В квантовой механике операторы проекций момента импульса определяются формулами
\[
\begin{array}{l}
L_{1}=Q_{2} P_{3}-Q_{3} P_{2}, \\
L_{2}=Q_{3} P_{1}-Q_{1} P_{3}, \\
L_{3}=Q_{1} P_{2}-Q_{2} P_{1} .
\end{array}
\]
Введем еще одну наблюдаемую, которая называется квадратом момента импульса
\[
L^{2}=L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+L_{3}^{2} .
\]
Найдем перестановочные соотношения для операторов \( L_{1} \), \( L_{2}, L_{3} \) и \( L^{2} \). Используя соотношения Гейзенберга \( \left[Q_{i}, P_{k}\right]= \) \( =i \delta_{j k} \) и свойства коммутаторов, получим
\[
\begin{array}{l}
{\left[L_{1}, L_{2}\right]=\left[Q_{2} P_{3}-Q_{3} P_{2}, Q_{3} P_{1}-Q_{1} P_{3}\right]=} \\
\quad=Q_{2} P_{1}\left[P_{3}, Q_{3}\right]+Q_{1} P_{2}\left[Q_{3}, P_{3}\right]=i\left(Q_{1} P_{2}-Q_{2} P_{1}\right)=i L_{3} .
\end{array}
\]
Таким образом, операторы \( L_{1}, L_{2}, L_{3} \) удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:
\[
\begin{array}{l}
{\left[L_{1}, L_{2}\right]=i L_{3},} \\
{\left[L_{2}, L_{3}\right]=i L_{1},} \\
{\left[L_{3}, L_{1}\right]=i L_{2} .}
\end{array}
\]
Нетрудно проверить, что все операторы \( L_{1}, L_{2}, L_{3} \) коммутируют с \( L^{2} \)
\[
\left[L_{l}, L^{2}\right]=0, \quad j=1,2,3 .
\]
Действительно,
\[
\begin{aligned}
{\left[L_{1}, L^{2}\right]=\left[L_{1}, L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+L_{3}^{2}\right]=} & {\left[L_{1}, L_{2}^{2}\right]+\left[L_{1}, L_{3}^{2}\right]=} \\
=\left[L_{1}, L_{2}\right] L_{2}+L_{2}\left[L_{1}, L_{2}\right]+ & {\left[L_{1}, L_{3}\right] L_{3}+L_{3}\left[L_{1}, L_{3}\right]=} \\
& =i L_{3} L_{2}+i L_{2} L_{3}-i L_{2} L_{3}-i L_{3} L_{2}=0 .
\end{aligned}
\]
При вычислении использовались свойства коммутаторов и формулы (3).
Из перестановочных соотношений (3) и (4) следует, что проекции момента импульса не являются одновременно измеримыми величинами. Одновременно измерены могут быть квадрат момента импульса и одна из его проекций.

Выпишем операторы проекций момента импульса в координатном представлении
\[
\begin{array}{l}
L_{1}=i\left(x_{3} \frac{\partial}{\partial x_{2}}-x_{2} \frac{\partial}{\partial x_{3}}\right), \\
L_{2}=i\left(x_{1} \frac{\partial}{\partial x_{8}}-x_{3} \frac{\partial}{\partial x_{1}}\right), \\
L_{3}=i\left(x_{2} \frac{\partial}{\partial x_{1}}-x_{1} \frac{\partial}{\partial x_{2}}\right) .
\end{array}
\]
Нетрудно убедиться, что операторы \( L_{1}, L_{2}, L_{3} \) действуют только на угловые переменные функции \( \psi(\mathbf{x}) \). Действительно, если функция \( \psi \) зависит только от \( r \), то
\[
\begin{array}{l}
L_{3} \psi(r)=i\left(x_{2} \frac{\partial}{\partial x_{1}}-x_{1} \frac{\partial}{\partial x_{2}}\right) \psi\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)= \\
=i \psi^{\prime}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)\left(x_{2} \cdot 2 x_{1}-x_{1} \cdot 2 x_{2}\right)=0 .
\end{array}
\]
Для дальнейшего полезной окажется формула
\[
\Delta=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial}{\partial r}\right)-\frac{1}{r^{2}} L^{2},
\]
которую мы тоже проверим в декартовых координатах. Для этого вычислим оператор \( -L^{2} \), используя обозначения \( x, y, z \) для проекций \( \mathbf{x} \) :
\[
\begin{array}{l}
-L^{2}=\left(x \frac{\partial}{\partial y}-y \frac{\partial}{\partial x}\right)^{2}+\left(y \frac{\partial}{\partial z}-z \frac{\partial}{\partial y}\right)^{2}+\left(z \frac{\partial}{\partial x}-x \frac{\partial}{\partial z}\right)^{2}= \\
=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\right)-x^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-y^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}-z^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}- \\
-2 x y \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y}-2 y z \frac{\partial^{2}}{\partial y \partial z}-2 z x \frac{\partial^{2}}{\partial z \partial x}-2 x \frac{\partial}{\partial x}-2 y \frac{\partial}{\partial y}-2 z \frac{\partial}{\partial z} .
\end{array}
\]
Учитывая соотношения
\[
\begin{array}{l}
\begin{aligned}
r \frac{\partial}{\partial r}=x \frac{\partial}{\partial x}+y \frac{\partial}{\partial y}+z \frac{\partial}{\partial z}
\end{aligned} \\
\begin{aligned}
\left(r \frac{\partial}{\partial r}\right)^{2}=x^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+y^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} & +z^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}+x \frac{\partial}{\partial x}+y \frac{\partial}{\partial y}+z \frac{\partial}{\partial z}+ \\
& +2 x y \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y}+2 y z \frac{\partial^{2}}{\partial y \partial z}+2 z x \frac{\partial^{2}}{\partial z \partial x},
\end{aligned} \\
\text { получим }-L^{2}=r^{2} \Delta-\left(r \frac{\partial}{\partial r}\right)^{2}-r \frac{\partial}{\partial r}=r^{2} \Delta-\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial}{\partial r}\right) .
\end{array}
\]