Мы уже упоминали о том, что построенная конечномерная модель слишком бедна, чтобы соответствовать реальности, и что ее можно усовершенствовать, взяв в качестве пространства состояний комплексное гильбертово пространство \( \mathscr{H} \), а в качестве наблюдаемых – самосопряженные операторы в этом пространстве.

Можно показать, что основная формула для среднего значения наблюдаемой \( A \) в состоянии \( \omega \) сохраняет свой внд
\[
\langle A \mid \omega\rangle=\operatorname{Tr} A M,
\]

где \( M \)-положительный самосопряженный оператор в \( \mathscr{H} \) со следом, равным единице.

Для любого самосопряженного оператора может быть построена спектральная функция \( P_{A}(\lambda) \), т. е. семейство проекторов со следующими свойствами:
1) \( P_{A}(\lambda) \leqslant P_{A}(\mu) \) при \( \lambda<\mu \), т. е. \( P_{A}(\lambda) P_{A}(\mu)=P_{A}(\lambda) \),
2) \( P_{A}(\lambda) \) непрерывен справа, т. е. \( \lim _{\mu \rightarrow \lambda+0} P_{A}(\mu)=P_{A}(\lambda) \),
3) \( P_{A}(-\infty)=\lim _{\lambda \rightarrow-\infty} P_{A}(\lambda)=0, \quad P_{A}(\infty)=I \),
4) \( P_{A}(\lambda) B=B P_{A}(\lambda) \), если \( B \)-любой ограниченный оператор, коммутирующий с \( A \).

Вектор ч принадлежит области определения оператора \( A \) \( (\varphi \in D(A)) \), если
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{2} d\left(P_{A}(\lambda) \varphi, \varphi\right)<\infty
\]

и тогда
\[
A \varphi=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d P_{A}(\lambda) \varphi .
\]

Функция от оператора \( f(A) \) определяется формулой
\[
f(A) \varphi=\int_{-\infty}^{\infty} f(\lambda) d P_{A}(\lambda) \varphi .
\]

Область определения этого оператора \( D(f(A)) \) есть множество элементов \( \varphi \), для которых
\[
\int_{-\infty}^{\infty}|f(\lambda)|^{2} d\left(P_{A}(\lambda) \varphi, \varphi\right)<\infty .
\]

Спектр самосопряженного оператора представляет собой замкнутое множество точек вещественной оси, состоящее из всех точек роста спектральной функции \( P_{A}(\lambda) \). Скачки этой функции соответствуют собственным числам оператора \( A_{\text {, }} \) а \( P_{A}(\lambda+0)-P_{A}(\lambda-0) \) есть проектор на собственное подпространство, отвечающее собственному числу \( \lambda \). Собственные числа образуют точечный спектр. Если собственные векторы образуют полную систему, то оператор имеет чисто точечный спектр. В общем случае пространство может быть разбито

в прямую сумму ортогональных и инвариантных относительно \( A \) подпространств \( \mathscr{C}_{1} \) и \( \mathscr{H}_{2} \) таких, что в первом оператор \( A \) имеет чисто точечный спектр, а во втором не имеет собственных векторов. Спектр оператора в подпространстве \( \mathscr{H}_{2} \) называют непрерывным.

Из основной формулы (1) следует, что функция распределения наблюдаемой \( A \) в состоянии \( \omega \leftrightarrow M \) в общем случае имеет вид
\[
\omega_{A}(\lambda)=\operatorname{Tr} P_{A}(\lambda) M,
\]

а для чистых состояний \( M=P_{\psi},\|\psi\|=1 \)
\[
\omega_{A}(\lambda)=\left(P_{A}(\lambda) \psi, \psi\right) .
\]

В отличие от конечномерной модели функция \( \omega_{A}(\lambda) \) не обязательно является функцией скачков. Множество допустимых значений наблюдаемой \( A \) совпадает с множеством точек роста функций \( \omega_{A}(\lambda) \) для всевозможных состояний \( \omega \). Поэтому можно утверждать, что множество возможных результатов измерения наблюдаемой \( A \) совпадает с ее спектром. Мы видим, что теория позволяет описывать наблюдаемые как с дискретным, так и непрерывным множеством значений.

Теперь наша задача – описать правила выбора пространств состояний и научиться строить основные наблюдаемые для реальных физических систем. Здесь мы будем описывать квантовые системы, имеющие классический аналог. Задача ставится следующим образом. Пусть мы имеем классическую систему, т. е. заданы ее фазовое пространство и функция Гамильтона. Нужно найти квантовую систему, т. е. построить пространство состояний и оператор Шредингера так, чтобы между классическими наблюдаемыми (функциями на фазовом пространстве) и квантовыми наблюдаемыми (операторами в пространстве состояний) было установлено взаимно-однозначное соответствие \( f \leftrightarrow A_{f} \). При этом функции Гамильтона должен соответствовать оператор Шредингера. Это взаимно-однозначное соответствие ни в коем случае не может быть изоморфизмом \( f g \leftarrow 1 \rightarrow A_{f} \circ A_{g} \), \( \{f, g\} \leftarrow / \rightarrow\left\{A_{f}, A_{g}\right\}_{h} \) (именно поэтому квантовая механика отличается от классической), но должно становиться изоморфизмом при \( h \rightarrow 0 \) (что обеспечит предельный переход квантовой механики в классическую). Обычно квантовые наблюдаемые \( A_{t} \) имеют те же названия, что и классические \( f \). Заметим, что мы не должны исключать возможности существования квантовых систем, не имеющих простого классического аналога. У таких систем могут быть наблюдаемые, которым не соответствует никакая функция обобщенных координат и импульсов.

В полном объеме правила соответствия и предельный переход в классическую механику будут описаны в \( \$ 14 \). Пока мы установим такое соответствие только между наиболее важными
наблюдаемыми и покажем, как строится пространство состояний для простейших систем.

Рассмотрим сначала материальную точку. Ее фазовое пространство шестимерно и точка в нем определяется заданием трех декартовых координат \( q_{1}, q_{2}, q_{3} \) и трех проекций импульса \( p_{1} \), \( p_{2}, p_{3} \). Нетрудно сосчитать классические скобки Пуассона для любой пары из этих наблюдаемых
\[
\left\{q_{i}, q_{j}\right\}=0, \quad\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=0, \quad\left\{p_{i}, q_{j}\right\}=\delta_{i, l}, \quad i, j=1,2,3 .
\]

Для частицы в квантовой механике мы введем шесть наблюдаемых \( Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, P_{1}, P_{2}, P_{3} \), у которых квантовые скобки Пуассона имеют те же значения
\[
\left\{Q_{i}, Q_{l}\right\}_{h}=0, \quad\left\{P_{i}, P_{j}\right\}_{h}=0, \quad\left\{P_{i}, Q_{j}\right\}_{h}=I \delta_{l j},
\]

где \( I \) – единичный оператор. Эти наблюдаемые будем называть координатами и проекциями импульса.

В дальнейшем мы сумеем оправдать такое сопоставление операторов координатам и импульсам следующими обстоятельствами. Изучив наблюдаемые, определенные соотношениями (6), мы увидим, что они обладают многими свойствами классических координат и импульсов. Например, для свободной частицы проекции импульса являются интегралами движения, a средние значения координат линейно зависят от времени (равномерное прямолинейное движение).

Далее, соответствие \( q_{i} \leftrightarrow Q_{i}, p_{i} \leftrightarrow P_{i}, i=1,2,3 \), явится для нас основой для построения общего соответствия \( f(q, p) \leftrightarrow \) \( \leftrightarrow A_{f} \). Определенные таким образом квантовые наблюдаемые, в том числе координаты и импульсы, при предельном переходе превращаются в соответствующие классические наблюдаемые *. конкретной, и ее результаты могут проверяться в экспериментах. Именно согласие теории с экспериментом следует считать окончательным оправданием предположения (6) и всей квантовой механики.

Условия (6) называются условиями квантования Гейзенберга. Из этих условий и формулы (7.1) сразу следуют соотношения неопределенности Гейзенберга для координат и импульсов. Эти соотношения мы уже обсуждали.
Часто формулы (6) записываются для коммутаторов
\[
\left[Q_{j}, Q_{k}\right]=0,\left[P_{f}, P_{k}\right]=0,\left[Q_{j}, P_{k}\right]=i h \delta_{j k} .
\]

Эти соотношения называются перестановочными соотношениями Гейзенберга.
– Точный смысл этого утверждения обсуждается в § I4.

Имеет место замечательная теорема Неймана – Стоуна. Мы сформулируем ее без доказательства *.

У системы соотношений (7) существует единственное неприводимое представление операторами в гильбертовом пространстве (с точностью до унитарного преобразования).

Напомним, что означает неприводимость представления. Обычно используют два эквивалентных определения:
1) представление соотношений (7) называется неприводимым, если не существует оператора, отличного от кратного единичному \( C I \) и коммутирующего со всеми операторами \( Q_{i} \) и \( P_{i} \);
2) представление называется неприводимым, если не существует в \( \mathscr{H} \) подпространства \( \mathscr{H}_{0} \), инвариантного относительно всех операторов \( Q_{i} \) и \( P_{i} \).

Проверим эквивалентность этих определений. Если существует инвариантное относительно \( Q_{i} \) и \( P_{-i} \) подпространство \( \mathscr{H}_{0} \), то проектор на это подпространство \( P_{\mathscr{H}_{0}} \) коммутирует с \( Q_{i} \) и \( P_{i} \) и, очевидно, \( P_{\mathscr{H}_{0}}
eq C I \).

Если есть оператор \( A
eq C I \), коммутирующий со всеми \( Q_{i} \) и \( P_{i} \), то \( A^{*} \), а значит, и \( A+A^{*} \) коммутируют с \( Q_{i} \) и \( P_{i} \). Поэтому с самого начала можно считать \( A \) самосопряженным. Самосопряженный оператор \( A \) имеет спектральную функцию \( P_{A}(\lambda) \), которая при некотором \( \lambda \) отлична от нуля и \( C I \). Оператор \( P_{A}(\lambda) \) коммутирует с \( Q_{i} \) и \( P_{i} \), и, следовательно, подпространство \( \mathscr{H}_{0} \), на которое он проектирует, инвариантно относительно \( Q_{i} \) и \( P_{i} \).

Из теоремы Неймана – Стоуна следует, что если мы найдем какое-либо представление перестановочных соотношений Гейзенберга и докажем его неприводимость, то все остальные неприводимые представления будут отличаться от него унитарным преобразованием.

Мы знаем, что физическое толкование теории основано на формуле для среднего значения \( \langle A \mid \omega\rangle=\operatorname{Tr} A M \). Правая часть этой формулы не меняется при унитарном преобразовании всех операторов. Поэтому физические результаты теории не зависят от того, какое из унитарно эквивалентных представлений мы выбираем.