В этом параграфе мы будем строго придерживаться следующих обозначений. Оператор Шредингера для свободной частицы обозначается через $H_0$, оператор Шредингера частицы
* В классической механике полное сечение $\sigma =\mathrm{\infty }$, если потенциал не является финитным. Особенностью квантовой механики является конечность сечения $\sigma$ для достаточно быстро убывающих потенциалов.
в поле через $H$
$$H=H_0+V,$$
где $V$ — оператор потенциальной энергии. Любое решение нестационарного уравнения Шредингера для частицы в поле обозначается через $\psi (t)$. Этот вектор однозначно определяется своим значением при $t=0$, которое мы обозначаем через $\psi$, т. е.
$$\psi (t)=e^{-iHt}\psi ,$$
(напомним, что $e^{-iHt}$ — оператор эволюции).
Аналогично любое решение уравнения Шредингера для свободной частицы обозначается символом $\phi (t)$, а его значение при $t=0$ через $\phi$,
$$\phi (t)=e^{-i{H}_{0}t}\phi .$$

Различные решения $\phi (t)$ могут снабжаться дополнительными индексами. Соответствующие векторам $\psi (t),\psi ,\phi (t),\phi$ волновые функции будут записываться как $\psi (\mathbf{x},t),\psi (\mathbf{x}),\phi (\mathbf{x},t)$, $\phi (\mathbf{x})$ в координатном представлении и $\psi (\mathbf{p},t),\psi (\mathbf{p}),\phi (\mathbf{p},t)$, $\phi (p)$ в импульсном представлении. Наконец, собственные векторы оператора $H$ (если они существуют) будем обозначать через ${\chi }_n,H{\chi }_n=E_n{\chi }_n$.

В $\mathrm{\S }40$ мы построили решение уравнения Шредингера $\psi (\mathbf{x},t)=e^{-iHt}\mathit{\psi }(\mathbf{x})$, которое при $t\to \mp \mathrm{\infty }$ асимптотически стремилось к некоторым решениям уравнения Шредингера для свободной частицы ${\phi }_{\mp }(\mathbf{x},t)=e^{-i{H}_{0}t}{\phi }_{\mp }(\mathbf{x})$, поэтому можно ожидать, что для такого решения $\psi (t)$ справедливы равенства
$$\underset{t\to \mp \mathrm{\infty }}{lim}\Vert e^{-iHt}\mathrm{\Psi }-e^{-i{H}_{0}t}{\phi }_{\mp }\Vert =0.$$

Физическую картину рассеяния можно представлять следующим образом. Задолго до рассеяния частица свободно движется вдали от рассеивающего центра, затем она попадает в зону действия потенциала (происходит рассеяние) и, наконец, через достаточно большой промежуток времени движение частицы снова становится свободным. Поэтому естественной представляется следующая постановка нестационарной задачи о рассеянии:
1. По произвольному вектору ${\phi }_{-}$из пространства состояний $\mathcal{C}$ построить вектор $\psi$ такой, что (1) справедливо при $t\to -\mathrm{\infty }$.
2. По построенному векэору $\psi$ найти вектор ${\phi }_{+}\in \mathcal{H}$ такой, что (1) справедливо при $t\to +\mathrm{\infty }$.

Вектор $\psi (t)=e^{-iHt}\psi$ описывает такое состояние частицы, которое в далеком прошлом совпадает с ${\phi }_{-}(t)=e^{-i{H}_0}{t}_{-}$и при $t\to +\mathrm{\infty }$ переходит в ${\phi }_{+}(t)=e^{-i{H}_{0}t}{\phi }_{+}$. Физика интересует связь между векторами ${\phi }_{-}$и ${\phi }_{+}$. Поэтому к пунктам 1 и 2 постановки задачи можно добавить следующее.

3. Показать, что существует такой унитарный оператор $S$, что
$${\phi }_{+}=S{\phi }_{-}.$$

Начнем с пункта 1. Поставим задачу несколько шире и посмотрим, возможно ли по произвольным векторам $\phi -\in \mathcal{H}$ и ${\phi }_{+}\in \mathcal{H}$ построить такие векторы $\psi$, что (1) справедливо при $t\to -\mathrm{\infty }$ и $t\to +\mathrm{\infty }$ соответственно (разумеется, векторы $\psi$, построенные по ${\phi }_{-}$и по ${\phi }_{+}$, не обязаны совпадать).

Переписывая (1) с учетом унитарности оператора $e^{-iHt}$ в виде
$$\underset{t\to \mp \mathrm{\infty }}{lim}\Vert \psi -e^{iHt}{e}^{-i{H}_{0}t}{\phi }_{\mp }\Vert =0,$$

мы видим, что поставленный вопрос сводится к существованию сильных пределов
$$\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{iHt}{e}^{-i{H}_{0}t}=U_{\pm }.$$

Операторы $U_{\pm }$, если они существуют, называются волновыми операторами. Если построен оператор $U_{-}$, то вектор $\psi =U_{-}{\phi }_{-}$ удовлетворяет пункту 1 постановки задачи.

Найдем простое достаточное условие существования волновых операторов. Рассмотрим оператор
$$U(t)=e^{iHt}{e}^{-i{H}_{0}t},$$

вычислим его производную *
$$\frac{dU(t)}{dt}=i{e}^{iHt}(H-H_0)e^{-i{H}_{0}t}=i{e}^{iHt}V{e}^{-i{H}_{0}t}.$$

Очевидно, что $U(0)=I$, поэтому
$$\begin{array}{l}U(t)=I+i{\int }_0^t{e}^{iHt}V{e}^{-i{H}_{0}t}dt,\\ U_{\pm }=I+i{\int }_0^{\pm \mathrm{\infty }}{e}^{iHt}V{e}^{-i{H}_{0}t}dt.\end{array}$$

Вопрос о существовании операторов $U_{\pm }$мы свели к вопросу — сходимости интегралов (3) на верхнем пределе. Достаточным условием сходимости (3) является существование интегралов
$${\int }_0^{\pm \mathrm{\infty }}\Vert V{e}^{-i{H}_{0}t}\phi \Vert dt$$
для любого $\phi \in \mathcal{H}$ (мы учли унитарность оператора $e^{iHt}$ ). Наконец, интегралы (4) сходятся на верхних пределах, если для
* Обратим внимание на запись производной, которая учитывает некоммутативность $H$ и $H_0$
любого $\phi \in \mathcal{H}$
$$\Vert V{e}^{-i{H}_{0}t}\phi \Vert =o\left(\frac{1}{|t{|}^{1+\epsilon }}\right),\epsilon >0,|t|\to \mathrm{\infty }.$$

Посмотрим, для каких потенциалов выполняется (5). В координатном представлении мы имеем оценку * для волновой функции $\phi (\mathbf{x},t)=e^{-i{H}_{0}t}\phi (\mathbf{x})$
$$|\phi (\mathbf{x},t)|<\frac{C}{|t{|}^{\frac{3}{2}}}$$
равномерно относительно $\mathbf{x}$. Тогда
$${\Vert V{e}^{-i{H}_{8}t}\phi \Vert }^2={\int }_{R^3}|V(\mathbf{x})\phi (\mathbf{x},t){|}^{2}d\mathbf{x}<\frac{C}{|t{|}^3}{\int }_{R^3}|V(\mathbf{x}){|}^{2}d\mathbf{x}.$$

Мы видим, что условие (5) выполняется, если потенциал квадратично интегрируемая функция. Разумеется, это условие не является необходимым. Класс потенциалов, для которых существуют $U_{\pm }$, шире, но существуют потенциалы, для которых нельзя построить волновые операторы. Важнейшим примером такого потенциала является кулоновский потенциал $V(r)=$ $=\alpha /r$. Причиной отсутствия волновых операторов для кулоновского потенциала является его слишком медленное убывание на бесконечности. Решения уравнения Шредингера для кулоновского потенциала не стремятся к решениям для свободной частицы при $t\to \pm \mathrm{\infty }$ (частица «чувствует» потенциал даже на бесконечности). В связи с этим и нестационарная, и стационарная постановки задачи о рассеянии в кулоновском поле требуют серьезной модификации. Асимптотический вид кулоновских функций $\psi (\mathbf{x},\mathbf{k})$ отличен от (39.7).

Вернемся к рассмотрению потенциалов, для которых существуют волновые операторы $U_{\pm }$и обсудим пункт 2. Можно поставить такой вопрос: для любого ли вектора $\psi \in \mathcal{H}$ найдутся векторы ${\phi }_{+}$и ${\phi }_{-}$такие, что (1) справедливо при $t\to \pm \mathrm{\infty }$.

Оказывается, что если у оператора $H$ существуют собственные векторы ${\chi }_n,\Vert {\chi }_n\Vert =1$, то для них равенство (1) несправедливо ни при каких ${\phi }_{+}$и ${\phi }_{-}$Действительно, в этом случае легко можно сосчитать для произвольного $\phi \in \mathcal{H},\Vert \phi \Vert =1$
* Эта оценка получается а основе метода стационарной фазы для асимптотического вычисления интеграла $\phi (\mathbf{x},t)={\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^{\frac{3}{2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}\phi (\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\mathbf{x}-k^{2}t)}d\mathbf{k}$. Метод стационарной фазы можно применять, если $\phi (\mathrm{k})$ удовлетворяет определенным условиям гладкости. Но множество гладких функций $\mathcal{D}$ плотно в $\mathcal{G}$, а операторы $U(t)$ и $U_{\pm }$ограничены, поэтому достаточно доказать существование сильных пределов $U(t)$ на множестве $\mathcal{D}$.
пределы
$$\begin{array}{rl}& \underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\Vert e^{-iHt}{\chi }_n-e^{-i{H}_{0}t}\phi \Vert =\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\Vert e^{-i{E}_{n}t}{\chi }_n-e^{-i{H}_{0}t}\phi \Vert =\\ =& \underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{{\Vert {\chi }_n\Vert }^2+\Vert \phi {\Vert }^2-2\mathrm{Re}{e}^{-i{E}_{n}t}({\chi }_n,e^{-i{H}_{0}t}\phi )}=\sqrt{2}.\end{array}$$

Мы учли, что
$$\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}({\chi }_n,e^{-i{H}_{0}t}\phi )=0,$$

так как вектор $e^{-i{H}_{0}t}\phi$ слабо стремится к нулю при $t\to \pm \mathrm{\infty }$.
Из физических соображений также легко понять, почему состояние $e^{-iнt}{\chi }_n$ не стремится асимптотически к некоторому состоянию свободного движения при $e^{-i{H}_{0}t}\phi$. Вектор $e^{-iHt}{\chi }_n$ описывает состояние частицы, локализованной около рассеивающего центра, а вектор $e^{-i{H}_{0}t}p$ при любом $\phi \in \mathcal{H}$ — состояние частицы, уходящей при $t\to \pm \mathrm{\infty }$ на бесконечность.

Ясно, что (1) несправедливо и для любого вектора $\chi \in \mathcal{B}$, где $\mathcal{B}$ — подпространство, натянутое на собственные векторы ${\chi }_r$ оператора $H$. Будем называть годпространство $\mathcal{B}$ подпространством связанных состояний.

Итак, мы видим, что по произвольному вектору $\psi$, вообще говоря, нельзя построить вектор ${\phi }_{+}$, удовлетворяющий (1) при $t\to +\mathrm{\infty }$. Для того чтобы выяснить, возможно ли по построенному вектору $\psi =U_{-}{\phi }_{-}$найти ${\phi }_{+}$, нам потребуется изучить свойства волновых операторов.

Обозначим через ${\mathcal{R}}_{\pm }$области значений операторов $U_{\pm }$. Покажем, что ${\mathcal{R}}_{\pm }\perp \mathcal{B}$.

Достаточно проверить, чтс векторы $U_{\pm }\phi$ ортогональны к собственным векторам ${\chi }_n$ для любого $\phi \in \mathcal{H}$. Из (6) получим
$$\begin{array}{c}(U_{\pm }\phi ,{\chi }_n)=\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}(e^{iHt}{e}^{-i{H}_{0}t}\phi ,{\chi }_n)=\\ =\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{i{E}_{n}t}(e^{-i{H}_{0}t}\phi ,{\chi }_n)=0.\end{array}$$

Следующее свойство мы приведем без доказательства. Оказывается, что
$${\mathcal{R}}_{+}={\mathcal{R}}_{-}=\mathcal{R}:\mathcal{R}\oplus \mathcal{B}=\mathcal{H}.$$

Доказательство этого утверждения является наиболее сложным в абстрактной теории рассеяния. Подпространство $\mathcal{R}$, совпадающее с областями значений операторов $U_{\pm }$, часто называют подпространством состояний рассеяния.

Покажем далее, что операторы $U_{\pm }$являются изометрическими. Действительно, из сильной сходимости оператора $U(t)$. при $t\to \pm \mathrm{\infty }$ и унитарности этого оператора следует, что
$$(U_{\pm }\phi ,U_{\pm }\phi )=\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}(U(t)\phi ,U(t)\phi )=(\phi ,\phi ),$$
т. е. операторы $U_{\pm }$сохраняют норму вектора $\phi$, и поэтому
$$U_{\pm }^{\ast }{U}_{\pm }=I\text{. }$$

Операторы $U_{\pm }$являются унитарными только при отсутствии собственных векторов дискретного спектра у оператора $H$. В этом случае операторы $U_{\pm }$отображают $\mathcal{H}$ на $\mathcal{H}$ взаимно однозначно, и тогда наряду с (8) имеет место равенство
$$U_{\pm }{U}_{\pm }^{\ast }=I\text{. }$$

Если $H$ имеет дискретный спектр и $\psi \in \mathcal{R}$, тогда найдутся такие векторы ${\phi }_{+}$и ${\phi }_{-}$, что
$$\psi =U_{\pm }{\phi }_{\pm }.$$

Домножая это равенство на $U_{\pm }^{\ast }$ и учитывая (8), получим
$$\begin{array}{c}{U}_{\pm }^{\ast }\psi ={\phi }_{\pm },\\ U_{\pm }{U}_{\pm }^{\ast }\psi =\psi ,\psi \in \mathcal{R}.\end{array}$$

С другой стороны, для $\chi \in \mathcal{B}$ и любого $\phi \in \mathcal{H}$
поэтому
$$(U_{\pm }^{\ast }\chi ,\phi )=(\chi ,U_{\pm }\phi )=0,$$
$$U_{\pm }^{\ast }=0,U_{\pm }{U}_{\pm }^{\ast }\chi =0,\chi \in \mathcal{B}.$$

Любой вектор $\phi \in \mathcal{H}$ можно представить в виде
$$\begin{array}{c}\phi =\chi +\psi ,\chi \in \mathcal{B},\psi \in \mathcal{R}\\ U_{\pm }{U}_{\pm }^{\ast }\phi =\psi =(I-P)\phi ,\end{array}$$
и
где $P$-проектор на подпространстве связанных состояний $\mathcal{B}$. Таким образом, в общем случае вместо (9) имеет место равенство
$$U_{\pm }{U}_{\pm }^{\ast }=I-P,$$
поэтому при наличии дискретного спектра операторы $U_{\pm }$не являются унитарными.

Наконец, покажем, что для любой ограниченной функции $f(s),s\in \mathbf{R}$ справедливо равенство
$$f(H)U_{\pm }=U_{\pm }f\left(H_0\right).$$

Переходя к пределу при $t\to \pm \mathrm{\infty }$ в равенстве
$$e^{iH\tau }{e}^{iHt}{e}^{-i{H}_{0}t}\phi =e^{iH(t+\tau )}{e}^{-i{H}_4(t+\tau )}{e}^{i{H}_0\tau }\phi ,\phi \in \mathcal{H},\tau \in \mathbf{R},$$
получим
$$e^{iH\tau }{U}_{\pm }=U_{\pm }{e}^{i{H}_0\tau },$$
откуда сразу следует (13).
Вернемся к нестационарной задаче о рассеянии, постановка которой была сформулирована в начале параграфа. Если для некоторого потенциала $V$ существуют волновые операторы $U_{\pm }$ и справедливо (7), то нестационарная задача о рассеянии имеет единственное решение.
Вектор $\psi$ находится для произвольного ${\phi }_{-}\in \mathcal{H}$ по формуле
$$\psi =U_{-}{\phi }_{-}.$$

Вектор $\psi \in \mathcal{R}$, поэтому согласно (10)
или
$$\begin{array}{c}{\phi }_{+}=U_{+}^{\ast }\psi \\ {\phi }_{+}=U_{+}^{\ast }{U}_{-}{\phi }_{-},\end{array}$$
что можно переписать в виде
$$\begin{array}{l}{\phi }_{+}=S{\phi }_{-},\\ S=U_{+}^{\ast }{U}_{-}.\end{array}$$
где
Унитарность оператора рассеяния $S$ следует из (8), (12) и очевидных равенств $P{U}_{\pm }=0$. Действительно,
$$S^{\ast }S=U_{-}^{\ast }{U}_{+}{U}_{+}^{\ast }{U}_{-}=U_{-}^{\ast }(I-P)U_{-}=I$$
и аналогично
$$S{S}^{\ast }=I.$$

Далее из (13) следует, что
$$Sf\left(H_0\right)=f\left(H_0\right)S.$$

Запишем (15) в импульсном представлении при $f(s)=s$
$$S(\mathbf{k},{\mathbf{k}}^{\prime }){k^{\prime }}^2=k^{2}S(\mathbf{k},{\mathbf{k}}^{\prime }).$$

Мы видим, что ядро оператора $S$ может быть записано в виде
$$S(\mathbf{k},{\mathbf{k}}^{\prime })=\frac{2S(k,\omega ,{\omega }^{\prime })}{k}\delta (k^2-{k^{\prime }}^2),\mathbf{k}=k\mathit{\omega },$$
и соотношение (14) принимает вид
$$\begin{array}{l}{\phi }_{+}(k,\omega )={\int }_{S_2}d{\omega }^{\prime }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{k^{\prime }}^{2}d{k}^{\prime }\frac{2S(k,\omega ,{\omega }^{\prime })}{k}\frac{\delta (k-k^{\prime })}{2k}{\phi }_{-}(k^{\prime },{\omega }^{\prime })=\\ ={\int }_{S_2}S(k,\omega ,{\omega }^{\prime }){\phi }_{-}(k,{\omega }^{\prime })d{\omega }^{\prime }.\end{array}$$

Сравнивая эту формулу с (40.9), получаем, что функция $S(k,\mathit{\omega },{\mathit{\omega }}^{\prime })$, введенная соотношением (16), совпадает с функцией $\mathcal{S}(k,\mathit{\omega },{\mathit{\omega }}^{\prime })$ из $\mathrm{\$}39$. Эта связь между $\mathcal{S}$-оператором нестационарной теории рассеяния и асимптотикой волновых функций
стационарной задачи о рассеянии может быть установлена, конечно, и в рамках строгой теории.

Существует простая связь между волновыми операторами $U_{\pm }$и введенными в $\mathrm{\S }39$ решєниями уравнения Шредингера $\psi (\mathbf{x},\mathbf{k})$. Напомним, что решение нестационарного уравнения Шредингера $\psi (\mathbf{x},t)$, построенное по функции $\psi (\mathbf{x},\mathbf{k})$, имеет вид
$$\psi (\mathbf{x},t)={\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^{\frac{3}{2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\phi }_{-}(\mathbf{k})\psi (\mathbf{x},\mathbf{k})e^{-i{k}^{2}t}d\mathbf{k}.$$

Здесь мы обозначили функцию $C(\mathbf{k})$ через ${\phi }_{-}(\mathbf{k})$. Мы знаем, что функция $\psi (\mathbf{x},t)$ при $t\to -\mathrm{\infty }$ асимптотически стремится $\mathrm{k}$
$${\phi }_{-}(\mathbf{x},t)={\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^{\frac{3}{2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\phi }_{-}(\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\mathbf{x}}{e}^{-i{k}^{2}t}d\mathbf{k}.$$

Полагая в этих равенствах $t=0$, получим
$$\psi (\mathbf{x})={\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^{\frac{3}{2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}\psi (\mathbf{x},\mathbf{k}){\phi }_{-}(\mathbf{k})d\mathbf{k},{\phi }_{-}(\mathbf{x})={\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^{\frac{3}{2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}{e}^{i\mathbf{k}\mathbf{x}}{\phi }_{-}(\mathbf{k})d\mathbf{k}.$$

Сравнивая эти формулы с $\psi =U_{-}{\phi }_{-}$, записанной в им пульсном представлении
$$\psi (\mathbf{k})={\int }_{{\mathbf{R}}^3}{U}_{-}(\mathbf{k},{\mathbf{k}}^{\prime }){\phi }_{-}\left({\mathbf{k}}^{\prime }\right)d{\mathbf{k}}^{\prime },$$
получаем, что
$$U_{-}(\mathbf{k},{\mathbf{k}}^{\prime })=\frac{1}{(2\pi {)}^3}{\int }_{{\mathbb{R}}^3}{e}^{-i\mathbf{k}\mathbf{x}}\psi (\mathbf{x},{\mathbf{k}}^{\prime })d\mathbf{x}.$$

Можно показать также, что
$$U_{+}(\mathbf{k},{\mathbf{k}}^{\prime })=\frac{1}{(2\pi {)}^3}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}{e}^{-i\mathbf{k}\mathbf{x}}\overline{\psi (\mathbf{x},-{\mathbf{k}}^{\prime })}d\mathbf{x}.$$

Связь операторов $U_{\pm }$с собственными функциями непрерывного спектра оператора $H$ становится особенно наглядной, если выписать (13) при $f(s)=s$, (8) и (12) в импульсном представлении
$$H{U}_{\pm }(\mathbf{p},\mathbf{k})=k^2{U}_{\pm }(\mathbf{p},\mathbf{k})$$
( $H$-оператор Шредингера в импульсном представлении),
$$\begin{array}{c}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}{U}_{\pm }(\mathbf{p},{\mathbf{k}}_1)\overline{U_{\pm }(\mathbf{p},{\mathbf{k}}_2)}d\mathbf{p}=\delta ({\mathbf{k}}_1-{\mathbf{k}}_2),\\ {\int }_{{\mathbf{R}}^3}{U}_{\pm }(\mathbf{p},\mathbf{k})\overline{U_{\pm }({\mathbf{p}}^{\prime },\mathbf{k})}d\mathbf{k}+\sum _n{\chi }_n(\mathbf{p})\overline{{\chi }_n\left({\mathbf{p}}^{\prime }\right)}=\delta (\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime }).\end{array}$$

Формула (17) показывает, что ядра операторов $U_{\pm }$, рассматриваемые как функции от $p$, есть собственные функции непрерывного спектра, соответствующие собственному значению $k^2$. Тогда (18) — условие «ортонормированности» собственных функций $U_{\pm }(\mathbf{p},\mathbf{k}),\mathbf{a}(19)$ — условие полноты систем $\{{\chi }_n(\mathbf{p})$, $U_{\pm }(\mathbf{p},\mathbf{k})\}$.