В классической механике гармоническим осциллятором называется система с функцией Гамильтона
\[
H(p, q)=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{m \omega^{2}}{2} q^{2} .
\]

Параметр \( \omega>0 \) имеет смысл частоты колебаний.
Оператор Шредингера соответствующей квантовомеханической системы имеет вид
\[
H=\frac{p^{2}}{2}+\frac{\omega^{2} Q^{2}}{2} .
\]

Мы используем систему единиц, в которой \( m=1, h=1 \). Наша задача найти собственные векторы и собственные значения оператора \( H \). Мы решим эту задачу, используя только перестановочные соотношения Гейзенберга для операторов \( P \) и \( Q \) и не переходя к конкретному представлению. Для этого введем операторы
\[
\begin{array}{l}
a=\frac{1}{\sqrt{2 \omega}}(\omega Q+i P), \\
a^{*}=\frac{1}{\sqrt{2 \omega}}(\omega Q-i P) .
\end{array}
\]

Используя соотношение Гейзенберга
\[
[Q, P]=i \text {, }
\]

получим
\[
\begin{array}{c}
\omega a a^{*}=\frac{1}{2}\left(\omega^{2} Q^{2}+P^{2}\right)+\frac{i \omega}{2}(-Q P+P Q)=H+\frac{\omega}{2}, \\
\omega a^{*} a=\frac{1}{2}\left(\omega^{2} Q^{2}+P^{2}\right)+\frac{i \omega}{2}(Q P-P Q)=H-\frac{\omega}{2}
\end{array}
\]

или
\[
\begin{array}{l}
H=\omega a a^{*}-\frac{\omega}{2}, \\
H=\omega a^{*} a+\frac{\omega}{2} .
\end{array}
\]

Из (4) и (5) сразу находим перестановочное соотношение для операторов \( a \) и \( a^{*} \)
\[
\left[a, a^{*}\right]=1 .
\]

Из (6) легко проверяется по индукции, что
\[
\left[a,\left(a^{*}\right)^{n}\right]=n\left(a^{*}\right)^{n-1} .
\]

Наконец, нам потребуются перестановочные соотношения операторов \( a \) и \( a^{*} \) с \( H \). Для вычисления коммутатора \( [H, a] \) достаточно умножить формулу (4) на \( a \) справа, (5) на \( a \) слева и найти разность полученных выражений

Аналогично
\[
[H, a]=-\omega a .
\]
\[
\left[H, a^{*}\right]=\omega a^{*} .
\]

Перейдем теперь к изучению спектра оператора \( H \). Предположим, что существует хотя бы одно собственное значение \( E \) оператора \( H \). Соответствующий собственный вектор мы обозначим через \( \psi_{E} \). Покажем, что собственные значения \( E \) ограничены снизу. Вектор \( \psi_{E} \) по условию удовлетворяет уравнению \( H \psi_{E}=E \psi_{E} \), которое может быть с учетом (5) переписано в виде
\[
\left(\omega a^{*} a+\frac{\omega}{2}\right) \psi_{E}=E \psi_{E} .
\]

Умножая это равенство слева на \( \psi_{E} \), получим
\[
\omega\left\|a \psi_{E}\right\|^{2}+\frac{\omega}{2}\left\|\psi_{E}\right\|^{2}=E\left\|\psi_{E}\right\|^{2},
\]

откуда сразу следует, что \( E \geqslant \omega / 2 \), причем знак равенства возможен только при условии \( a \psi_{E}=0 \). Из выражения (5) для \( H \) видно, что если некоторый вектор \( \psi \) удовлетворяет условию \( a \psi=0 \), то он является собственным вектором оператора \( H \), соответствующим собственному значению \( \omega / 2 \).

Покажем, каким образом можно по произвольному собственному вектору \( \psi_{E} \) построить новые собственные векторы. Подсчитаем выражение \( H a \psi_{E} \), используя (8):
\[
H a \psi_{E}=a H \psi_{E}-\omega a \psi_{E}=(E-\omega) a \psi_{E} .
\]

Из последнего соотношения видно, что либо аче является собственным вектором, соответствующим собственному значению \( E-\omega \), либо \( a \psi_{E}=0 \). Если \( a \psi_{E}
eq 0 \), то вектор \( a^{2} \psi_{E} \) либо собственный с собственным значением \( E-2 \omega \), либо \( a^{2} \psi_{E}=0 \). Таким образом, по произвольному собственному вектору \( \psi_{E} \) может быть построена последовательность собственных векторов \( \psi_{E} \), \( a \psi_{E}, \ldots, a^{N} \psi_{E} \), соответствующих собственным значениям \( E \), \( E-\omega, \ldots, E-N \omega \). Эта последовательность, однако, не может быть бесконечной, так как собственные значения оператора \( H \) ограничены снизу числом \( \omega / 2 \). Поэтому существует такое \( N \geqslant 0 \), что \( a^{N} \psi_{E}
eq 0, a^{N+1} \psi_{E}=0 \). Обозначим вектор \( a^{N} \psi_{E} \) через \( \psi_{0} \). Этот вектор удовлетворяет уравнениям
\[
a \psi_{0}=0, \quad H \psi_{0}=\frac{\omega}{2} \psi_{0} .
\]

Мы видим, что предположение о существовании хотя бы одного собственного вектора \( \psi_{E} \) эквивалентно предположению о существовании вектора \( \psi_{0} \), удовлетворяющего (10). Вектор \( \psi_{0} \) описывает основное состояние осциллятора, т. е. состояние с наименьшей энергией \( \omega / 2 \).

Посмотрим, как действует оператор \( a^{*} \) на собственные векторы оператора \( H \). Используя (9), получим
\[
H a^{*} \psi_{E}=a^{*} H \psi_{E}+\omega a^{*} \psi_{E}=(E+\omega) a^{*} \psi_{E} .
\]

Обратим внимание на то, что \( a^{*} \psi_{E} \) не может быть нулевым вектором. Действительно, из выражения (4) для оператора \( H \) видно, что вектор, удовлетворяющий уравнению \( a^{*} \psi=0 \), является собственным вектором \( H \) с собственным значением \( -\omega / 2 \), что невозможно, так как \( E \geqslant \omega / 2 \). Поэтому из (11) следует, что \( a^{*} \psi_{E} \) является собственным вектором оператора \( H \) с собственным значением \( (E+\omega) \). Аналогично \( \left(a^{*}\right)^{2} \psi_{E} \) – собственный вектор с собственным значением \( (E+2 \omega) \). Начиная такое построение с вектора \( \psi_{0} \), иы получим бесконечную последовательность собственных векторов \( \psi_{0}, a^{*} \psi_{0}, \ldots,\left(a^{*}\right)^{n} \psi_{0}, \ldots \), соответствующих собственным значениям \( \omega / 2, \omega / 2+\omega, \ldots \) \( \ldots,(n+1 / 2) \omega, \ldots \) Пусть вектор \( \psi_{0} \) нормирован \( \left\|\psi_{0}\right\|=1 \). Вычислим норму вектора \( \left(a^{*}\right)^{n} \psi_{0} \)
\[
\begin{array}{l}
\left\|\left(a^{*}\right)^{n} \psi_{0}\right\|^{2}=\left(\left(a^{*}\right)^{n} \psi_{0},\left(a^{*}\right)^{n} \psi_{0}\right)=\left(\psi_{0}, a^{n-1}\left(a^{*}\right)^{n} a \psi_{0}\right)+ \\
\quad+n\left(\psi_{0}, a^{n-1}\left(a^{*}\right)^{n-1} \psi_{0}\right)=n\left\|\left(a^{*}\right)^{n-1} \psi_{0}\right\|^{2}=\ldots=n !\left\|\psi_{0}\right\|^{2}=n ! \ldots
\end{array}
\]

При вычислении использовалось перестановочное соотношение (7) и равенство (10).

Таким образом, последовательность нормированных собственных векторов оператора \( H \) можно задать формулой
\[
\psi_{n}=\frac{1}{\sqrt{n l}}\left(a^{*}\right)^{n} \psi_{0}, n=0,1,2, \ldots
\]

Ортогональность векторов \( \psi_{n} \), соответствующих различным собственным значениям, следует из общих соображений, но может быть проверена и непосредственно
\[
\left(\psi_{k}, \psi_{n}\right)=\frac{1}{\sqrt{n ! k !}}\left(\psi_{0}, a^{k}\left(a^{*}\right)^{n} \psi_{0}\right)=0 \text { при } k
eq n .
\]

Последнее равенство получается из формул (7) и (10).
Обсудим теперь вопрос о единственности вектора \( \psi_{0} \). Натянем на ортонормированную систему векторов \( \psi_{n} \) гильбертово пространство \( \mathscr{H} \). Элементы \( \varphi \in \mathscr{H} \) имеют вид
\[
\varphi=\sum_{n} C_{n} \frac{\left(a^{*}\right)^{n}}{\sqrt{n !}} \psi_{0}, \quad \sum_{n}\left|C_{n}\right|^{2}<\infty .
\]

В этом пространстве мы получим реализацию перестановочных соотношений Гейзенберга, если положить в соответствии с (2)
\[
Q=\frac{a+a^{*}}{\sqrt{2 \omega}}, P=\frac{\sqrt{\omega}\left(a-a^{*}\right)}{i \sqrt{2}} .
\]

Соотношение (3) тогда является следствием формулы (6). Пространство \( \mathscr{H} \) инвариантно относительно действия операторов \( P \) и \( Q \) (точнее, относительно ограниченных функций \( f(P) \) и \( F(Q) \), например, \( U(u)^{\prime} \) и \( \left.V(v)\right) \) и не содержит подпространств, обладающих тем же свойством. Поэтому представление операторов \( Q \) и \( P \) формулами (14) в \( \mathscr{H} \) неприводимо.

Если в некотором представлении существует два вектора \( \psi_{0} \) и \( \psi_{0}^{\prime} \), удовлетворяющих уравнению (10), то наряду с \( \mathscr{H} \) может быть аналогично построено пространство \( \mathscr{H}^{\prime} \) по вектору \( \psi_{0}^{\prime} \). Это пространство будет инвариантным относительно \( P \) и \( Q \), т. е. представление, в котором существует более одного решения уравнения (10), будет приводимым.