Оператор Шредингера для свободной частицы в координатном представлении имеет вид
\[
H=-\frac{h^{2}}{2 m} \Delta .
\]
Уравнение для собственных функций (при \( h=1, m=1 / 2 \) )
имеет решения
\[
-\Delta \psi=k^{2} \psi, \quad E=k^{2}>0
\]
\[
\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x})=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} e^{i \mathbf{k} \mathbf{x}} .
\]

Нормировочная константа выбрана из условия
\[
\int_{\mathbf{R}^{3}} \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x}) \overline{\psi_{\mathbf{k}^{\prime}}(\mathbf{x})} d \mathbf{x}=\delta\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}^{\prime}\right) .
\]

Мы видим, что спектр оператора \( H \) является положительным, непрерывным, бесконечнократным. Қаждому направлению вектора \( \mathbf{k} \) соответствует собственная функция (3) с собственным значением \( k^{2} \). Поэтому собственных функций столько, сколько точек на единичной сфере.

Решение задачи Коши для нестационарного уравнения Шредингера
\[
i \frac{d \psi}{d t}=H \psi, \quad \psi(0)=\varphi,
\]
как и в одномерном случае, легче всего получить в импульсном представлении:
\[
i \frac{\partial \psi(\mathbf{p}, t)}{\partial t}=p^{2} \Psi(\mathbf{p}, t), \quad \psi(\mathbf{p}, 0)=\varphi(\mathbf{p}) .
\]

Очевидно, что
\[
\psi(\mathbf{p}, t)=\varphi(\mathbf{p}) e^{-i p^{2} t} .
\]

Переходя к координатному представлению, получим
\[
\psi(\mathbf{x}, t)=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} \varphi(\mathbf{p}) e^{i\left(\mathbf{p} \mathbf{x}-p^{2} t\right)} d \mathbf{p}=\int_{\mathbf{R}^{3}} \varphi(\mathbf{k}) \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x}) e^{-i k^{2} t} d \mathbf{k} .
\]

Так же, как и в одномерном случае, функции \( \psi(\mathbf{x}, t) \) или \( \psi(\mathrm{p}, t) \) описывают инфинитное движение частицы с независящей от времени функцией распределения импульса. Используя метод стационарной фазы, можно показать, что область, в которой велика вероятность обнаружить частицу, перемещается с классической скоростью \( \mathbf{v}=2 \mathbf{p}_{0} \) (мы считаем, что носитель функции \( \varphi(\mathbf{p}) \) сосредоточен в окрестности точки \( \mathbf{p}_{0} \) ). Справедлива оценка
\[
\left\lvert\, \psi\left(\mathbf{x}, t, \left\lvert\,<\frac{C}{|t|^{3 / 2}}\right.,\right.\right.
\]
где \( C \) – некоторая постоянная. Наконец, как и в одномерном случае,
\[
\lim _{t \rightarrow \infty}(\xi, \psi(t))=0
\]
для любого \( \xi \in \mathscr{H} \).