Перейдем теперь к изучению более сложных наблюдаемых. Наша задача сопоставить произвольной классической наблюдаемой $f(p,q)$ ее квантовый аналог $A_f$. Хотелось бы положить $A_f=f(P,Q)$ но не существует общего определения функции от некоммутирующих операторов. Например, уже не понятно, какой из операторов $Q^{2}P,QPQ$ или $P{Q}^2$ следует сопоставить классической наблюдаемой $q^{2}p$. Однако для наиболее важных наблюдаемых указанных трудностей вообще не возникает, так как эти наблюдаемые являются суммами функций от коммутирующих между собой компонент $Q_1,Q_2,Q_3$ и $P_1,P_2,P_3$.
Приведем некоторые примеры.
Қинетическая энергия частицы в классической механике
$$T=\frac{p_1^2+p_2^2+p_3^2}{2m}.$$

Соответствующий оператор кинетической энергии имеет вид
$$T=\frac{P_1^2+{\stackrel{\rightharpoonup }{P}}_2^2+P_3^2}{2m}$$

и в қоординатном представления
$$T\phi (\mathbf{x})=-\frac{h^2}{2m}\mathrm{\Delta }\phi (\mathbf{x}),$$

где $\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_3^2}$ — оператор Лапласа. В импульсном представлении оператор $T$ есть оператор умножения на функцию
$$T\phi (\mathbf{p})=\frac{p_1^2+p_2^2+p_3^2}{2m}\phi (\mathbf{p}).$$

Точно так же легко ввести оператор потенциальной энергии $V(Q_1,Q_2,Q_3)$. В координатном представлении $V$ является оператором умножения на функцию
$$V\phi (\mathbf{x})=V(\mathbf{x})\phi (\mathbf{x}),$$

а в импульсном — интегральным оператором с ядром
$$V(\mathbf{p},\mathbf{q})={\left(\frac{1}{2\pi h}\right)}^3{\int }_{{\mathbf{R}}^3}V(\mathbf{x})e^{\frac{i}{h}\mathbf{x}(\mathbf{q}-\mathbf{p})}d\mathbf{x}.$$

Оператор полной энергии (оператор Шредингера) определяется равенством
$$H=T+V.$$

Запишем подробно уравнение Шредингера
$$\text{ ih }\frac{d\psi (t)}{dt}=H\psi (t).$$

В координатном представлении уравнение Шредингера для частицы является дифференциальным уравнением в частных производных
$$ih\frac{\partial \psi (\mathbf{x},t)}{\partial t}=-\frac{h^2}{2m}\mathrm{\Delta }\psi (\mathbf{x},t)+\stackrel{`}{V}(\mathbf{x})\psi (\mathbf{x},t),$$

а в импульсном — интегродифференциальным
$$ih\frac{\partial \psi (\mathbf{p},t)}{\partial t}=\frac{{\mathbf{p}}^2}{2m}\psi (\mathbf{p},t)+{\int }_{{\mathbf{R}}^3}V(\mathbf{p},\mathbf{q})\psi (\mathbf{q},t)d\mathbf{q}.$$

Рассмотрим наряду с (4) уравнение для комплексно-сопряженной волновой функции
$$-ih\frac{\partial \overline{\psi (\mathbf{x},t)}}{\partial t}=-\frac{h^2}{2m}\mathrm{\Delta }\overline{\psi (\mathbf{x},t)}+V(\mathbf{x})\overline{\psi (\mathbf{x},t)}.$$

Умножая уравнение (4) на $\overline{\psi }$, уравнение (5) на $\psi$ и вычитая одно из другого, получим
$$\begin{array}{c}ih(\overline{\psi }\frac{\partial \psi }{\partial t}+\psi \frac{\partial \overline{\psi }}{\partial t})=\\ =-\frac{h^2}{2m}(\overline{\psi }\mathrm{\Delta }\psi -\psi \mathrm{\Delta }\overline{\psi })=-\frac{h^2}{2m}\mathrm{div}(\overline{\psi }\mathrm{grad}\psi -\psi \mathrm{grad}\overline{\psi })\\ \frac{\partial |\psi {|}^2}{\partial t}+\mathrm{div}\mathbf{j}=0,\end{array}$$

или
$$\frac{\partial |\psi {|}^2}{\partial t}+\mathrm{div}\mathbf{j}=0$$

где
$$\mathbf{j}=\frac{ih}{2m}(\psi \mathrm{grad}\overline{\psi }-\overline{\psi }\mathrm{grad}\psi )\text{. }$$

Уравнение (6) является уравнением неразрывности и выражает закон сохранения вероятности. Вектор $\mathbf{j}$ называется вектором плотности потока вероятности. Из уравнения (6) видно, что вектор ј имеет следующий смысл: ${\int }_S{j}_{n}dS$ есть вероятность того, что частица пересечет поверхность $S$ за единицу времени.

Важную роль и в классической, и в квантовой механиках играет момент импульса. Эта наблюдаемая в классической механике является вектором, прсекции которого в декартовой системе координат имеют вид
$$\begin{array}{l}{l}_1=q_2{p}_3-q_3{p}_2,\\ l_2=q_3{p}_1-q_1{p}_3,\\ l_3=q_1{p}_2-q_2{p}_1.\end{array}$$

В квантовой механике проекциями момента импульса являются операторы
$$L_k=Q_l{P}_m-Q_m{P}_l.$$

Здесь $k,l,m$-циклическая перестановка значков $1,2,3$. В правую часть (7) входят произведения только разноименных координаты и проекции импульса, т. е. произведения коммутирующих операторов. Интересно заметить, что операторы $L_k$ имеют одинаковый вид в импульсном и координатном представлении
$$\begin{array}{rl}{L}_k\phi (\mathbf{x})& =\frac{h}{i}(x_l\frac{\partial }{\partial x_m}-x_m\frac{\partial }{\partial x_l})\phi (\mathbf{x}),\\ L_k\phi (\mathbf{p})& =\frac{h}{i}(p_l\frac{\partial }{\partial p_m}-p_m\frac{\partial }{\partial p_l})\phi (\mathbf{p}).\end{array}$$

Свойства операторов $L_k$ будут подробно изучены ниже.
Қвантовая механика описывает, конечно, и более сложные, чем материальная точка, системы. Так, для системы из $N$ материальных точек пространствсм состояний в координатном представлении является пространство * $L^2\left({\mathbf{R}}^{3N}\right)$ функций от $N$ векторных переменных $\phi ({\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_N)$. Оператор Шредингера для такой системы (аналог функций Гамильтона (1.5)) имеет вид

Физический смысл слагаемых здесь тот же, что и в классической механике.
* В дальнейшем мы увидим, что для тождественных частиц пространство состояний $\mathcal{C}$ совпадает с подпространством $L_S^2\subset L^2$ функций с определенной симметрией.

Рассмотрим еще два оператора для материальной точки, которые окажутся полезными при обсуждении взаимосвязи квантовой и классической механики
$$\begin{array}{l}U(\mathbf{u})=e^{-i(u_1{P}_1+u_2{P}_2+u_3{P}_3)},\\ V(\mathbf{v})=e^{-i(v_1{Q}_1+v_2{Q}_2+v_3{Q}_3)},\end{array}$$

где $\mathbf{u}(u_1,u_2,u_3)$ и $\mathbf{v}(v_1,v_2,v_3)$ — вещественные параметры. Оператор $V(\mathbf{v})$ в координатном представлении является оператором умножения на функцию
$$V(\mathbf{v})\phi (\mathbf{x})=e^{-i\mathbf{v}\mathbf{x}}\phi (\mathbf{x}).$$

Выясним тептерь смысл, оператора $U(\mathbf{u})$. Для простоты рассмотрим одномерный случай
$$U(u)=e^{-iuP}.$$

Обозначим $\phi (u,x)=e^{-iuP}\phi (x)$. Дифференцируя $\phi (u,x)$ по параметру $u$, имеем

или
$$\begin{array}{c}\frac{\partial \phi (u,x)}{\partial u}=-iP\phi (u,x),\\ \frac{\partial \phi (u,x)}{\partial u}=-h\frac{\partial \phi (u,x)}{\partial x}.\end{array}$$

Чтобы найти функцию $\phi (u,x)$, нужно решить это уравнение с начальным условием
$${\phi (u,x)|}_{u=0}=\phi (x).$$

Единственное решение, очевидно, имеет вид
$$\phi (u,x)=\phi (x-hu).$$

Мы видим, что оператор $U(u)$ в координатном представлении есть оператор сдвига аргумента функции $\phi (x)$ на величину — $-hu$. В трехмерном случае
$$U(\mathbf{u})\phi (\mathbf{x})=\phi (\mathbf{x}-\mathbf{u}h).$$

Операторы $U(\mathbf{u})$ и $V(\mathbf{v})$ являются унитарными вследствие самосопряженности операторов $P_1,P_2,P_3$ и $Q_1,Q_2,Q_3$. Найдем перестановочные соотношения для операторов $U(\mathbf{u})$ и $V(\mathbf{v})$. В координатном представлении имеем
$$\begin{array}{c}V(\mathbf{v})U(\mathbf{u})\phi (\mathbf{x})=e^{-i\mathbf{v}\mathbf{x}}\phi (\mathbf{x}-\mathbf{u}h),\\ U(\mathbf{u})V(\mathbf{v})\phi (\mathbf{x})=e^{-i\mathbf{v}(\mathbf{x}-\mathbf{u}h)}\phi (\mathbf{x}-\mathbf{u}h).\end{array}$$

Из этих равенств сразу следует, что
$$U(\mathbf{u})V(\mathbf{v})=V(\mathbf{v})U(\mathbf{u})e^{i\mathbf{v}uh}.$$

Разумеется, соотношения (13) не зависят от представления. Отметим еще формулы
$$\begin{array}{l}U\left({\mathbf{u}}_1\right)U\left({\mathbf{u}}_2\right)=U({\mathbf{u}}_1+{\mathbf{u}}_2),\\ V\left({\mathbf{v}}_1\right)V\left({\mathbf{v}}_2\right)=V({\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2),\end{array}$$
т. е. множества операторов $U(\mathbf{u})$ и $V(\mathbf{v})$ образуют группы. Обозначим эти группы через $U$ и $V$.

Теперь мы можем дать точную формулировку теоремы фон Неймана. Ограничимся для простоты системой с одной степенью свободы.

Теорема. Пусть $U$ и $V$-однопараметрические группы унитарных операторов $U(u)$ и $V(v)$, действующих в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ и удовлетворяющих условию:
$$U(u)V(v)=V(v)U(u)e^{ivuh}.$$

Тогда $\mathcal{H}$ можно представить в виде прямой суммы
$$\mathcal{H}={\mathcal{H}}_1\oplus {\mathcal{H}}_2\oplus \dots ,$$

где каждое ${\mathcal{H}}_t$ переводится в себя всеми операторами $U(u)$ и $V(v)$ и каждое ${\mathcal{H}}_l$ можно отобразить унитарно на $L^2(\mathrm{R})$ таким образом, что операторы $V(v)$ переходят в операторы $\psi (x)\to$ $\to e^{-ivx}\psi (x)$, а операторы $U(u)$ переходят в операторы $\psi (x)\to$ $\to \psi (x-uh)$.

Можно говорить о том, что в пространстве $\mathcal{H}$ действует представление соотношений (14) унитарными операторами. Если это представление неприводимо, то сумма (15) содержит только одно слагаемое.

В заключение этого параграфа докажем неприводимость координатного представления для $P$ и $Q$.
Пусть $K$ — некоторый оператор, коммутирующий с $Q$ и $P$
$$[K,Q]=0,[K,P]=0.$$

Из второго равенства следует, что
$$KU(u)=U(u)K.$$

Применяя операторы в обеих частях равенства к произвольной функции $\phi (x)$, получим
$${\int }_{\mathbf{R}}K(x,y)\phi (y-uh)dy={\int }_{\mathbf{R}}K(x-uh,y)\phi (y)dy.$$

Замена $y-uh\to y$ в левой части позволяет переписать это равенство в виде
$${\int }_{\mathbf{k}}K(x,y+uh)\phi (y)dy={\int }_{\mathbf{R}}K(x-uh,y)\phi (y)dy.$$

В силу произвольности $\phi$
$$K(x,y+uh)=K(x-uh,y),$$

откуда видно, что ядро $K(x,y)$ зависит только от разности $x-y$, т. е.
$$K(x,y)=k(x-y).$$

Теперь используем перестановочность оператора $K$ с оператором координаты
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}xk(x-y)\phi (y)dy={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}k(x-y)y\phi (y)dy,$$

откуда следует, что
$$(x-y)k(x-y)=0.$$

Решение этого уравнения имеет вид
$$k(x-y)=c\delta (x-y),$$

а функция, стоящая в правой части, есть ядро оператора $Cl$.
Итак, мы показали, что любой оператор, коммутирующий с $Q$ и $P$, кратен единичному.