Перейдем теперь к изучению более сложных наблюдаемых. Наша задача сопоставить произвольной классической наблюдаемой \( f(p, q) \) ее квантовый аналог \( A_{f} \). Хотелось бы положить \( A_{f}=f(P, Q) \) но не существует общего определения функции от некоммутирующих операторов. Например, уже не понятно, какой из операторов \( Q^{2} P, Q P Q \) или \( P Q^{2} \) следует сопоставить классической наблюдаемой \( q^{2} p \). Однако для наиболее важных наблюдаемых указанных трудностей вообще не возникает, так как эти наблюдаемые являются суммами функций от коммутирующих между собой компонент \( Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} \) и \( P_{1}, P_{2}, P_{3} \).
Приведем некоторые примеры.
Қинетическая энергия частицы в классической механике
\[
T=\frac{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}{2 m} .
\]

Соответствующий оператор кинетической энергии имеет вид
\[
T=\frac{P_{1}^{2}+\stackrel{\rightharpoonup}{P}_{2}^{2}+P_{3}^{2}}{2 m}
\]

и в қоординатном представления
\[
T \varphi(\mathbf{x})=-\frac{h^{2}}{2 m} \Delta \varphi(\mathbf{x}),
\]

где \( \Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{3}^{2}} \) — оператор Лапласа. В импульсном представлении оператор \( T \) есть оператор умножения на функцию
\[
T \varphi(\mathbf{p})=\frac{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}{2 m} \varphi(\mathbf{p}) .
\]

Точно так же легко ввести оператор потенциальной энергии \( V\left(Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}\right) \). В координатном представлении \( V \) является оператором умножения на функцию
\[
V \varphi(\mathbf{x})=V(\mathbf{x}) \varphi(\mathbf{x}),
\]

а в импульсном — интегральным оператором с ядром
\[
V(\mathbf{p}, \mathbf{q})=\left(\frac{1}{2 \pi h}\right)^{3} \int_{\mathbf{R}^{3}} V(\mathbf{x}) e^{\frac{i}{h} \mathbf{x}(\mathbf{q}-\mathbf{p})} d \mathbf{x} .
\]

Оператор полной энергии (оператор Шредингера) определяется равенством
\[
H=T+V .
\]

Запишем подробно уравнение Шредингера
\[
\text { ih } \frac{d \psi(t)}{d t}=H \psi(t) .
\]

В координатном представлении уравнение Шредингера для частицы является дифференциальным уравнением в частных производных
\[
i h \frac{\partial \psi(\mathbf{x}, t)}{\partial t}=-\frac{h^{2}}{2 m} \Delta \psi(\mathbf{x}, t)+\grave{V}(\mathbf{x}) \psi(\mathbf{x}, t),
\]

а в импульсном — интегродифференциальным
\[
i h \frac{\partial \psi(\mathbf{p}, t)}{\partial t}=\frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m} \psi(\mathbf{p}, t)+\int_{\mathbf{R}^{3}} V(\mathbf{p}, \mathbf{q}) \psi(\mathbf{q}, t) d \mathbf{q} .
\]

Рассмотрим наряду с (4) уравнение для комплексно-сопряженной волновой функции
\[
-i h \frac{\partial \overline{\psi(\mathbf{x}, t)}}{\partial t}=-\frac{h^{2}}{2 m} \Delta \overline{\psi(\mathbf{x}, t)}+V(\mathbf{x}) \overline{\psi(\mathbf{x}, t)} .
\]

Умножая уравнение (4) на \( \bar{\psi} \), уравнение (5) на \( \psi \) и вычитая одно из другого, получим
\[
\begin{array}{c}
i h\left(\bar{\psi} \frac{\partial \psi}{\partial t}+\psi \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial t}\right)= \\
=-\frac{h^{2}}{2 m}(\bar{\psi} \Delta \psi-\psi \Delta \bar{\psi})=-\frac{h^{2}}{2 m} \operatorname{div}(\bar{\psi} \operatorname{grad} \psi-\psi \operatorname{grad} \bar{\psi}) \\
\frac{\partial|\psi|^{2}}{\partial t}+\operatorname{div} \mathbf{j}=0,
\end{array}
\]

или
\[
\frac{\partial|\psi|^{2}}{\partial t}+\operatorname{div} \mathbf{j}=0
\]

где
\[
\mathbf{j}=\frac{i h}{2 m}(\psi \operatorname{grad} \bar{\psi}-\bar{\psi} \operatorname{grad} \psi) \text {. }
\]

Уравнение (6) является уравнением неразрывности и выражает закон сохранения вероятности. Вектор \( \mathbf{j} \) называется вектором плотности потока вероятности. Из уравнения (6) видно, что вектор ј имеет следующий смысл: \( \int_{S} j_{n} d S \) есть вероятность того, что частица пересечет поверхность \( S \) за единицу времени.

Важную роль и в классической, и в квантовой механиках играет момент импульса. Эта наблюдаемая в классической механике является вектором, прсекции которого в декартовой системе координат имеют вид
\[
\begin{array}{l}
l_{1}=q_{2} p_{3}-q_{3} p_{2}, \\
l_{2}=q_{3} p_{1}-q_{1} p_{3}, \\
l_{3}=q_{1} p_{2}-q_{2} p_{1} .
\end{array}
\]

В квантовой механике проекциями момента импульса являются операторы
\[
L_{k}=Q_{l} P_{m}-Q_{m} P_{l} .
\]

Здесь \( k, l, m \)-циклическая перестановка значков \( 1,2,3 \). В правую часть (7) входят произведения только разноименных координаты и проекции импульса, т. е. произведения коммутирующих операторов. Интересно заметить, что операторы \( L_{k} \) имеют одинаковый вид в импульсном и координатном представлении
\[
\begin{aligned}
L_{k} \varphi(\mathbf{x}) & =\frac{h}{i}\left(x_{l} \frac{\partial}{\partial x_{m}}-x_{m} \frac{\partial}{\partial x_{l}}\right) \varphi(\mathbf{x}), \\
L_{k} \varphi(\mathbf{p}) & =\frac{h}{i}\left(p_{l} \frac{\partial}{\partial p_{m}}-p_{m} \frac{\partial}{\partial p_{l}}\right) \varphi(\mathbf{p}) .
\end{aligned}
\]

Свойства операторов \( L_{k} \) будут подробно изучены ниже.
Қвантовая механика описывает, конечно, и более сложные, чем материальная точка, системы. Так, для системы из \( N \) материальных точек пространствсм состояний в координатном представлении является пространство * \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{3 N}\right) \) функций от \( N \) векторных переменных \( \varphi\left(\mathbf{x}_{1}, \ldots, \mathbf{x}_{N}\right) \). Оператор Шредингера для такой системы (аналог функций Гамильтона (1.5)) имеет вид
\[
H=-\sum_{i=1}^{N} \frac{h^{2}}{2 m_{i}} \Delta_{i}+\sum_{i<j}^{N} V_{i j}\left(\mathbf{x}_{i}-\mathbf{x}_{j}\right)+\sum_{i=1}^{N} V_{i}\left(\mathbf{x}_{i}\right) .
\]

Физический смысл слагаемых здесь тот же, что и в классической механике.
* В дальнейшем мы увидим, что для тождественных частиц пространство состояний \( \mathscr{C} \) совпадает с подпространством \( L_{S}^{2} \subset L^{2} \) функций с определенной симметрией.

Рассмотрим еще два оператора для материальной точки, которые окажутся полезными при обсуждении взаимосвязи квантовой и классической механики
\[
\begin{array}{l}
U(\mathbf{u})=e^{-i\left(u_{1} P_{1}+u_{2} P_{2}+u_{3} P_{3}\right)}, \\
V(\mathbf{v})=e^{-i\left(v_{1} Q_{1}+v_{2} Q_{2}+v_{3} Q_{3}\right)},
\end{array}
\]

где \( \mathbf{u}\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right) \) и \( \mathbf{v}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) — вещественные параметры. Оператор \( V(\mathbf{v}) \) в координатном представлении является оператором умножения на функцию
\[
V(\mathbf{v}) \varphi(\mathbf{x})=e^{-i \mathbf{v x}} \varphi(\mathbf{x}) .
\]

Выясним тептерь смысл, оператора \( U(\mathbf{u}) \). Для простоты рассмотрим одномерный случай
\[
U(u)=e^{-i u P} .
\]

Обозначим \( \varphi(u, x)=e^{-i u P} \varphi(x) \). Дифференцируя \( \varphi(u, x) \) по параметру \( u \), имеем

или
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \varphi(u, x)}{\partial u}=-i P \varphi(u, x), \\
\frac{\partial \varphi(u, x)}{\partial u}=-h \frac{\partial \varphi(u, x)}{\partial x} .
\end{array}
\]

Чтобы найти функцию \( \varphi(u, x) \), нужно решить это уравнение с начальным условием
\[
\left.\varphi(u, x)\right|_{u=0}=\varphi(x) .
\]

Единственное решение, очевидно, имеет вид
\[
\varphi(u, x)=\varphi(x-h u) .
\]

Мы видим, что оператор \( U(u) \) в координатном представлении есть оператор сдвига аргумента функции \( \varphi(x) \) на величину — \( -h u \). В трехмерном случае
\[
U(\mathbf{u}) \varphi(\mathbf{x})=\varphi(\mathbf{x}-\mathbf{u} h) .
\]

Операторы \( U(\mathbf{u}) \) и \( V(\mathbf{v}) \) являются унитарными вследствие самосопряженности операторов \( P_{1}, P_{2}, P_{3} \) и \( Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} \). Найдем перестановочные соотношения для операторов \( U(\mathbf{u}) \) и \( V(\mathbf{v}) \). В координатном представлении имеем
\[
\begin{array}{c}
V(\mathbf{v}) U(\mathbf{u}) \varphi(\mathbf{x})=e^{-i \mathbf{v} \mathbf{x}} \varphi(\mathbf{x}-\mathbf{u} h), \\
U(\mathbf{u}) V(\mathbf{v}) \varphi(\mathbf{x})=e^{-i \mathbf{v}(\mathbf{x}-\mathbf{u} h)} \varphi(\mathbf{x}-\mathbf{u} h) .
\end{array}
\]

Из этих равенств сразу следует, что
\[
U(\mathbf{u}) V(\mathbf{v})=V(\mathbf{v}) U(\mathbf{u}) e^{i \mathbf{v} u h} .
\]

Разумеется, соотношения (13) не зависят от представления. Отметим еще формулы
\[
\begin{array}{l}
U\left(\mathbf{u}_{1}\right) U\left(\mathbf{u}_{2}\right)=U\left(\mathbf{u}_{1}+\mathbf{u}_{2}\right), \\
V\left(\mathbf{v}_{1}\right) V\left(\mathbf{v}_{2}\right)=V\left(\mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{2}\right),
\end{array}
\]
т. е. множества операторов \( U(\mathbf{u}) \) и \( V(\mathbf{v}) \) образуют группы. Обозначим эти группы через \( U \) и \( V \).

Теперь мы можем дать точную формулировку теоремы фон Неймана. Ограничимся для простоты системой с одной степенью свободы.

Теорема. Пусть \( U \) и \( V \)-однопараметрические группы унитарных операторов \( U(u) \) и \( V(v) \), действующих в гильбертовом пространстве \( \mathscr{H} \) и удовлетворяющих условию:
\[
U(u) V(v)=V(v) U(u) e^{i v u h} .
\]

Тогда \( \mathscr{H} \) можно представить в виде прямой суммы
\[
\mathscr{H}=\mathscr{H}_{1} \oplus \mathscr{H}_{2} \oplus \ldots,
\]

где каждое \( \mathscr{H}_{t} \) переводится в себя всеми операторами \( U(u) \) и \( V(v) \) и каждое \( \mathscr{H}_{l} \) можно отобразить унитарно на \( L^{2}(\mathrm{R}) \) таким образом, что операторы \( V(v) \) переходят в операторы \( \psi(x) \rightarrow \) \( \rightarrow e^{-i v x} \psi(x) \), а операторы \( U(u) \) переходят в операторы \( \psi(x) \rightarrow \) \( \rightarrow \psi(x-u h) \).

Можно говорить о том, что в пространстве \( \mathscr{H} \) действует представление соотношений (14) унитарными операторами. Если это представление неприводимо, то сумма (15) содержит только одно слагаемое.

В заключение этого параграфа докажем неприводимость координатного представления для \( P \) и \( Q \).
Пусть \( K \) — некоторый оператор, коммутирующий с \( Q \) и \( P \)
\[
[K, Q]=0, \quad[K, P]=0 .
\]

Из второго равенства следует, что
\[
K U(u)=U(u) K .
\]

Применяя операторы в обеих частях равенства к произвольной функции \( \varphi(x) \), получим
\[
\int_{\mathbf{R}} K(x, y) \varphi(y-u h) d y=\int_{\mathbf{R}} K(x-u h, y) \varphi(y) d y .
\]

Замена \( y-u h \rightarrow y \) в левой части позволяет переписать это равенство в виде
\[
\int_{\mathbf{k}} K(x, y+u h) \varphi(y) d y=\int_{\mathbf{R}} K(x-u h, y) \varphi(y) d y .
\]

В силу произвольности \( \varphi \)
\[
K(x, y+u h)=K(x-u h, y),
\]

откуда видно, что ядро \( K(x, y) \) зависит только от разности \( x-y \), т. е.
\[
K(x, y)=k(x-y) .
\]

Теперь используем перестановочность оператора \( K \) с оператором координаты
\[
\int_{-\infty}^{\infty} x k(x-y) \varphi(y) d y=\int_{-\infty}^{\infty} k(x-y) y \varphi(y) d y,
\]

откуда следует, что
\[
(x-y) k(x-y)=0 .
\]

Решение этого уравнения имеет вид
\[
k(x-y)=c \delta(x-y),
\]

а функция, стоящая в правой части, есть ядро оператора \( C l \).
Итак, мы показали, что любой оператор, коммутирующий с \( Q \) и \( P \), кратен единичному.