Основной характеристикой процесса рассеяния частицы на потенциальном центре является дифференциальное сечение. В согласии с общим определением сечения дифференциальное сечение \( d \sigma \) определяется формулой
\[
d \sigma=\frac{d N}{I},
\]
где \( d N \) – вероятность обнаружить частицу после рассеяния \( (t \rightarrow \infty) \) в элементе телесного угла \( d \mathbf{n} \), построенного около некоторого направления \( \mathbf{n} ; I \) – вероятность пересечения свободной частицей площадки единичной площади, ориентированной перпендикулярно движению частицы. Эта вероятность определяется в той точке, где находится рассеивающий центр. Обратим внимание на то, что \( d N \) есть характеристика частицы в поле рассеивающего центра, а I-характеристика свободной частицы.

О состоянии \( \omega \) свободной частицы пучка известно довольно мало. Действительно, известно, что частица имеет импульс, приближенно равный \( \mathbf{k}_{0}=k_{0} \omega_{0} \), известна дисперсия импульса \( (\Delta k)_{\mathrm{cp}}^{2}=\left(\Delta k_{1}\right)_{\mathrm{cp}}^{2}+\left(\Delta k_{2}\right)_{\mathrm{cp}}^{2}+\left(\Delta k_{3}\right)_{\mathrm{cp}}^{2} ; \) причем для того чтобы опыты по рассеянию допускали простую интерпретацию, стремятся использовать пучки частиц с малой дисперсией импульса. О координатах частицы пучка известно обычно совсем мало. Но все же известно, что в некоторый момент времени (который можно принять за \( t=0 \) ) частица находится в макроскопической области, расположенной между ускорителем и мишенью; поперечные размеры этой области можно отождествить с диаметром пучка. Заметим, что существование такой области накладывает согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга ограничения на дисперсию импульса снизу.
При выводе формулы для дифференциального сечения мы сделаем два предположения относительно малости корня из дисперсии импульса, который будем обозначать через \( \Delta k \) :
1) \( \Delta k \ll k_{0} \),
2) \( \left|f(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega})-f\left(k^{\prime}, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}^{\prime}\right)\right| \ll|f(k, \mathbf{n} \boldsymbol{\omega})| \), если \( \left|k \boldsymbol{\omega}-k^{\prime} \boldsymbol{\omega}^{\prime}\right|< \) \( <\Delta k \).

В принципе этим требованиям всегда можно удовлетворить, если \( f(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}) \) – непрерывная оуункция от \( \mathbf{k}=k \boldsymbol{\omega} \) (непрерывность функции \( f \) может быть доказана для широкого класса потенциалов). Обычно на практике эти условия выполняются. Однако встречаются случаи, когда при малом изменении переменной \( \mathbf{k} \) происходит сильное изменение функции \( f(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}) \) (случай узкого резонанса). Величина \( \Delta k \) в конечном счете определяется конструкцией ускорителя и практически не может быть сделана как угодно малой. Поэтому в некоторых экспериментах условие 2) может не выполняться. В этом случае нельзя применять полученную ниже формулу для сечения.

Покажем, что при выполнении условий 1) и 2) дифференциальное сечение зависит от состояния налетающей частицы только через \( k_{0} \) и справедлива формула
\[
d \sigma=\left|f\left(k_{0}, \mathbf{n}, \omega_{0}\right)\right|^{2} d n .
\]

Наиболее общим состоянием для свободной частицы является смешанное, задаваемое матрицей плотности \( M_{0}(t) \), которую мы представим в виде выпуклой комбинации чистых состояний
\[
M_{0}(t)=\sum_{S} \alpha_{s} P_{\varphi_{S}(t)}, \quad \sum \alpha_{s}=1 .
\]

Чистое состояние \( P_{\varphi_{s}(t)} \) определяется волновой функцией \( \varphi_{s}(\mathbf{x}, t) \), имеющей вид
\[
\varphi_{s}(\mathbf{x}, t)=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{R^{3}} C_{s}(\mathbf{k}) e^{l\left(\mathbf{k x}-k^{2} t\right)} d \mathbf{k} .
\]

Можно утверждать, что заметный вклад дают только такие чистые состояния, дисперсия импульса в которых не превосходит дисперсии импульса в состоянии \( M_{0}(t) \). Поэтому мы будем считать, что все функции \( C_{S}(\mathbf{k}) \) отличны от нуля лишь в малой окрестности точки \( k_{0}=k_{0} \boldsymbol{\omega}_{0} \) и диаметр этой окрестности не превосходит \( \Delta k \). Мы не имеем никакой информации ни о конкретном виде функций * \( C_{s}(\mathbf{k}) \), ни о весах \( \alpha_{s} \) и не будем делать относительно них каких-либо предположений.
* Разным функциям \( C_{s}(\mathbf{k}) \) соогветствует как различная форма, так и различное расположение волновых пакетов в конфигурационном пространстве в некоторый момент времени. Пусть, например, иекоторая функция \( C_{s}(\mathbf{k}) \) задает волновой пакет, центр тяжести которого ( \( \left.\mathbf{x}(t)\right)_{\text {ср дв }} \) движется вдоль оси \( x_{3} \), направленной по вектору \( \boldsymbol{\omega}_{0} \) и проходящей через рассеивающий центр. Тогда функции \( C_{l}(\mathbf{k})=e^{i \mathbf{k u}_{l} C_{s}}(\mathbf{k}) \) будет соответствовать пакет, сме-
Вычислим сначала вероятность \( I \). Выберем систему координат с началом в силовом центре и осью \( x_{3} \), направленной по вектору \( \omega_{0} \). Для чистого состояния \( \varphi_{s}(t) \) вероятность \( I^{(s)} \) проще всего вычислить, используя вектор плотности потока вероятности
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{j}^{(s)}(\mathbf{x}, t)=i\left(\varphi_{s}
abla \bar{\varphi}_{s}-\bar{\varphi}_{s}
abla \varphi_{s}\right), \\
I^{(S)}=\left.\int_{-\infty}^{\infty} j_{3}^{(s)}(\mathbf{x}, t)\right|_{\mathbf{x}=0} d t .
\end{array}
\]
тогда
\[
I^{(S)}=\left.\int_{-\infty}^{\infty} j_{3}^{(s)}(\mathbf{x}, t)\right|_{\mathbf{x}=0} d t .
\]

Вычисляя
\[
\begin{array}{c}
\left.j_{3}^{(s)}(\mathbf{x}, t)\right|_{x=0}=\left.i\left(\varphi_{s} \frac{\partial \bar{\varphi}_{s}}{\partial x_{3}}-\bar{\varphi}_{s} \frac{\partial \varphi_{s}}{\partial x_{3}}\right)\right|_{\mathbf{x}=0}= \\
=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k}^{\prime}\left(k_{3}+k_{3}^{\prime}\right) C_{s}(\mathbf{k}) \widetilde{C_{s}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)} e^{i\left(k^{\prime 2}-k^{2}\right) t},
\end{array}
\]

получим
\[
\begin{array}{c}
I^{(s)}=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k}^{\prime} \int_{-\infty}^{\infty} d t\left(k_{3}+k_{3}^{\prime}\right) C_{s}(\mathbf{k}) \overline{C_{s}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)} e^{i\left(k^{\prime 2}-k^{2}\right) t}= \\
=\frac{1}{(2 \pi)^{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k}^{\prime}\left(k_{3}+k_{3}^{\prime}\right) C_{s}(\mathbf{k}) \overline{C_{s}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)} \delta\left(k^{\prime 2}-k^{2}\right)= \\
=\frac{1}{(2 \pi)^{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k}^{\prime} \frac{k_{3}+k_{3}^{\prime}}{2 k} C_{s}(\mathbf{k}) \overline{C_{s}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)} \delta\left(k^{\prime}-k\right)= \\
=\frac{1}{(2 \pi)^{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k}^{\prime} C_{s}(\mathbf{k}) C_{s}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right) \delta\left(k^{\prime}-k\right) .
\end{array}
\]

При вычислениях использовано равенство
\[
\delta\left(k^{2}-k^{2}\right)=\frac{1}{2 k}\left(\delta\left(k-k^{\prime}\right)+\delta\left(k+k^{\prime}\right)\right)
\]

и условие \( \Delta k \ll k_{0} \), которое поззоляет заменить \( \left(k_{3}+k_{3}^{\prime}\right) / 2 k \) на 1 . Второе слагаемое в формуле (2) вклада в интеграл не дает, так как в области интегрирования \( k>0 \) и \( k^{\prime}>0 \).
Для смешанного состояния \( M_{0}(t) \), очевидно,
\[
I=\sum_{s} \alpha_{s} \frac{1}{(2 \pi)^{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k}^{\prime} C_{s}(\mathbf{k}) C_{s}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right) \delta\left(k-k^{\prime}\right) .
\]

щенный на вектор \( \mathbf{u}_{l} \) в конфигурационном пространстве ( \( e^{i \mathbf{k} \mathbf{u}} \) – это оператор сдвига, записанный в импульсном гредставлении). Классическим аналогом состояния \( \varphi_{s}(\mathbf{x}, t) \) (хотя и не вполне точным) можно считать состояние частицы, движущейся по прямолинейной траектории, проходящей через рассеивающий центр. Состоянию \( \varphi_{l}(\mathbf{x}, t) \) тбгда соответствует траектория, проходящая на расстоянии \( \boldsymbol{\rho} \) от рассеивающего центра, равному проекции вектора \( \mathrm{u}_{l} \) на плоскость поперечного сечения пучка. В классической теории рассеяния расстояние \( \boldsymbol{\rho} \), на котором прошла бы частица от центра, если бы не было взанмодействия, называется прицельным параметром.
Вычислим теперь \( d N \). При вычислении мы должны использовать матрицу плотности \( M(t) \), описывающую состояние, которое задолго до рассеяния ( \( t \rightarrow-\infty \) ) асимптотически стремится к \( M_{0}(t) \). Оператор \( M(t) \) можно записать в виде
\[
M(t)=\sum_{s} \alpha_{s} P_{\psi_{s}(t)},
\]

где чистые состояния \( P_{\psi_{s}(t)} \) определены волновыми функциями
\[
\psi_{s}(t)=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k} C_{s}(\mathbf{k}) \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k}) e^{-i k^{2} t} .
\]

Плотность функции распределения координат в чистом состоянии \( P_{\psi_{s}(t)} \) есть \( \left|\psi_{s}(\mathbf{x}, t)\right|^{2} \) и для вероятности \( d N^{(s)} \) обнаружить частицу при \( t \rightarrow \infty \) в элеиенте телесного угла \( d \mathbf{n} \) в состоянии \( P_{\psi_{s}}(t) \) получим
\[
d N^{(s)}=\lim _{t \rightarrow+\infty} d \mathbf{n} \int_{0}^{\infty} r^{2} d r\left|\psi_{s}(\mathbf{x}, t)\right|^{2} .
\]

Мы знаем, что при \( t \rightarrow \infty \) частица уходит на бесконечность, поэтому при подстановке (3) в (4) можно заменить \( \psi(\mathbf{x}, \mathbf{k} \) ) ее асимптотическим выражением, тогда
\[
\begin{aligned}
d N^{(s)} & =\lim _{t \rightarrow+\infty} d \mathbf{n} \int_{0}^{\infty} r^{2} d r \left\lvert\,\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k} C_{s}(\mathbf{k}) \times\right. \\
& \times\left.\left(e^{i \mathbf{k x}}+f(k, \mathbf{n}, \boldsymbol{\omega}) \frac{e^{i k r}}{r}\right) e^{-i k^{2} t}\right|^{2} .
\end{aligned}
\]

Функция \( \left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k} C(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k x – i} k^{2} t} \) является волновым пакетом для свободной частицы и отлична от нуля только в той части конфигурационного пространства, где конечна вероятность обнаружить нерассеянную частицу пучка, т. е. внутри узкого конуса, построенного около направления \( \omega_{0} \). Для всех остальных направлений вклад дает только расходящаяся волна и для таких направлений
\[
d N^{(s)}=\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{d \mathbf{n}}{(2 \pi)^{3}} \int_{0}^{\infty} d r\left|\int_{\mathbf{R}^{s}} C_{s}(\mathbf{k}) f(k, \mathbf{n}, \omega) e^{i k r-i k^{s} t} d \mathbf{k}\right|^{2} .
\]

Используя условие 2), можно заменить функцию \( f(k, \mathbf{n}, \omega) \) под знаком интеграла ее значением в точке \( k=k_{0} \), \( \omega=\omega_{0} \) и вынести за знак интеграла. Далее интеграл \( \int_{\mathbf{R}^{3}} C_{s}(\mathbf{k}) e^{i k r-i k^{2 t}} d \mathbf{k} \) после интегрирования по угловым переменным вектора \( \mathbf{k} \) становится
\( 1 / 26 \) Зак. 330
одномерным волновым пакетом и как функция от \( r \) при \( t \rightarrow \infty \) он отличен от нуля только при больших положительных \( r \). Поэтому интегрирование по \( r \) в (5) можно распространить на всю вещественную ось. Тогда
\[
\begin{array}{c}
d N^{(s)}=\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{d \mathbf{n}}{(2 \pi)^{3}}\left|f\left(k_{0}, \mathbf{n}, \omega_{0}\right)\right|^{2} \times \\
\times \int_{-\infty}^{\infty} d r \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k}^{\prime} C_{s}(\mathbf{k}) \overline{C_{s}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)} e^{i\left(k-k^{\prime}\right) r} e^{-i\left(k^{2}-k^{\prime 2}\right) t}= \\
=d \mathbf{n}\left|f\left(k_{0}, \mathbf{n}, \omega_{0}\right)\right|^{2} \frac{1}{(2 \pi)^{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k}^{\prime} C_{s}(\mathbf{k}) \overline{C_{s}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)} \delta\left(k-k^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Наконец, для смешанного состояния \( M(t) \)
\[
d N=d \mathbf{n}\left|f\left(k_{0}, \mathbf{n}, \omega_{0}\right)\right|^{2} \sum_{s} \alpha_{s} \frac{1}{(2 \pi)^{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k} \int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{k}^{\prime} C_{s}(\mathbf{k}) \overline{C_{s}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)} \delta\left(k-k^{\prime}\right)
\]
или
\[
d N=d \mathbf{n}\left|f\left(k_{0}, \mathbf{n}, \omega_{0}\right)\right|^{2} I,
\]
откуда сразу получаем
\[
d \sigma=\left|f\left(k_{0}, \mathbf{n}, \omega_{0}\right)\right|^{2} d \mathbf{n} .
\]

В заключение заметим, что мы получили формулу (6) для всех направлений \( \mathbf{n} \), за исключением \( \mathbf{n}=\omega_{0} \). Сечение рассеяния вперед не может быть определено формулой (1), так как вероятность обнаружить частицу при \( t \rightarrow \infty \) в телесном угле \( d \mathbf{n} \), построенном около направления \( \mathbf{n}=\omega_{0} \), не пропорциональна \( I \) (кроме того, мы вообще не можем отличить частицу, рассеянную вперед, от нерассеянной частицы). Когда говорят о сечении рассеяния вперед, всегда подразумевают экстраполяцию на нулевой угол сечений рассеяния на малые углы. При таком понимании для сечения рассеяния вперед справедлива формула (6).

Для многих задач удобной характеристикой рассеяния оказывается полное сечение, которое определяется формулой *
\[
\sigma=\int_{S_{2}}\left|f\left(k_{0}, \mathbf{n}, \omega_{0}\right)\right|^{2} d \mathbf{n} .
\]