Рассмотрим множество функций комплексного переменного вида
\[
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} C_{n} \frac{z^{n}}{\sqrt{n !}}, \quad \sum_{n}\left|C_{n}\right|^{2}<\infty .
\]

Это множество функций \( \mathscr{D} \) становится гильбертовым пространством, если скалярное произведение определить формулой
\[
\left(f_{1}, f_{2}\right)=\frac{1}{\pi} \int f_{1}(z) \overline{f_{2}(z)} e^{-|z|^{2}} d \mu(z) .
\]

Интеграл берется по комплексной плоскости и \( d \mu(z)=d x d y \).
Проверим, что функции \( z^{n} / \sqrt{n !} \) образуют ортонормированный базис в \( \mathscr{D} \). Для этого вычислим интеграл
\[
I_{n m}=\int z^{n} \overline{z^{m}} e^{-|z|^{2}} d \mu(z)=\int_{0}^{\infty} \rho d \rho \int_{0}^{2 \pi} d \varphi \rho^{n+m} e^{i \varphi(n-m)} e^{-\rho^{2}} .
\]

При \( n
eq m I_{m n}=0 \) за счет интегрирования по \( \varphi \). При \( n=m \) имеем
\[
I_{n n}=2 \pi \int_{0}^{\infty} \rho^{2 n+1} e^{-\rho 2} d 0=\pi \int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-t} d t=\pi n !
\]
Произвольное состояние \( q \in \mathscr{H}, \quad \varphi=\sum_{n} C_{n} \frac{\left(a^{*}\right)^{n}}{\sqrt{n !}} \psi_{0} \) может быть представлено функцией \( f(z)=\sum_{n} C_{n} \frac{z^{n}}{\sqrt{n 1}}, \varphi \leftrightarrow f(z) \). Собственные векторы осциллятора \( \psi_{n} \) представляются базисными функциями \( z^{n} / \sqrt{n !} \).

Посмотрим, как действуют операторы \( a \) и \( a^{*} \) в таком представлении. Используя выкладки, которые привели нас к формулам (18.2) и (18.3), мы можем записать векторы \( a \varphi \) и \( a \varphi^{*} \) в виде
\[
a \varphi=\sum_{n} C_{n} \frac{n\left(a^{*}\right)^{n-1}}{\sqrt{n !}} \psi_{0}, \quad a^{*} \varphi=\sum_{n} C_{n} \frac{\left(a^{*}\right)^{n+1}}{\sqrt{n !}} \psi_{0} .
\]

Эти векторы представляются функциями
\[
\begin{array}{l}
a \varphi \leftrightarrow \sum_{n} C_{n} \frac{n z^{n-1}}{\sqrt{n !}}=\frac{d}{d z} f(z), \\
a^{*} \varphi \leftrightarrow \sum_{n} C_{n} \frac{z^{n+1}}{\sqrt{n !}}=z f(z),
\end{array}
\]
т. е. для операторов \( a \) и \( a^{*} \) мы получили представление
\[
a \leftrightarrow \frac{d}{d z}, \quad a^{*} \leftrightarrow z .
\]

Выпишем соответствующие формулы для операторов \( Q \), \( P \) и \( H \)
\[
\begin{array}{l}
Q \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2 \omega}}\left(\frac{d}{d z}+z\right), \\
P \leftrightarrow \frac{\sqrt{\omega}}{i \sqrt{2}}\left(\frac{d}{d z}-z\right), \\
H \leftrightarrow \omega\left(z \frac{d}{d z}+\frac{1}{2}\right) .
\end{array}
\]

Все основные соотношения \( \left(\left[a, a^{*}\right]=1,[Q, P]=i, H \psi_{n}=\right. \) \( \left.=\omega\left(n+\frac{1}{2}\right) \psi_{n}\right) \) могут быть легко проверены в таком представлении. Построенное представление может оказаться удоб. ным, если изучаемые наблюдаемые есть полиномы от \( Q \) и \( P \).