Докажем, что построенные неприводимые представления \( D_{j} \) единственны (с точностью до эквивалентности). При доказательстве мы увидим, в какой степени спектр операторов момента импульса определяется их перестановочными соотношениями и как произвольное представление группы вращений раскладывается на неприводимые.

Пусть в \( n \)-мерном пространстве \( \mathscr{E} \) определено некоторое неприводимое представление, через \( -i J_{1},-i J_{2},-i J_{3} \) обозначим
инфинитезимальные операторы этого представления. Они удовлетворяют перестановочным соотношениям
\[
\begin{array}{l}
{\left[J_{1}, J_{2}\right]=i J_{3},} \\
{\left[J_{2}, J_{3}\right]=i J_{1},} \\
{\left[J_{3}, J_{1}\right]=i J_{2} .}
\end{array}
\]

Эквивалентность этого представления некоторому представлению \( D_{f} \) будет доказана, если мы покажем, что при подходящем выборе базиса в \( \mathscr{E} \) матрицы \( J_{k}, k=1,2,3 \) совпадают с матрицами \( M_{k} \). Прежде всего заметим, что представление группы вращений одновременно является и представлением ее подгруппы, состоящей из вращений вокруг оси \( x_{3} \) на угол \( \alpha \). Эта подгруппа абелева, поэтому все ее неприводимые представления одномерны и имеют вид \( e^{-i m_{k} a} \) (относительно чисел \( m_{k} \) мы не будем делать никаких предположений, допуская возможность «многозначных» представлений). Это значит, что при подходящем выборе базиса в \( \mathscr{E} \) матрица вращения вокруг оси \( x_{3} \) имеет вид
\[
e^{-i J_{s} \alpha}=\left(\begin{array}{llll}
e^{-i m_{1} \alpha} & 0 & \cdot & 0 \\
0 & \cdots & e^{-i m_{2} a} & 0 \\
\cdots & & \vdots \\
& & & \vdots \\
0 & & \cdots & e^{-i m_{n} \alpha}
\end{array}\right) .
\]

Таким образом, в \( \mathscr{E} \) существует базис из собственных векторов оператора \( J_{3} \),
\[
J_{3} e_{m}=m e_{m} .
\]

Далее, из неприводимости представления следует, что оператор \( j^{2}=J_{1}^{2}+j_{2}^{2}+j_{3}^{2} \), коммутирующий со всеми \( J_{k}, k=1,2,3 \), должен быть кратен единичному в пространстве \( \mathscr{E} \). Это возможно, если все базисные векторы \( e_{m} \) являются собственными векторами оператора \( J^{2} \), соответствующими одному и тому же собственному значению, которое мы обозначим через \( j(j+1) \) (эта запись пока просто обозначение). Базисные векторы будем обозначать через \( e_{i m} \),
\[
J^{2} e_{J m}=j(j+1) e_{j m} .
\]

Введем операторы \( J_{ \pm}=J_{1} \pm i J_{2} \). Легко проверить справед. ливость следующих формул:
\[
\begin{array}{c}
{\left[J^{2}, J_{ \pm}\right]=0,} \\
{\left[J_{3}, J_{ \pm}\right]= \pm J_{ \pm},} \\
J^{2}=J_{ \pm} J_{\mp}+J_{3}^{2} \mp J_{3} .
\end{array}
\]
Найдем границу возможных значений \( |m| \) при заданном собственном значении \( j(j+1) \). Для этого, умножая на \( e_{j m} \) равенство
получим
\[
\left(J_{1}^{2}+J_{2}^{2}\right) e_{j m}=\left(j(j+1)-m^{2}\right) e_{j m},
\]
\[
\left(\left(J_{1}^{2}+J_{2}^{2}\right) e_{j m}, e_{j m}\right)=j(j+1)-m^{2} .
\]

Левая часть неотрицательна, поэтому
\[
|m| \leqslant \sqrt{i(j+1)}
\]

Из соотношений (3) и (4) следует, что
\[
J^{2} J_{ \pm} e_{j m}=j(j+1) J_{ \pm} e_{j m}, J_{3} J_{ \pm} e_{j m}=(m \pm 1) J_{ \pm} e_{j m} .
\]

Поэтому векторы \( J_{ \pm} e_{j m} \) (если они ненулевые) являются собственными векторами оператора \( J^{2} \) с собственным значением \( j(j+1) \) и оператора \( J_{3} \) с собственными значениями \( m \pm 1 \). Таким образом по произвольному базисному элементу \( e_{j m} \) может быть построена цепочка собственных векторов с одним и тем же собственным значением оператора \( J^{2} \) и с собственными значениями \( m_{1}, m_{1}+1, \ldots, m_{2} \) оператора \( J_{3} \). Через \( m_{1} \) и \( m_{2} \) мы обозначили наименьшее и наибольшее собственные значения соответственно. Существование \( m_{1} \) и \( m_{2} \) следует из неравенства (6), цепочка собственных векторов должна обрываться в обе стороны.

Вычислим норму вектора \( J_{ \pm} e_{j m} \), учитывая, что \( \left\|e_{j m}\right\|=1 \) и что \( J_{ \pm}^{*}=J_{\mp} \),
\[
\begin{array}{l}
\left\|J_{ \pm} e_{j m}\right\|^{2}=\left(J_{\mp} J_{ \pm} e_{j m}, e_{j m}\right)=\left(\left(J^{2}-J_{3 \mp}^{2} J_{3}\right) e_{j m}, e_{j m}\right)= \\
=j(j+1)-m(m \pm 1)=(j \mp m)(j \pm m+1) .
\end{array}
\]

Поэтому мы можем написать
\[
J_{ \pm} e_{j m}=-\sqrt{(j \mp m)(j \pm m+1)} e_{j, m \pm 1} .
\]

Эта формула позволяет по произвольному орту \( e_{j m} \) строить. новые орты \( e_{j, m \pm 1} \), удовлетворяющие всем требованиям. Знак минус перед корнем написан из соображений удобства.

Мы пока еще не выяснили, какие значения могут принимать числа \( j \) и \( m \). Будем исходить из равенств
\[
J_{-} e_{j m_{1}}=0, \quad J_{+} e_{j m_{2}}=0 .
\]

Умножая эти равенства на \( J_{+} \)и на \( J_{-} \)и используя (5), получим
\[
\left(J^{2}-J_{3}^{2}+J_{3}\right) e_{j m_{1}}=0,\left(J^{2}-J_{3}^{2}-J_{3}\right) e_{j m_{2}}=0,
\]
или
\[
\begin{array}{l}
j(j+1)-m_{1}^{2}+m_{1}=0, \\
j(j+1)-m_{2}^{2}-m_{2}=0 .
\end{array}
\]

Из (9) сразу получаем \( \left(m_{1}+m_{2}\right)\left(m_{4}-m_{2}-1\right)=0 \), Нам го-
дится одно решение этого уравнения \( m_{1}=-m_{2} \), так как \( m_{2} \geqslant \) \( \geqslant m_{1} \). Далее \( m_{2}-m_{1}=2 m_{2} \) — число целое или нуль. Поэтому \( m_{2} \) может принимать значения \( 0,1 / 2,1,3 / 2, \ldots \) Наконец, из (9) мы видим, что в качестве числа \( j \) можно взять \( m_{2} \). Мы получили, что собственные значения оператора \( J^{2} \) имеют вид \( j(j+1) \), где \( j=0,1 / 2,1,3 / 2, \ldots \), а собственные числа \( m \) оператора \( J_{3} \) при заданном \( j \) пробегают \( (2 j+1) \) значение: \( -j \), \( -j+1, \ldots, j-1, j \). Числа \( j \) и \( m \) одновременно являются либо целыми, либо полуцелыми. Еще раз подчеркнем, что эти свойства спектра операторов \( J^{2} \) и \( J \) мы нашли, используя только перестановочные соотношения.

Для завершения доказательства нам осталось убедиться в том, что построенные собственные векторы образуют базис в \( \mathscr{E} \). Это следует из неприводимости представления. Действительно, подпространство \( \mathscr{E}^{\prime} \), натянутое на векторы \( e_{j m}, \quad m=-j \), \( -j+1, \ldots, j \), будет инвариантным относительно операторов \( J_{k}, k=1,2,3 \), а потому должно совпадать с \( \mathscr{E} \), и размерность представления \( n=2 j+1 \). Формулы (1) и (7) показывают, что матрицы \( J_{k} \) при таком выборе базиса совпадают с матрицами \( M_{k} \).

Заметим, что мы заодно построили способ разложения произвольного представления на нєприводимые. Пусть в некотором пространстве \( \mathscr{E} \) действует представление группы вращений — \( i J_{k} \) и его инфинитезимальнье операторы. Для того чтобы выделить инвариантные подпространства, мы должны найти общие решения уравнений
\[
J^{2} e_{j m}=j(j+1) e_{j m}, J_{3} e_{j m}=m e_{j m} .
\]

Векторы \( e_{j m} \) при заданном \( j \) и \( m=-j,-j+1, \ldots, j \) образуют базис неприводимого представления размерами \( 2 j+1 \). Задача о нахождении общих решений уравнений (10) проще всего решается следующим образом. Сначала находится вектор \( e_{i j} \), удовлетворяющий уравнениям
\[
J_{+} e_{j j}=0, J_{3} e_{j l}=j e_{j},
\]
а затем для построения векторов \( e_{j m} \) используется формула
\[
J_{-} e_{j m}=-\sqrt{(j+m)(j-m+1)} e_{j, m-1},
\]
которая позволяет по \( e_{i i} \) последовательно найти все векторы \( e_{i m} \).