Оператор Шредингера для свободной частицы в координатном представлении имеет вид
$$H=-\frac{h^2}{2m}\mathrm{\Delta }.$$
Уравнение для собственных функций (при $h=1,m=1/2$ )
имеет решения
$$-\mathrm{\Delta }\psi =k^2\psi ,E=k^2>0$$
$${\psi }_{\mathbf{k}}(\mathbf{x})={\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^{\frac{3}{2}}{e}^{i\mathbf{k}\mathbf{x}}.$$

Нормировочная константа выбрана из условия
$${\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\psi }_{\mathbf{k}}(\mathbf{x})\stackrel{―}{{\psi }_{{\mathbf{k}}^{\prime }}(\mathbf{x})}d\mathbf{x}=\delta (\mathbf{k}-{\mathbf{k}}^{\prime }).$$

Мы видим, что спектр оператора $H$ является положительным, непрерывным, бесконечнократным. Қаждому направлению вектора $\mathbf{k}$ соответствует собственная функция (3) с собственным значением $k^2$. Поэтому собственных функций столько, сколько точек на единичной сфере.

Решение задачи Коши для нестационарного уравнения Шредингера
$$i\frac{d\psi }{dt}=H\psi ,\psi (0)=\phi ,$$
как и в одномерном случае, легче всего получить в импульсном представлении:
$$i\frac{\partial \psi (\mathbf{p},t)}{\partial t}=p^2\mathrm{\Psi }(\mathbf{p},t),\psi (\mathbf{p},0)=\phi (\mathbf{p}).$$

Очевидно, что
$$\psi (\mathbf{p},t)=\phi (\mathbf{p})e^{-i{p}^{2}t}.$$

Переходя к координатному представлению, получим
$$\psi (\mathbf{x},t)={\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^{\frac{3}{2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}\phi (\mathbf{p})e^{i(\mathbf{p}\mathbf{x}-p^{2}t)}d\mathbf{p}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}\phi (\mathbf{k}){\psi }_{\mathbf{k}}(\mathbf{x})e^{-i{k}^{2}t}d\mathbf{k}.$$

Так же, как и в одномерном случае, функции $\psi (\mathbf{x},t)$ или $\psi (\mathrm{p},t)$ описывают инфинитное движение частицы с независящей от времени функцией распределения импульса. Используя метод стационарной фазы, можно показать, что область, в которой велика вероятность обнаружить частицу, перемещается с классической скоростью $\mathbf{v}=2{\mathbf{p}}_0$ (мы считаем, что носитель функции $\phi (\mathbf{p})$ сосредоточен в окрестности точки ${\mathbf{p}}_0$ ). Справедлива оценка
$$|\psi (\mathbf{x},t,|<\frac{C}{|t{|}^{3/2}},$$
где $C$ — некоторая постоянная. Наконец, как и в одномерном случае,
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}(\xi ,\psi (t))=0$$
для любого $\xi \in \mathcal{H}$.