В квантовой механике операторы проекций момента импульса определяются формулами
$$\begin{array}{l}{L}_1=Q_2{P}_3-Q_3{P}_2,\\ L_2=Q_3{P}_1-Q_1{P}_3,\\ L_3=Q_1{P}_2-Q_2{P}_1.\end{array}$$
Введем еще одну наблюдаемую, которая называется квадратом момента импульса
$$L^2=L_1^2+L_2^2+L_3^2.$$
Найдем перестановочные соотношения для операторов $L_1$, $L_2,L_3$ и $L^2$. Используя соотношения Гейзенберга $[Q_i,P_k]=$ $=i{\delta }_{jk}$ и свойства коммутаторов, получим
$$\begin{array}{l}[L_1,L_2]=[Q_2{P}_3-Q_3{P}_2,Q_3{P}_1-Q_1{P}_3]=\\ =Q_2{P}_1[P_3,Q_3]+Q_1{P}_2[Q_3,P_3]=i(Q_1{P}_2-Q_2{P}_1)=i{L}_3.\end{array}$$
Таким образом, операторы $L_1,L_2,L_3$ удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:
$$\begin{array}{l}[L_1,L_2]=i{L}_3,\\ [L_2,L_3]=i{L}_1,\\ [L_3,L_1]=i{L}_2.\end{array}$$
Нетрудно проверить, что все операторы $L_1,L_2,L_3$ коммутируют с $L^2$
$$[L_l,L^2]=0,j=1,2,3.$$
Действительно,
$$\begin{array}{rl}[L_1,L^2]=[L_1,L_1^2+L_2^2+L_3^2]=& [L_1,L_2^2]+[L_1,L_3^2]=\\ =[L_1,L_2]L_2+L_2[L_1,L_2]+& [L_1,L_3]L_3+L_3[L_1,L_3]=\\ & =i{L}_3{L}_2+i{L}_2{L}_3-i{L}_2{L}_3-i{L}_3{L}_2=0.\end{array}$$
При вычислении использовались свойства коммутаторов и формулы (3).
Из перестановочных соотношений (3) и (4) следует, что проекции момента импульса не являются одновременно измеримыми величинами. Одновременно измерены могут быть квадрат момента импульса и одна из его проекций.

Выпишем операторы проекций момента импульса в координатном представлении
$$\begin{array}{l}{L}_1=i(x_3\frac{\partial }{\partial x_2}-x_2\frac{\partial }{\partial x_3}),\\ L_2=i(x_1\frac{\partial }{\partial x_8}-x_3\frac{\partial }{\partial x_1}),\\ L_3=i(x_2\frac{\partial }{\partial x_1}-x_1\frac{\partial }{\partial x_2}).\end{array}$$
Нетрудно убедиться, что операторы $L_1,L_2,L_3$ действуют только на угловые переменные функции $\psi (\mathbf{x})$. Действительно, если функция $\psi$ зависит только от $r$, то
$$\begin{array}{l}{L}_3\psi (r)=i(x_2\frac{\partial }{\partial x_1}-x_1\frac{\partial }{\partial x_2})\psi (x_1^2+x_2^2+x_3^2)=\\ =i{\psi }^{\prime }(x_1^2+x_2^2+x_3^2)(x_2\cdot 2x_1-x_1\cdot 2x_2)=0.\end{array}$$
Для дальнейшего полезной окажется формула
$$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right)-\frac{1}{r^2}{L}^2,$$
которую мы тоже проверим в декартовых координатах. Для этого вычислим оператор $-L^2$, используя обозначения $x,y,z$ для проекций $\mathbf{x}$ :
$$\begin{array}{l}-L^2={(x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x})}^2+{(y\frac{\partial }{\partial z}-z\frac{\partial }{\partial y})}^2+{(z\frac{\partial }{\partial x}-x\frac{\partial }{\partial z})}^2=\\ =(x^2+y^2+z^2)(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})-x^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-y^2\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}-z^2\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}-\\ -2xy\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}-2yz\frac{{\partial }^2}{\partial y\partial z}-2zx\frac{{\partial }^2}{\partial z\partial x}-2x\frac{\partial }{\partial x}-2y\frac{\partial }{\partial y}-2z\frac{\partial }{\partial z}.\end{array}$$
Учитывая соотношения
$$\begin{array}{l}\begin{array}{r}r\frac{\partial }{\partial r}=x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}+z\frac{\partial }{\partial z}\end{array}\\ \begin{array}{rl}{\left(r\frac{\partial }{\partial r}\right)}^2=x^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+y^2\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}& +z^2\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}+z\frac{\partial }{\partial z}+\\ & +2xy\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}+2yz\frac{{\partial }^2}{\partial y\partial z}+2zx\frac{{\partial }^2}{\partial z\partial x},\end{array}\\ \text{ получим }-L^2=r^2\mathrm{\Delta }-{\left(r\frac{\partial }{\partial r}\right)}^2-r\frac{\partial }{\partial r}=r^2\mathrm{\Delta }-\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right).\end{array}$$