В этом параграфе мы будем строго придерживаться следующих обозначений. Оператор Шредингера для свободной частицы обозначается через \( H_{0} \), оператор Шредингера частицы
* В классической механике полное сечение \( \sigma=\infty \), если потенциал не является финитным. Особенностью квантовой механики является конечность сечения \( \sigma \) для достаточно быстро убывающих потенциалов.
в поле через \( H \)
\[
H=H_{0}+V,
\]
где \( V \) — оператор потенциальной энергии. Любое решение нестационарного уравнения Шредингера для частицы в поле обозначается через \( \psi(t) \). Этот вектор однозначно определяется своим значением при \( t=0 \), которое мы обозначаем через \( \psi \), т. е.
\[
\psi(t)=e^{-i H t} \psi,
\]
(напомним, что \( e^{-i H t} \) — оператор эволюции).
Аналогично любое решение уравнения Шредингера для свободной частицы обозначается символом \( \varphi(t) \), а его значение при \( t=0 \) через \( \varphi \),
\[
\varphi(t)=e^{-i H_{0} t} \varphi .
\]

Различные решения \( \varphi(t) \) могут снабжаться дополнительными индексами. Соответствующие векторам \( \psi(t), \psi, \varphi(t), \varphi \) волновые функции будут записываться как \( \psi(\mathbf{x}, t), \psi(\mathbf{x}), \varphi(\mathbf{x}, t) \), \( \varphi(\mathbf{x}) \) в координатном представлении и \( \psi(\mathbf{p}, t), \psi(\mathbf{p}), \varphi(\mathbf{p}, t) \), \( \varphi(p) \) в импульсном представлении. Наконец, собственные векторы оператора \( H \) (если они существуют) будем обозначать через \( \chi_{n}, H \chi_{n}=E_{n} \chi_{n} \).

В \( \S 40 \) мы построили решение уравнения Шредингера \( \psi(\mathbf{x}, t)=e^{-i H t} \boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}) \), которое при \( t \rightarrow \mp \infty \) асимптотически стремилось к некоторым решениям уравнения Шредингера для свободной частицы \( \varphi_{\mp}(\mathbf{x}, t)=e^{-i H_{0} t} \varphi_{\mp}(\mathbf{x}) \), поэтому можно ожидать, что для такого решения \( \psi(t) \) справедливы равенства
\[
\lim _{t \rightarrow \mp \infty}\left\|e^{-i H t} \Psi-e^{-i H_{0} t} \varphi_{\mp}\right\|=0 .
\]

Физическую картину рассеяния можно представлять следующим образом. Задолго до рассеяния частица свободно движется вдали от рассеивающего центра, затем она попадает в зону действия потенциала (происходит рассеяние) и, наконец, через достаточно большой промежуток времени движение частицы снова становится свободным. Поэтому естественной представляется следующая постановка нестационарной задачи о рассеянии:
1. По произвольному вектору \( \varphi_{-} \)из пространства состояний \( \mathscr{C} \) построить вектор \( \psi \) такой, что (1) справедливо при \( t \rightarrow-\infty \).
2. По построенному векэору \( \psi \) найти вектор \( \varphi_{+} \in \mathscr{H} \) такой, что (1) справедливо при \( t \rightarrow+\infty \).

Вектор \( \psi(t)=e^{-i H t} \psi \) описывает такое состояние частицы, которое в далеком прошлом совпадает с \( \varphi_{-}(t)=e^{-i H_{0}} t_{-} \)и при \( t \rightarrow+\infty \) переходит в \( \varphi_{+}(t)=e^{-i H_{0} t} \varphi_{+} \). Физика интересует связь между векторами \( \varphi_{-} \)и \( \varphi_{+} \). Поэтому к пунктам 1 и 2 постановки задачи можно добавить следующее.

3. Показать, что существует такой унитарный оператор \( S \), что
\[
\varphi_{+}=S \varphi_{-} .
\]

Начнем с пункта 1. Поставим задачу несколько шире и посмотрим, возможно ли по произвольным векторам \( \varphi-\in \mathscr{H} \) и \( \varphi_{+} \in \mathscr{H} \) построить такие векторы \( \psi \), что (1) справедливо при \( t \rightarrow-\infty \) и \( t \rightarrow+\infty \) соответственно (разумеется, векторы \( \psi \), построенные по \( \varphi_{-} \)и по \( \varphi_{+} \), не обязаны совпадать).

Переписывая (1) с учетом унитарности оператора \( e^{-i H t} \) в виде
\[
\lim _{t \rightarrow \mp \infty}\left\|\psi-e^{i H t} e^{-i H_{0} t} \varphi_{\mp}\right\|=0,
\]

мы видим, что поставленный вопрос сводится к существованию сильных пределов
\[
\lim _{t \rightarrow \pm \infty} e^{i H t} e^{-i H_{0} t}=U_{ \pm} .
\]

Операторы \( U_{ \pm} \), если они существуют, называются волновыми операторами. Если построен оператор \( U_{-} \), то вектор \( \psi=U_{-} \varphi_{-} \) удовлетворяет пункту 1 постановки задачи.

Найдем простое достаточное условие существования волновых операторов. Рассмотрим оператор
\[
U(t)=e^{i H t} e^{-i H_{0} t},
\]

вычислим его производную *
\[
\frac{d U(t)}{d t}=i e^{i H t}\left(H-H_{0}\right) e^{-i H_{0} t}=i e^{i H t} V e^{-i H_{0} t} .
\]

Очевидно, что \( U(0)=I \), поэтому
\[
\begin{array}{l}
U(t)=I+i \int_{0}^{t} e^{i H t} V e^{-i H_{0} t} d t, \\
U_{ \pm}=I+i \int_{0}^{ \pm \infty} e^{i H t} V e^{-i H_{0} t} d t .
\end{array}
\]

Вопрос о существовании операторов \( U_{ \pm} \)мы свели к вопросу — сходимости интегралов (3) на верхнем пределе. Достаточным условием сходимости (3) является существование интегралов
\[
\int_{0}^{ \pm \infty}\left\|V e^{-i H_{0} t} \varphi\right\| d t
\]
для любого \( \varphi \in \mathscr{H} \) (мы учли унитарность оператора \( e^{i H t} \) ). Наконец, интегралы (4) сходятся на верхних пределах, если для
* Обратим внимание на запись производной, которая учитывает некоммутативность \( H \) и \( H_{0} \)
любого \( \varphi \in \mathscr{H} \)
\[
\left\|V e^{-i H_{0} t} \varphi\right\|=o\left(\frac{1}{|t|^{1+\varepsilon}}\right), \quad \varepsilon>0, \quad|t| \rightarrow \infty .
\]

Посмотрим, для каких потенциалов выполняется (5). В координатном представлении мы имеем оценку * для волновой функции \( \varphi(\mathbf{x}, t)=e^{-i H_{0} t} \varphi(\mathbf{x}) \)
\[
|\varphi(\mathbf{x}, t)|<\frac{C}{|t|^{\frac{3}{2}}}
\]
равномерно относительно \( \mathbf{x} \). Тогда
\[
\left\|V e^{-i H_{8} t} \varphi\right\|^{2}=\int_{R^{3}}|V(\mathbf{x}) \varphi(\mathbf{x}, t)|^{2} d \mathbf{x}<\frac{C}{|t|^{3}} \int_{R^{3}}|V(\mathbf{x})|^{2} d \mathbf{x} .
\]

Мы видим, что условие (5) выполняется, если потенциал квадратично интегрируемая функция. Разумеется, это условие не является необходимым. Класс потенциалов, для которых существуют \( U_{ \pm} \), шире, но существуют потенциалы, для которых нельзя построить волновые операторы. Важнейшим примером такого потенциала является кулоновский потенциал \( V(r)= \) \( =\alpha / r \). Причиной отсутствия волновых операторов для кулоновского потенциала является его слишком медленное убывание на бесконечности. Решения уравнения Шредингера для кулоновского потенциала не стремятся к решениям для свободной частицы при \( t \rightarrow \pm \infty \) (частица «чувствует» потенциал даже на бесконечности). В связи с этим и нестационарная, и стационарная постановки задачи о рассеянии в кулоновском поле требуют серьезной модификации. Асимптотический вид кулоновских функций \( \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \) отличен от (39.7).

Вернемся к рассмотрению потенциалов, для которых существуют волновые операторы \( U_{ \pm} \)и обсудим пункт 2. Можно поставить такой вопрос: для любого ли вектора \( \psi \in \mathscr{H} \) найдутся векторы \( \varphi_{+} \)и \( \varphi_{-} \)такие, что (1) справедливо при \( t \rightarrow \pm \infty \).

Оказывается, что если у оператора \( H \) существуют собственные векторы \( \chi_{n},\left\|\chi_{n}\right\|=1 \), то для них равенство (1) несправедливо ни при каких \( \varphi_{+} \)и \( \varphi_{-} \)Действительно, в этом случае легко можно сосчитать для произвольного \( \varphi \in \mathscr{H},\|\varphi\|=1 \)
* Эта оценка получается а основе метода стационарной фазы для асимптотического вычисления интеграла \( \varphi(\mathbf{x}, t)=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} \varphi(\mathbf{k}) e^{i\left(\mathbf{k x}-k^{2} t\right)} d \mathbf{k} \). Метод стационарной фазы можно применять, если \( \varphi(\mathrm{k}) \) удовлетворяет определенным условиям гладкости. Но множество гладких функций \( \mathscr{D} \) плотно в \( \mathscr{G} \), а операторы \( U(t) \) и \( U_{ \pm} \)ограничены, поэтому достаточно доказать существование сильных пределов \( U(t) \) на множестве \( \mathscr{D} \).
пределы
\[
\begin{aligned}
& \lim _{t \rightarrow \pm \infty}\left\|e^{-i H t} \chi_{n}-e^{-i H_{0} t} \varphi\right\|=\lim _{t \rightarrow \pm \infty}\left\|e^{-i E_{n} t} \chi_{n}-e^{-i H_{0} t} \varphi\right\|= \\
= & \lim _{t \rightarrow \pm \infty} \sqrt{\left\|\chi_{n}\right\|^{2}+\|\varphi\|^{2}-2 \operatorname{Re} e^{-i E_{n} t}\left(\chi_{n}, e^{-i H_{0} t} \varphi\right)}=\sqrt{2} .
\end{aligned}
\]

Мы учли, что
\[
\lim _{t \rightarrow \pm \infty}\left(\chi_{n}, e^{-i H_{0} t} \varphi\right)=0,
\]

так как вектор \( e^{-i H_{0} t} \varphi \) слабо стремится к нулю при \( t \rightarrow \pm \infty \).
Из физических соображений также легко понять, почему состояние \( e^{-i н t} \chi_{n} \) не стремится асимптотически к некоторому состоянию свободного движения при \( e^{-i H_{0} t} \varphi \). Вектор \( e^{-i H t} \chi_{n} \) описывает состояние частицы, локализованной около рассеивающего центра, а вектор \( e^{-i H_{0} t} p \) при любом \( \varphi \in \mathscr{H} \) — состояние частицы, уходящей при \( t \rightarrow \pm \infty \) на бесконечность.

Ясно, что (1) несправедливо и для любого вектора \( \chi \in \mathscr{B} \), где \( \mathscr{B} \) — подпространство, натянутое на собственные векторы \( \chi_{r} \) оператора \( H \). Будем называть годпространство \( \mathscr{B} \) подпространством связанных состояний.

Итак, мы видим, что по произвольному вектору \( \psi \), вообще говоря, нельзя построить вектор \( \varphi_{+} \), удовлетворяющий (1) при \( t \rightarrow+\infty \). Для того чтобы выяснить, возможно ли по построенному вектору \( \psi=U_{-} \varphi_{-} \)найти \( \varphi_{+} \), нам потребуется изучить свойства волновых операторов.

Обозначим через \( \mathscr{R}_{ \pm} \)области значений операторов \( U_{ \pm} \). Покажем, что \( \mathscr{R}_{ \pm} \perp \mathscr{B} \).

Достаточно проверить, чтс векторы \( U_{ \pm} \varphi \) ортогональны к собственным векторам \( \chi_{n} \) для любого \( \varphi \in \mathscr{H} \). Из (6) получим
\[
\begin{array}{c}
\left(U_{ \pm} \varphi, \chi_{n}\right)=\lim _{t \rightarrow \pm \infty}\left(e^{i H t} e^{-i H_{0} t} \varphi, \chi_{n}\right)= \\
=\lim _{t \rightarrow \pm \infty} e^{i E_{n} t}\left(e^{-i H_{0} t} \varphi, \chi_{n}\right)=0 .
\end{array}
\]

Следующее свойство мы приведем без доказательства. Оказывается, что
\[
\mathscr{R}_{+}=\mathscr{R}_{-}=\mathscr{R}: \quad \mathscr{R} \oplus \mathscr{B}=\mathscr{H} .
\]

Доказательство этого утверждения является наиболее сложным в абстрактной теории рассеяния. Подпространство \( \mathscr{R} \), совпадающее с областями значений операторов \( U_{ \pm} \), часто называют подпространством состояний рассеяния.

Покажем далее, что операторы \( U_{ \pm} \)являются изометрическими. Действительно, из сильной сходимости оператора \( U(t) \). при \( t \rightarrow \pm \infty \) и унитарности этого оператора следует, что
\[
\left(U_{ \pm} \varphi, U_{ \pm} \varphi\right)=\lim _{t \rightarrow \pm \infty}(U(t) \varphi, U(t) \varphi)=(\varphi, \varphi),
\]
т. е. операторы \( U_{ \pm} \)сохраняют норму вектора \( \varphi \), и поэтому
\[
U_{ \pm}^{*} U_{ \pm}=I \text {. }
\]

Операторы \( U_{ \pm} \)являются унитарными только при отсутствии собственных векторов дискретного спектра у оператора \( H \). В этом случае операторы \( U_{ \pm} \)отображают \( \mathscr{H} \) на \( \mathscr{H} \) взаимно однозначно, и тогда наряду с (8) имеет место равенство
\[
U_{ \pm} U_{ \pm}^{*}=I \text {. }
\]

Если \( H \) имеет дискретный спектр и \( \psi \in \mathscr{R} \), тогда найдутся такие векторы \( \varphi_{+} \)и \( \varphi_{-} \), что
\[
\psi=U_{ \pm} \varphi_{ \pm} .
\]

Домножая это равенство на \( U_{ \pm}^{*} \) и учитывая (8), получим
\[
\begin{array}{c}
U_{ \pm}^{*} \psi=\varphi_{ \pm}, \\
U_{ \pm} U_{ \pm}^{*} \psi=\psi, \quad \psi \in \mathscr{R} .
\end{array}
\]

С другой стороны, для \( \chi \in \mathscr{B} \) и любого \( \varphi \in \mathscr{H} \)
поэтому
\[
\left(U_{ \pm}^{*} \chi, \varphi\right)=\left(\chi, U_{ \pm} \varphi\right)=0,
\]
\[
U_{ \pm}^{*}=0, \quad U_{ \pm} U_{ \pm}^{*} \chi=0, \quad \chi \in \mathscr{B} .
\]

Любой вектор \( \varphi \in \mathscr{H} \) можно представить в виде
\[
\begin{array}{c}
\varphi=\chi+\psi, \quad \chi \in \mathscr{B}, \quad \psi \in \mathscr{R} \\
U_{ \pm} U_{ \pm}^{*} \varphi=\psi=(I-P) \varphi,
\end{array}
\]
и
где \( P \)-проектор на подпространстве связанных состояний \( \mathscr{B} \). Таким образом, в общем случае вместо (9) имеет место равенство
\[
U_{ \pm} U_{ \pm}^{*}=I-P,
\]
поэтому при наличии дискретного спектра операторы \( U_{ \pm} \)не являются унитарными.

Наконец, покажем, что для любой ограниченной функции \( f(s), s \in \mathbf{R} \) справедливо равенство
\[
f(H) U_{ \pm}=U_{ \pm} f\left(H_{0}\right) .
\]

Переходя к пределу при \( t \rightarrow \pm \infty \) в равенстве
\[
e^{i H \tau} e^{i H t} e^{-i H_{0} t} \varphi=e^{i H(t+\tau)} e^{-i H_{4}(t+\tau)} e^{i H_{0} \tau} \varphi, \quad \varphi \in \mathscr{H}, \tau \in \mathbf{R},
\]
получим
\[
e^{i H \tau} U_{ \pm}=U_{ \pm} e^{i H_{0} \tau},
\]
откуда сразу следует (13).
Вернемся к нестационарной задаче о рассеянии, постановка которой была сформулирована в начале параграфа. Если для некоторого потенциала \( V \) существуют волновые операторы \( U_{ \pm} \) и справедливо (7), то нестационарная задача о рассеянии имеет единственное решение.
Вектор \( \psi \) находится для произвольного \( \varphi_{-} \in \mathscr{H} \) по формуле
\[
\psi=U_{-} \varphi_{-} .
\]

Вектор \( \psi \in \mathscr{R} \), поэтому согласно (10)
или
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{+}=U_{+}^{*} \psi \\
\varphi_{+}=U_{+}^{*} U_{-} \varphi_{-},
\end{array}
\]
что можно переписать в виде
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{+}=S \varphi_{-}, \\
S=U_{+}^{*} U_{-} .
\end{array}
\]
где
Унитарность оператора рассеяния \( S \) следует из (8), (12) и очевидных равенств \( P U_{ \pm}=0 \). Действительно,
\[
S^{*} S=U_{-}^{*} U_{+} U_{+}^{*} U_{-}=U_{-}^{*}(I-P) U_{-}=I
\]
и аналогично
\[
S S^{*}=I .
\]

Далее из (13) следует, что
\[
S f\left(H_{0}\right)=f\left(H_{0}\right) S .
\]

Запишем (15) в импульсном представлении при \( f(s)=s \)
\[
S\left(\mathbf{k}, \mathbf{k}^{\prime}\right){k^{\prime}}^{2}=k^{2} S\left(\mathbf{k}, \mathbf{k}^{\prime}\right) .
\]

Мы видим, что ядро оператора \( S \) может быть записано в виде
\[
S\left(\mathbf{k}, \mathbf{k}^{\prime}\right)=\frac{2 S\left(k, \omega, \omega^{\prime}\right)}{k} \delta\left(k^{2}-{k^{\prime}}^{2}\right), \quad \mathbf{k}=k \boldsymbol{\omega},
\]
и соотношение (14) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{+}(k, \omega)=\int_{S_{2}} d \omega^{\prime} \int_{0}^{\infty}{k^{\prime}}^{2} d k^{\prime} \frac{2 S\left(k, \omega, \omega^{\prime}\right)}{k} \frac{\delta\left(k-k^{\prime}\right)}{2 k} \varphi_{-}\left(k^{\prime}, \omega^{\prime}\right)= \\
=\int_{S_{2}} S\left(k, \omega, \omega^{\prime}\right) \varphi_{-}\left(k, \omega^{\prime}\right) d \omega^{\prime} .
\end{array}
\]

Сравнивая эту формулу с (40.9), получаем, что функция \( S\left(k, \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega}^{\prime}\right) \), введенная соотношением (16), совпадает с функцией \( \mathcal{S}\left(k, \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega}^{\prime}\right) \) из \( \$ 39 \). Эта связь между \( \mathcal{S} \)-оператором нестационарной теории рассеяния и асимптотикой волновых функций
стационарной задачи о рассеянии может быть установлена, конечно, и в рамках строгой теории.

Существует простая связь между волновыми операторами \( U_{ \pm} \)и введенными в \( \S 39 \) решєниями уравнения Шредингера \( \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \). Напомним, что решение нестационарного уравнения Шредингера \( \psi(\mathbf{x}, t) \), построенное по функции \( \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \), имеет вид
\[
\psi(\mathbf{x}, t)=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} \varphi_{-}(\mathbf{k}) \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) e^{-i k^{2} t} d \mathbf{k} .
\]

Здесь мы обозначили функцию \( C(\mathbf{k}) \) через \( \varphi_{-}(\mathbf{k}) \). Мы знаем, что функция \( \psi(\mathbf{x}, t) \) при \( t \rightarrow-\infty \) асимптотически стремится \( \mathrm{k} \)
\[
\varphi_{-}(\mathbf{x}, t)=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} \varphi_{-}(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k x}} e^{-i k^{2} t} d \mathbf{k} .
\]

Полагая в этих равенствах \( t=0 \), получим
\[
\psi(\mathbf{x})=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) \varphi_{-}(\mathbf{k}) d \mathbf{k}, \quad \varphi_{-}(\mathbf{x})=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} e^{i \mathbf{k x}} \varphi_{-}(\mathbf{k}) d \mathbf{k} .
\]

Сравнивая эти формулы с \( \psi=U_{-} \varphi_{-} \), записанной в им пульсном представлении
\[
\psi(\mathbf{k})=\int_{\mathbf{R}^{3}} U_{-}\left(\mathbf{k}, \mathbf{k}^{\prime}\right) \varphi_{-}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right) d \mathbf{k}^{\prime},
\]
получаем, что
\[
U_{-}\left(\mathbf{k}, \mathbf{k}^{\prime}\right)=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int_{\mathbb{R}^{3}} e^{-i \mathbf{k x}} \psi\left(\mathbf{x}, \mathbf{k}^{\prime}\right) d \mathbf{x} .
\]

Можно показать также, что
\[
U_{+}\left(\mathbf{k}, \mathbf{k}^{\prime}\right)=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int_{\mathbf{R}^{3}} e^{-i \mathbf{k x}} \overline{\psi\left(\mathbf{x},-\mathbf{k}^{\prime}\right)} d \mathbf{x} .
\]

Связь операторов \( U_{ \pm} \)с собственными функциями непрерывного спектра оператора \( H \) становится особенно наглядной, если выписать (13) при \( f(s)=s \), (8) и (12) в импульсном представлении
\[
H U_{ \pm}(\mathbf{p}, \mathbf{k})=k^{2} U_{ \pm}(\mathbf{p}, \mathbf{k})
\]
( \( H \)-оператор Шредингера в импульсном представлении),
\[
\begin{array}{c}
\int_{\mathbf{R}^{3}} U_{ \pm}\left(\mathbf{p}, \mathbf{k}_{1}\right) \overline{U_{ \pm}\left(\mathbf{p}, \mathbf{k}_{2}\right)} d \mathbf{p}=\delta\left(\mathbf{k}_{1}-\mathbf{k}_{2}\right), \\
\int_{\mathbf{R}^{3}} U_{ \pm}(\mathbf{p}, \mathbf{k}) \overline{U_{ \pm}\left(\mathbf{p}^{\prime}, \mathbf{k}\right)} d \mathbf{k}+\sum_{n} \chi_{n}(\mathbf{p}) \overline{\chi_{n}\left(\mathbf{p}^{\prime}\right)}=\delta\left(\mathbf{p}-\mathbf{p}^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Формула (17) показывает, что ядра операторов \( U_{ \pm} \), рассматриваемые как функции от \( p \), есть собственные функции непрерывного спектра, соответствующие собственному значению \( k^{2} \). Тогда (18) — условие «ортонормированности» собственных функций \( U_{ \pm}(\mathbf{p}, \mathbf{k}), \mathbf{a}(19) \) — условие полноты систем \( \left\{\chi_{n}(\mathbf{p})\right. \), \( \left.U_{ \pm}(\mathbf{p}, \mathbf{k})\right\} \).