоническим осциллятором называется система с функцией Гамильтона
$$H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2}{2}{q}^2.$$

Параметр имеет смысл частоты колебаний.
Оператор Шредингера соответствующей квантовомеханической системы имеет вид
$$H=\frac{p^2}{2}+\frac{{\omega }^2{Q}^2}{2}.$$

Мы используем систему единиц, в которой $m=1,h=1$. Наша задача найти собственные векторы и собственные значения оператора $H$. Мы решим эту задачу, используя только перестановочные соотношения Гейзенберга для операторов $P$ и $Q$ и не переходя к конкретному представлению. Для этого введем операторы
$$\begin{array}{l}a=\frac{1}{\sqrt{2\omega }}(\omega Q+iP),\\ a^{\ast }=\frac{1}{\sqrt{2\omega }}(\omega Q-iP).\end{array}$$

Используя соотношение Гейзенберга
$$[Q,P]=i\text{, }$$

получим
$$\begin{array}{c}\omega a{a}^{\ast }=\frac{1}{2}({\omega }^2{Q}^2+P^2)+\frac{i\omega }{2}(-QP+PQ)=H+\frac{\omega }{2},\\ \omega a^{\ast }a=\frac{1}{2}({\omega }^2{Q}^2+P^2)+\frac{i\omega }{2}(QP-PQ)=H-\frac{\omega }{2}\end{array}$$

или
$$\begin{array}{l}H=\omega a{a}^{\ast }-\frac{\omega }{2},\\ H=\omega a^{\ast }a+\frac{\omega }{2}.\end{array}$$

Из (4) и (5) сразу находим перестановочное соотношение для операторов $a$ и $a^{\ast }$
$$[a,a^{\ast }]=1.$$

Из (6) легко проверяется по индукции, что
$$[a,{\left(a^{\ast }\right)}^n]=n{\left(a^{\ast }\right)}^{n-1}.$$

Наконец, нам потребуются перестановочные соотношения операторов $a$ и $a^{\ast }$ с $H$. Для вычисления коммутатора $[H,a]$ достаточно умножить формулу (4) на $a$ справа, (5) на $a$ слева и найти разность полученных выражений

Аналогично
$$[H,a]=-\omega a.$$
$$[H,a^{\ast }]=\omega a^{\ast }.$$

Перейдем теперь к изучению спектра оператора $H$. Предположим, что существует хотя бы одно собственное значение $E$ оператора $H$. Соответствующий собственный вектор мы обозначим через ${\psi }_E$. Покажем, что собственные значения $E$ ограничены снизу. Вектор ${\psi }_E$ по условию удовлетворяет уравнению $H{\psi }_E=E{\psi }_E$, которое может быть с учетом (5) переписано в виде
$$(\omega a^{\ast }a+\frac{\omega }{2}){\psi }_E=E{\psi }_E.$$

Умножая это равенство слева на ${\psi }_E$, получим
$$\omega {\Vert a{\psi }_E\Vert }^2+\frac{\omega }{2}{\Vert {\psi }_E\Vert }^2=E{\Vert {\psi }_E\Vert }^2,$$

откуда сразу следует, что $E⩾\omega /2$, причем знак равенства возможен только при условии $a{\psi }_E=0$. Из выражения (5) для $H$ видно, что если некоторый вектор $\psi$ удовлетворяет условию $a\psi =0$, то он является собственным вектором оператора $H$, соответствующим собственному значению $\omega /2$.

Покажем, каким образом можно по произвольному собственному вектору ${\psi }_E$ построить новые собственные векторы. Подсчитаем выражение $Ha{\psi }_E$, используя (8):
$$Ha{\psi }_E=aH{\psi }_E-\omega a{\psi }_E=(E-\omega )a{\psi }_E.$$

Из последнего соотношения видно, что либо аче является собственным вектором, соответствующим собственному значению $E-\omega$, либо $a{\psi }_E=0$. Если $a{\psi }_{E}eq0$, то вектор $a^2{\psi }_E$ либо собственный с собственным значением $E-2\omega$, либо $a^2{\psi }_E=0$. Таким образом, по произвольному собственному вектору ${\psi }_E$ может быть построена последовательность собственных векторов ${\psi }_E$, $a{\psi }_E,\dots ,a^N{\psi }_E$, соответствующих собственным значениям $E$, $E-\omega ,\dots ,E-N\omega$. Эта последовательность, однако, не может быть бесконечной, так как собственные значения оператора $H$ ограничены снизу числом $\omega /2$. Поэтому существует такое $N⩾0$, что $a^N{\psi }_{E}eq0,a^{N+1}{\psi }_E=0$. Обозначим вектор $a^N{\psi }_E$ через ${\psi }_0$. Этот вектор удовлетворяет уравнениям
$$a{\psi }_0=0,H{\psi }_0=\frac{\omega }{2}{\psi }_0.$$

Мы видим, что предположение о существовании хотя бы одного собственного вектора ${\psi }_E$ эквивалентно предположению о существовании вектора ${\psi }_0$, удовлетворяющего (10). Вектор ${\psi }_0$ описывает основное состояние осциллятора, т. е. состояние с наименьшей энергией $\omega /2$.

Посмотрим, как действует оператор $a^{\ast }$ на собственные векторы оператора $H$. Используя (9), получим
$$H{a}^{\ast }{\psi }_E=a^{\ast }H{\psi }_E+\omega a^{\ast }{\psi }_E=(E+\omega )a^{\ast }{\psi }_E.$$

Обратим внимание на то, что $a^{\ast }{\psi }_E$ не может быть нулевым вектором. Действительно, из выражения (4) для оператора $H$ видно, что вектор, удовлетворяющий уравнению $a^{\ast }\psi =0$, является собственным вектором $H$ с собственным значением $-\omega /2$, что невозможно, так как $E⩾\omega /2$. Поэтому из (11) следует, что $a^{\ast }{\psi }_E$ является собственным вектором оператора $H$ с собственным значением $(E+\omega )$. Аналогично ${\left(a^{\ast }\right)}^2{\psi }_E$ — собственный вектор с собственным значением $(E+2\omega )$. Начиная такое построение с вектора ${\psi }_0$, иы получим бесконечную последовательность собственных векторов ${\psi }_0,a^{\ast }{\psi }_0,\dots ,{\left(a^{\ast }\right)}^n{\psi }_0,\dots$, соответствующих собственным значениям $\omega /2,\omega /2+\omega ,\dots$ $\dots ,(n+1/2)\omega ,\dots$ Пусть вектор ${\psi }_0$ нормирован $\Vert {\psi }_0\Vert =1$. Вычислим норму вектора ${\left(a^{\ast }\right)}^n{\psi }_0$
$$\begin{array}{l}{\Vert {\left(a^{\ast }\right)}^n{\psi }_0\Vert }^2=({\left(a^{\ast }\right)}^n{\psi }_0,{\left(a^{\ast }\right)}^n{\psi }_0)=({\psi }_0,a^{n-1}{\left(a^{\ast }\right)}^{n}a{\psi }_0)+\\ +n({\psi }_0,a^{n-1}{\left(a^{\ast }\right)}^{n-1}{\psi }_0)=n{\Vert {\left(a^{\ast }\right)}^{n-1}{\psi }_0\Vert }^2=\dots =n!{\Vert {\psi }_0\Vert }^2=n!\dots \end{array}$$

При вычислении использовалось перестановочное соотношение (7) и равенство (10).

Таким образом, последовательность нормированных собственных векторов оператора $H$ можно задать формулой
$${\psi }_n=\frac{1}{\sqrt{nl}}{\left(a^{\ast }\right)}^n{\psi }_0,n=0,1,2,\dots$$

Ортогональность векторов ${\psi }_n$, соответствующих различным собственным значениям, следует из общих соображений, но может быть проверена и непосредственно
$$({\psi }_k,{\psi }_n)=\frac{1}{\sqrt{n!k!}}({\psi }_0,a^k{\left(a^{\ast }\right)}^n{\psi }_0)=0\text{ при }keqn.$$

Последнее равенство получается из формул (7) и (10).
Обсудим теперь вопрос о единственности вектора ${\psi }_0$. Натянем на ортонормированную систему векторов ${\psi }_n$ гильбертово пространство $\mathcal{H}$. Элементы $\phi \in \mathcal{H}$ имеют вид

В этом пространстве мы получим реализацию перестановочных соотношений Гейзенберга, если положить в соответствии с (2)
$$Q=\frac{a+a^{\ast }}{\sqrt{2\omega }},P=\frac{\sqrt{\omega }(a-a^{\ast })}{i\sqrt{2}}.$$

Соотношение (3) тогда является следствием формулы (6). Пространство $\mathcal{H}$ инвариантно относительно действия операторов $P$ и $Q$ (точнее, относительно ограниченных функций $f(P)$ и $F(Q)$, например, $U(u{)}^{\prime }$ и $V(v))$ и не содержит подпространств, обладающих тем же свойством. Поэтому представление операторов $Q$ и $P$ формулами (14) в $\mathcal{H}$ неприводимо.

Если в некотором представлении существует два вектора ${\psi }_0$ и ${\psi }_0^{\prime }$, удовлетворяющих уравнению (10), то наряду с $\mathcal{H}$ может быть аналогично построено пространство ${\mathcal{H}}^{\prime }$ по вектору ${\psi }_0^{\prime }$. Это пространство будет инвариантным относительно $P$ и $Q$, т. е. представление, в котором существует более одного решения уравнения (10), будет приводимым.