Построим с помощью функции \( \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \) решение нестационарного уравнения Шредингера
\[
i \frac{\partial \psi(\mathbf{x}, t)}{\partial t}=H \psi(\mathbf{x}, t)
\]
вида
\[
\psi(\mathbf{x}, t)=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} C(\mathbf{k}) \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) e^{-i k^{2} t} d \mathbf{k} .
\]

Если функция \( C(\mathbf{k}) \) удовлетворяет условию
\[
\int_{\mathbf{R}^{\prime}}|C(\mathbf{k})|^{2} d \mathbf{k}=1
\]

то \( \psi(\mathbf{x}, t) \) вследствие (39.13) имеет правильную нормировку
\[
\int_{\mathbf{R}^{2}}|\psi(\mathbf{x}, t)|^{2} d \mathbf{x}=1 .
\]

Как и в одномерном случае, разумно рассмотреть решение с функцией \( C(\mathrm{k}) \), сосредоточенной в малой окрестности точки \( \mathbf{k}_{0}=k_{0} \omega_{0} \). По теореме Римана – Лебега при \( |t| \rightarrow \infty \boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}, t) \rightarrow 0 \) и \( \int_{\Omega}|\Psi(\mathbf{x}, t)|^{2} d \mathbf{x} \rightarrow 0 \) для любой конечной области \( \Omega \). . Поэтому функция \( \psi(\mathbf{x}, t) \) описывает инфинитное движение частицы. Нас интересует поведение этого решения при \( |t| \rightarrow \infty \) и \( r \rightarrow \infty \) и мы можем заменить \( \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \) в формуле (1) ее асимптотическим выражением
\[
\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}, \mathbf{k})=\frac{2 \pi i}{k}\left(\frac{e^{-i k_{r}}}{r} \delta(\mathbf{n}+\boldsymbol{\omega})-\frac{e^{i k_{r}}}{r} S(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega})\right)+o\left(\frac{1}{r}\right) .
\]

При \( r \rightarrow \infty \) имеем
\( \psi(\mathbf{x}, t) \cong\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} k^{2} d k \int_{S_{2}} d \boldsymbol{\omega} C(k, \boldsymbol{\omega}) \frac{2 \pi i}{k}\left(\frac{e^{-i k r}}{r} \delta(\mathbf{n}+\mathbf{0})-\right. \)
\[
\left.-\frac{e^{i k r}}{r} S\left(k_{i} \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}\right)\right) e^{-i k^{2} t}=\psi_{1}(\mathbf{x}, t)+\psi_{2}(\mathbf{x}, t),
\]
где \( \psi_{1}(\mathbf{x}, t) \) и \( \psi_{2}(\mathbf{x}, t) \) соответствуют сходящейся \( e^{-i k r} / r \) и расходящейся \( e^{i k r} / r \) волне в асимптотике.
Функция \( \psi_{1}(\mathrm{x}, t) \) может быть переписана в виде
\[
\psi_{1}(\mathbf{x}, t)=\frac{i}{r \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} k C(k,-\mathbf{n}) e^{-i k r} e^{-i k^{2} t} d k
\]
(мы распространили интегрирование на всю вещественную ось, положив \( C(k, \mathbf{n})=0 \) при \( k<0 \) ). Вычисляя интеграл (3) методом стационарной фазы, получим
\[
\psi_{1}(\mathbf{x}, t)=\left(\frac{1}{|2 t|}\right)^{\frac{3}{2}} C\left(-\frac{r}{2 t},-\mathbf{n}\right) e^{i \chi}+O\left(\frac{1}{|t|^{2}}\right) ;
\]
через \( \chi \), как всегда, обозначена вещественная функция, которая нас не интересует.
Для того чтобы вычислить \( \psi_{2}(\mathrm{x}, t) \), используем формулу (39.6) для функции \( S \)
\[
\begin{array}{l}
\Psi_{2}(\mathbf{x}, t)=-\frac{1}{r \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} k d k \int_{S_{2}} d \boldsymbol{\omega} C(k, \boldsymbol{\omega})[\delta(\mathbf{n}-\boldsymbol{\omega})+ \\
\left.+\frac{i k}{2 \pi} f(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega})\right] e^{i k r} e^{-i k^{2} t}=-\frac{i}{r \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} k d k[C(k, \mathbf{n})+ \\
+\left.\frac{i k}{2 \pi} C_{1}(k) f\left(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}_{0}\right)\right] e^{i\left(k r-k^{2} t\right)}
\end{array}
\]

Здесь мы ввели обозначение \( C_{1}(k)=\int_{S_{2}} C(k, \omega) d \omega \) и, учитывая \( \delta \)-образность функции \( C(k, \omega) \), заменили функцию \( f(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}) \) ее значением в точке \( \boldsymbol{\omega}=\omega_{0} \). Интеграл в (5) вычисляется методом стационарной фазы
\[
\begin{aligned}
\psi_{2}(\mathbf{x}, t)=\left(\frac{1}{|2 t|}\right)^{\frac{3}{2}}[C & \left(\frac{r}{2 t}, \mathbf{n}\right)+ \\
& \left.+\frac{i r}{4 \pi t} C_{1}\left(\frac{r}{2 i}\right) f\left(\frac{r}{2 t}, \mathbf{n}, \omega_{0}\right)\right] e^{i \chi_{1}}+O\left(\frac{1}{|t|^{2}}\right) .
\end{aligned}
\]

Наконец, учитывая \( \delta \)-образность функции \( C_{1}(k) \) (она сосредоточена в окрестности точки \( k_{0} \) ), получим
\[
\begin{array}{l}
\psi_{2}(\mathbf{x}, t)=\left(\frac{1}{|2 t|}\right)^{\frac{3}{2}} {\left[C\left(\frac{r}{2 t}, \mathbf{n}\right)+\right.} \\
\left.+\frac{i k_{0}}{2 \pi} C_{1}\left(\frac{r}{2 t}\right) f\left(k_{0}, \mathbf{n}, \omega_{0}\right)\right] e^{i \chi_{1}}+O\left(\frac{1}{|t|^{2}}\right) .
\end{array}
\]

Из формул (4) и (6) видно, что \( \psi_{1} \) дает вклад в \( \psi(x, t) \) только при \( t \rightarrow-\infty \), а \( \psi_{2} \) – только при \( t \rightarrow+\infty \). Для плотности функции распределения координат \( |\psi(\mathbf{x}, t)|^{2} \) имеем
\[
\begin{array}{c}
|\psi(\mathbf{x}, t)|^{2} \cong \frac{1}{8|t|^{3}}\left|C\left(-\frac{r}{2 t},-\mathbf{n}\right)\right|^{2}, \quad t \rightarrow-\infty, \\
|\psi(\mathbf{x}, t)|^{2} \cong \frac{1}{8|t|^{3}}\left[\left|C\left(\frac{r}{2 t}, \mathbf{n}\right)\right|^{2}-\frac{k_{0}}{\pi} \operatorname{Im} C_{1}\left(\frac{r}{2 t}\right) C\left(\frac{r}{2 t}, \mathbf{n}\right) \times\right. \\
\left.\times f\left(k_{0}, \mathbf{n}, \omega_{0}\right)+\frac{k_{0}^{2}}{4 \pi^{2}}\left|C_{1}\left(\frac{r}{2 t}\right)\right|^{2} \right\rvert\, \hat{\dagger}\left(k_{0}, \mathbf{n},\left.\omega_{0}\right|^{2}\right], \quad t \rightarrow+\infty
\end{array}
\]

Из формул (7) и (8) следует что полученные асимптотические выражения для \( \psi(\mathbf{x}, t) \) имеют правильную нормировку при \( t \rightarrow \pm \infty \). (Проверка этого утверждения для случая \( t \rightarrow-\infty \) тривиальна, а в случае \( t \rightarrow+\infty \) следует использовать формулу (39.12).)

Вспоминая, что \( C(k, \omega) \) отлична от нуля только в малой окрестности точки \( k_{0} \omega_{0} \), а \( C_{1}(k) \) – в малой окрестности точки \( k_{0} \),
мы видим, что при \( t \rightarrow-\infty \) плотность функции распределения координат \( |\psi(\mathbf{x}, t)|^{2} \) отлична от нуля в окрестности точки \( r=-2 k_{0} t, \mathbf{n}=-\boldsymbol{\omega}_{0} \). При \( t \rightarrow+\infty \) плотность \( |\psi(\mathbf{x}, t)|^{2} \) отлична от нуля внутри тонкого сферического слоя радиуса \( r=2 k_{0} t \). Угловое распределение вероятности можно получить *, проинтегрировав (8) по переменной \( r \) с весом \( r^{2} \). Ясно, что первые два слагаемых в (8) дают вклад в это распределение только при направлениях, близких к \( \boldsymbol{\omega}_{0} \). Угловое распределение по всем остальным направлениям пропорционально \( \left|f\left(k_{0}, \mathbf{n}, \omega_{0}\right)\right|^{2} \).

Теперь мы легко можем представить, как происходит движение частицы в состоянии, описываемом функцией \( \psi(\mathbf{x}, t) \). Задолго до рассеяния \( \left(t \rightarrow-\infty\right. \) ) частица со скоростью \( 2 k_{0} \)
Рис. 14.

приближается к рассеивающему центру, двигаясь по направлению \( \boldsymbol{\omega}_{0} \). После рассеяния ( \( t \rightarrow+\infty \) ) частица удаляется от рассеивающего центра с той же скоростью, причем она может быть обнаружена в любой точке сферического слоя радиуса \( r=2 k_{0} t \) с вероятностным распределением по углам, зависящем от \( C(\mathbf{k}) \) и \( f\left(k_{0}, \mathbf{n}, \omega_{0}\right) \). На рис. 14 заштрихованы области, в которых велика вероятность обнаружить частицу при \( t \rightarrow \pm \infty \). Крест-накрест заштрихованы области, в которых эта вероятность отлична от нуля и при отсутствии рассеивающего центра.

Три слагаемых в формуле (8) допускают следующее толкование. Интеграл по всему пространству от суммы первых двух слагаемых \( W_{1} \) есть вероятность того, что частица пройдет мимо
* Мы не выписываем точных формул для углового распределения вероятности, так как оно существенно зависит от вида функции \( C(\mathrm{k}) \) и поэтому не является удобной характеристикой процесса рассеяния (функция \( C(\mathbf{k}) \), соответствующая конкретному эксперименту по рассеянию, никогда не известна). Подходящей характеристикой является сечение. Қак мы увидим, сечение оказывается нечувствительным к виду \( C(\mathrm{k}) \), важно только, чтобы эта функция была сосредоточена в малой окрестности точки \( \mathbf{k}_{0} \). Физически это требование означает, что импульс налетающей частицы должен быть почти задан.
силового центра без рассеяния. Эта вероятность меньше единицы за счет второго слагаемого. Интеграл от третьего слагаемого \( W_{2} \) есть вероятность рассеяния. Мы уже упоминали, что асимптотическое выражение (6) для \( \psi(\mathbf{x}, t) \) имеет правильную нормировку, поэтому
\[
W_{1}+W_{2}=1 .
\]

Мы видим, что решение уравнения Шредингера \( \psi(\mathbf{x}, t) \), построенное при помощи функции \( \psi(\mathbf{x}, \mathrm{k}) \), правильно описывает физическую картину рассеяния. Это оправдывает выбор асимптотического условия для функции \( \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \).

Отметим еще некоторые особенности решения \( \psi(\mathbf{x}, t) \). Нетрудно видеть, что при \( t \rightarrow-\infty \) эта функция имеет такую же асимптотику, как и решение уравнения Шредингера для свободной частицы
\[
\varphi(\mathbf{x}, t)=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} C(\mathbf{k}) e^{i\left(\mathbf{k x}-k^{2} t\right)} d \mathbf{k} .
\]
(Здесь \( C(\mathbf{k}) \) та же функция, что и в интеграле (1).) Действительно, расходящиеся волны \( e^{i k r} / r \) не дают вклада в асимптотику при \( t \rightarrow-\infty \), а коэффициенты при \( e^{-i k r} / r \) в асимптотическом выражении для функций \( e^{i \mathbf{k x}} \) и \( \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \) совпадают.

Покажем, что и при \( t \rightarrow+\infty \) решение \( \psi(\mathbf{x}, t) \) асимптотически стремится к некоторому решению уравнения Шредингера для свободной частицы. Учитывая, что при \( t \rightarrow+\infty \) сходящиеся волны \( e^{-i k r} / r \) не дают вклада в асимптотику, получим
\[
\begin{array}{l}
\psi(\mathbf{x}, t)=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} C(\mathbf{k}) \psi(\mathbf{x}, k) e^{-i k^{2} t} d \mathbf{k} \cong \\
\cong-\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} k^{2} d k \int_{S_{2}} d \omega C(k, \omega) \frac{2 \pi i}{k} S(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}) \frac{e^{i k r}}{r} e^{-i k^{2} t}= \\
=-\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} k^{2} d k \int_{S_{2}} d \omega \int_{S_{2}} d \omega^{\prime} \frac{2 \pi i}{k} S\left(k, \omega^{\prime}, \omega\right) C(k, \omega) \delta\left(\omega^{\prime}-\mathbf{n}\right) \times \\
\times \frac{e^{i k r}}{r} e^{-i k^{2 t}}=-\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} k^{2} d k \int_{S_{2}} d \omega^{\prime} \frac{2 \pi i}{k} \widetilde{C}\left(k, \omega^{\prime}\right) \delta\left(\omega^{\prime}-\mathbf{n}\right) \times \\
\quad \times \frac{e^{i k r}}{r} e^{-i k^{2} t} \cong\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{R^{3}} \tilde{C}(\mathbf{k}) e^{i\left(\mathbf{k x}-k^{2} t\right)} d \mathbf{k}=\tilde{\varphi}(\mathbf{x}, t) .
\end{array}
\]

Здесь
\[
\tilde{C}(\mathbf{k})=\widetilde{C}(k, \boldsymbol{\omega})=\int_{S_{\mathbf{i}}} S\left(k, \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega}^{\prime}\right) C\left(k, \boldsymbol{\omega}^{\prime}\right) d \boldsymbol{\omega}^{\prime} .
\]
Мы видим, что решение уравнения Шредингера \( \psi(\mathbf{x}, t) \) асимптотически стремится к решению \( \tilde{\varphi}(\mathbf{x}, t) \) для свободной частицы при \( t \rightarrow \infty \). Функция \( \widetilde{C}(\mathbf{k}) \), определяющая конечное состояние свободного движения, получается из функции \( C(\mathbf{k}) \), задаюшей начальное состояние, в результате действия оператора \( S \). Унитарность оператора \( S \) обеспечивает правильную нормировку \( \tilde{\varphi}(\mathbf{x}, t) \), так как вследствие унитарности
\[
\int_{\mathbf{R}^{3}}|\widetilde{C}(\mathbf{k})|^{2} d \mathbf{k}=1 .
\]