До сих пор мы считали, что электрон представляет собой материальную точку с массой \( m \) и зарядом – \( e \), т. е. является бесструктурной частицей, пространство состояний которой \( \mathscr{H} \) может быть реализовано, например, как пространство \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \) квадратично интегрируемых функций \( \psi(\mathbf{x}) \). На основе такого представления об электроне мы рассчитали энергетические уровни атома водорода и получили результаты, которые с большой степенью точности совпадают с экспериментальными. Тем не менее существуют эксперименты, которые показывают, что подобное описание электрона не является полным.

Мы уже упоминали об опытах Штерна и Герлаха. Эти опыты показали, что проекция на некоторое направление магнитного момента атома водорода в основном состоянии может принимать два значения. В § 34 мы постронли квантовую наблюдаемую «проекция магнитного момента» заряженной
бесструктурной частицы и видели, что третья проекция магнитного момента пропорциональна проекции момента импульса \( L_{3} \). Из расчета атома водорода мы знаем, что численное значение \( L_{3} \) для основного состояния есть нуль. Поэтому и магнитный момент атома в основном состоянии должен равняться нулю. Это противоречие может быть объяснено, если предположить, что сам электрон имеет магнитный и механический моменты, проекции которых на некоторое направление могут принимать два значения.

Собственный момент импульса электрона называют спином в отличие от момента, связанного с его движением в пространстве, который обычно называют орбитальным моментом.

Существование наблюдаемой, численные значения которой могут принимать два значения, приводит к необходимости считать, что электрон может находиться в двух различных внутренних состояниях, независимо от состояния его движения в пространстве. Это в свою очередь приводит к удвоению общего числа состояний электрона. Так, каждому состоянию электрона в атоме водорода (без учета спина) соответствует два состояния, различающихся проекцией спина на некоторое направление.

Если предположить, что не существует какого-либо дополнительного взаимодействия, связанного со спином, то кратность всех собственных значений энергии оказывается в два раза больше, чем для бесспиновой частицы. Если же такие взаимодействия существуют, то вырождения, связанные со спином, могут сниматься и произойдет расщепление энергетических уровней. Опыты показывают, что такое расщепление действительно имеет место.

В § 32 мы описали модель атомов щелочных металлов, основанную на предположении, что валентный электрон атома движется в центральном поле. Эта модель неплохо описывает расположение энергетических уровней атомов щелочных металлов, однако ни сама модель, ни какое-либо ее усовершенствование не могут объяснить наблюдаемое расщепление уровней при \( l
eq 0 \) на два близких. Гипотеза о спине позволяет легко объяснить это расщепление. В атомной физике существует еще множество явлений, которые находят свое объяснение на основе этой гипотезы. Мы увидим позже, что только удвоение числа состояний электрона, связанное со спином, позволяет объяснить длину периодов в таблице Менделеева.

Хотелось бы подчеркнуть, что гипотеза о спине электрона является гипотезой о природе конкретной элементарной частицы и не затрагивает общих принципов квантовой механики. Аппарат квантовой механики оказывается приспособленным для описания частицы со спином.

Мы начнем с построения пространства состояний для электрона. Без учета спина пространством состояний \( \mathscr{H} \) в коорди-
натном представлении является пространство \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \). Введение спина требует расширения пространства состояний, так как число состояний частицы со спином больше, чем у бесспиновой частицы.

Удвоения числа состояний без изменения физического содержания теории легко добиться, заменив пространство состояний \( \mathscr{H}=L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \) на \( \mathscr{H}_{s}=L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \otimes C^{2} \) и сопоставив каждой наблюдаемой \( A \) в \( \mathscr{H} \) наблюдаемую \( A \otimes I \) в \( \mathscr{H} s \).

Поясним это подробнее. Элементами пространства состояний частицы со спином являются пары функций
\[
\Psi=\left(\begin{array}{l}
\psi_{1}(\mathbf{x}) \\
\psi_{2}(\mathbf{x})
\end{array}\right) .
\]

Скалярное произведение в пространстве \( \mathscr{H}_{s} \) задается формулой
\[
(\Psi, \Phi)=\int_{\mathbf{R}^{3}} \psi_{1}(\mathbf{x}) \overline{\varphi_{1}(\mathbf{x})} d \mathbf{x}+\int_{\mathbf{R}^{3}} \psi_{2}(\mathbf{x}) \overline{\varphi_{2}(\mathbf{x})} d \mathbf{x} .
\]

Будем использовать для наблюдаемых \( A \otimes I \) в \( \mathscr{H}_{s} \) те же обозначения и названия, что и для наблюдаемых \( A \) в \( \mathscr{G} \). Так возникают операторы координат \( Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} \), операторы проекций импульса \( P_{1}, P_{2}, P_{3} \) и т. д., действующие в \( \mathscr{H}_{s} \). Например,
\[
P_{1} \Psi=P_{1}\left(\begin{array}{l}
\psi_{1}(\mathbf{x}) \\
\psi_{2}(\mathbf{x})
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
\frac{h}{i} \frac{\partial \psi_{1}(\mathbf{x})}{\partial x_{1}} \\
\frac{h}{i} \frac{\partial \psi_{2}(\mathbf{x})}{\partial x_{1}}
\end{array}\right) .
\]

Қаждому чистому состоянию \( \psi(\mathbf{x}) \) в \( \mathscr{C} \) теперь соответствует два ортогональных состояния в \( \mathscr{H}_{s} \)
\[
\Psi_{1}=\left(\begin{array}{c}
\psi(\mathbf{x}) \\
0
\end{array}\right), \quad \Psi_{2}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
\psi(\mathbf{x})
\end{array}\right)
\]
или любая их линейная комбинация. Ясно, что среднее значение любой наблюдаемой \( A \) в состоянии \( \psi \) будет равняться среднему значению наблюдаемой \( A \otimes I \) в состояниях \( \Psi_{1} \) и \( \Psi_{2} \). Таким образом, введя пространство \( \mathscr{H}_{s} \) и ограничиваясь рассмотрением наблюдаемых вида \( A \otimes I \), мы действительно добились удвоения числа состояний, сохранив все физические следствия теории.

В пространстве \( \mathscr{H}_{s} \), однако, наряду с наблюдаемыми \( A \otimes I \) существуют и другие наблюдаемые, например, вида \( I \otimes S \), где \( S \)-самосопряженный оператор в \( \mathbf{C}^{2} \). Разумеется, в \( \mathscr{C} s \) существуют наблюдаемые, не представимые в виде \( A \otimes I \) или \( I \otimes S \), например, суммы или произведения таких наблюдаемых.

Рассмотрим наблюдаемые типа \( I \otimes S \). Прежде всего очевидно, что любая такая наблюдаемая коммутирует с любой наблюдаемой \( A \otimes I \) и не является функцией от наблюдаемых такого типа. Поэтому в пространстве \( \mathscr{H}_{S} \) наблюдаемые \( Q_{1}, Q_{2} \),
\( Q_{3} \) не образуют полного набора коммутирующих наблюдаемых и мы должны будем дополнить этот набор до полного.

Любой самосопряженный оператор \( S \) в пространстве \( \mathbf{C}^{2} \) представим самосопряженной матрицей второго порядка и может быть выражен в виде линейной комбинации четырех независимых матриц. В качестве таких матриц удобно выбрать единичную матрицу \( I \) и матрицы Паули \( \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3} \) :
\[
I=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right), \quad \sigma_{1}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_{2}=\left(\begin{array}{rr}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_{3}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) .
\]

Свойства матриц Паули обсуждались в § 27. Матрицы \( S_{j}= \) \( =\sigma_{j} / 2, j=1,2,3 \) имеют перестановочные соотношения, такие же, как и для орбитального момента импульса
\[
\left[S_{1}, S_{2}\right]=i S_{3}, \quad\left[S_{2}, S_{3}\right]=i S_{1}, \quad\left[S_{3}, S_{1}\right]=i S_{2} .
\]

Мы видели, что перестановочные соотношения являются одним из наиболее важных свойств операторов момента импульса. Поэтому разумно отождествить операторы \( I \otimes \mathfrak{S}_{i}, j=1,2,3 \) с операторами проекций спина *. В дальнейшем эти операторы будем обозначать обычно через \( S_{j} \). Операторы \( S_{j} \) имеют собственные значения \( \pm 1 / 2 \), которые и являются допустимыми значениями проекций спина на некоторое направление **. Векторы \( \Psi_{1}=\left(\begin{array}{c}\psi(\mathbf{x}) \\ 0\end{array}\right) \) и \( \Psi_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ \psi(\mathbf{x})\end{array}\right) \) являются собственными векторами оператора \( S_{3} \) с собственными значениями \( +1 / 2 \) и \( -1 / 2 \). Поэтому эти векторы описывают состояния с определенным значением третьей проекции спина.

Для дальнейшего нам удобно изменить обозначения и вектор \( \Psi \in \mathscr{H}_{s} \) записывать в виде функции \( \Psi\left(\mathbf{x}, s_{3}\right) \), где \( \mathbf{x} \in \mathbf{R}^{3} \), a \( s_{3} \) принимает два значения \( +1 / 2 \) и \( -1 / 2 \). Такая запись эквивалентна (1), если положить
\[
\Psi\left(\mathbf{x}, \frac{1}{2}\right)=\psi_{1}(\mathbf{x}), \quad \Psi\left(\mathbf{x},-\frac{1}{2}\right)=\psi_{2}(\mathbf{x}) .
\]

Из равенства
\[
S_{3}\left(\begin{array}{l}
\psi_{1}(\mathbf{x}) \\
\psi_{2}(\mathbf{x})
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}
\frac{1}{2} \psi_{1}(\mathbf{x}) \\
-\frac{1}{2} \psi_{2}(\mathbf{x})
\end{array}\right)
\]
* Более глубокие соображения основаны на том факте, что для системы со сферически симметричным оператором Шредингера операторы \( L_{l}+S_{j} \) являются квантовыми интегралами движения. Этот вопрос мы обсудим позже.
** Bсе формулы мы записываем в системе единиц, в которой \( h=1 \). В обычной системе единиц операторы проекций спина имеют вид \( S_{i}=(h / 2) \sigma_{i} \). и допустимые численные значения этих проекций равны \( \pm h / 2 \). Заметим, что при переходе к классической механике \( h \rightarrow 0 \) и соответственно проекции спина стремятся к нулю. Поэтому спин является специфически квантовой наблюдаемой.
следует, что
\[
S_{3} \Psi\left(\mathbf{x}, s_{3}\right)=s_{3} \Psi\left(\mathbf{x}, s_{3}\right),
\]
т. е. оператор \( S_{3} \), так же, как и операторы \( Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} \), является оператором умножения на переменную. Мы видим, что построенное представление пространства состояний частицы со спином является собственным для операторов \( Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} \) и \( S_{3} \), а эти операторы образуют полный набор коммутирующих операторов в \( \mathscr{H}_{s} \).

Теперь легко понять физический смысл функций \( \Psi\left(\mathbf{x}, s_{3}\right) \). В соответствии с общим толкованием \( \left|\Psi\left(\mathbf{x}, s_{3}\right)\right|^{2} \) есть плотность функции распределения координат при условии, что третья проекция спина имеет значение \( s_{3} \), а \( \int_{\mathbf{R}^{3}}\left|\Psi\left(\mathbf{x}, s_{3}\right)\right|^{2} d x \) есть вероятность в результате измерения спина получить значение, равное \( s_{3} \).

Наряду с наблюдаемыми \( S_{1}, S_{2}, S_{3} \) можно ввести оператор квадрата спина \( S^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2} \). Подставляя в это выражение \( S_{j}=\frac{1}{2} \sigma_{j} \) и учитывая, что \( \sigma_{j}^{2}=I \), получим \( S^{2}=\frac{3}{4} I \). Мы видим, что любой вектор \( \Psi \in \mathscr{H}_{s} \) является «собственным» для оператора \( S^{2} \) с собственным значением \( 3 / 4 \). Это собственное значение можно записать в виде * \( s(s+1) \), где \( s=1 / 2 \). Поэтому говорят, что спин электрона равен \( 1 / 2 \).

Построим представление группы вращений в пространстве \( \mathscr{H}_{\text {s. }} \). Напомним, что в пространстве \( \mathscr{H}=L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \) действует представление вращений \( g \) операторами \( W(g)=e^{-i\left(L_{1} a_{1}+L_{2} a_{2}+L_{1} a\right)} \), а в пространстве \( \mathbf{C}^{2} \) – операторами \( U(g)=e^{-i\left(S_{1} a_{1}+S_{2} a_{2}+S_{3} a_{3}\right)} \), Отображение \( g \rightarrow W_{S}(g) \), где \( W_{S}(g)=W(g) \otimes U(g) \) является представлением в пространстве \( \mathscr{H}_{S} \). Представление \( W_{S} \) есть произведение представлений \( W \) и \( U \).

Операторы в \( \mathscr{H}_{s} \) называются сферически-симметричными, если они коммутируют со всеми операторами \( W_{S}(g) \). Если оператор Шредингера \( H \) является сферически-симметричным, то операторы \( W_{S}(g) \) и инфинитезимальные операторы
\[
\left.\frac{\partial W_{S}}{\partial a_{j}}\right|_{\mathrm{a}=0}=-i\left(L_{j} \otimes I+I \otimes S_{j}\right), \quad j=1,2,3,
\]

являются интегралами движения. Поэтому для системы со сферически-симметричным оператором Шредингера справедлив закон сохранения полного момента импульса, проекции которого \( J_{j}=L_{j}+S_{j} \).
* В § 29 мы показали, что из перестановочных соотношений для момента импульса следует, что собственные значения оператора квадрата момента имеют вид \( j(j+1) \), где \( j \)-целое или полуцелое число. Это число для оператора спина принято обозначать буквой \( s \).
Заметим, что в общем случае сферически-симметричного оператора \( H \) нет законов сохранения орбитального и спинового моментов по отдельности. Однако, если сферически-симметричный оператор Шредингера в \( \mathscr{H}_{s} \) коммутирует и со всеми операторами \( W(g) \otimes I \), то он коммутирует со всеми операторами \( I \otimes U(g) \), и имеют место законы сохранения для наблюдаемых \( L_{j} \) и \( S_{j} \) по отдельности. Примером такого оператора Шредингера является оператор \( H \otimes I \), где \( H \)-оператор Шредингера для частицы в центральном поле.