Обозначим через \( G \) совокупность всех вращений пространства. \( \mathbf{R}^{3} \) вокруг начала координат. Қаждое вращение \( g \in G \) порождает линейное преобразование трехмерного пространства
\[
\mathbf{x}^{\prime}=g \mathbf{x},
\]
где теперь мы буквой \( g \) обозначили матрицу \( \left\|g_{i k}\right\| \), которая называется матрицей вращения. Хорошо известно, что \( g \) является ортогональной матрицей и \( \operatorname{det} g=1 \). Верно и обратное: каждой такой матрице соответствует определенное вращение. Поэтому в дальнейшем мы будем отождествлять вращения и их матрицы. Группа вещественных ортогональных матриц третьего порядка с определителем, равным единице, называется группой \( S O(3) \) или группой вращений.

Существует несколько способов параметризации вращений. Так, в теоретической механике часто используются углы Эйлера. Для наших целей наиболее удобно задавать вращение вектором \( \mathbf{a}=\mathbf{n} \alpha(|\mathbf{n}|=1) \), который направлен по оси вращения \( \mathbf{n} \) и длина которого \( \alpha \) равна углу поворота. При этом считается, что направление вращения и направление вектора а образуют правый винт, и угол поворота \( \alpha \) не превосходит \( \pi \) \( (0 \leqslant \alpha \leqslant \pi) \). Если откладывать векторы а от одной точки, то их концы будут заполнять шар радиуса л. Различным внутренним точкам этого шара будут соответствовать различные вращения, а диаметрально противоположным точкам границы одинаковые вращения.

Таким образом, группа вращений топологически эквивалентна шару, у которого отождествлены противоположные точки границы.

Установим связь между группой вращений и алгеброй Ли кососимметрических матриц третьего порядка.

Матрица \( A \) называется кососимметрической, если \( A^{\prime}=-A \). Произвольная кососимметрическая матрица задается тремя
параметрами и имеет вид
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & a_{12} & a_{13} \\
-a_{12} & 0 & a_{23} \\
-a_{13} & -a_{23} & 0
\end{array}\right)
\]

Совокупность кососимметрических матриц становится алгеброй Ли, если в качестве лиевской операции взять коммутатор \( [A, B] \). Это утверждение следует из свойств коммутаторов и равенства \( [A, B]^{\prime}=-[A, B] \). Последнее проверяется непосредственно:
\[
[A, B]^{\prime}=(A B-B A)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}-A^{\prime} B^{\prime}=B A-A B=-[A, B] .
\]

В качестве образующих алгебры Ли удобно выбрать матрицы
\[
A_{1}=\left(\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right), \quad A_{2}=\left(\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0
\end{array}\right), \quad A_{3}=\left(\begin{array}{rrr}
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right) .
\]

Любая кососимметрическая матрица может быть представлена в виде
\[
A(\mathrm{a})=a_{1} A_{1}+a_{2} A_{2}+a_{3} A_{3} .
\]

Найдем перестановочные соотношения для матриц \( A_{1}, A_{2} \) и \( A_{3} \)
\( \left[A_{1}, A_{2}\right]=A_{1} A_{2}-A_{2} A_{1}= \)
\[
=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)=A_{3},
\]

и искомые соотношения имеют вид
\[
\begin{array}{l}
{\left[A_{1}, A_{2}\right]=A_{3},} \\
{\left[A_{2}, A_{3}\right]=A_{1},} \\
{\left[A_{3}, A_{1}\right]=A_{2} .}
\end{array}
\]

Непосредственно может быть проверена формула
\[
[A(\mathbf{a}), A(\mathbf{b})]=A(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) .
\]

Рассмотрим матрицу \( e^{\alpha A_{3}} \). Для того чтобы получить явное выражение для этой матрицы, вычислим целые степени матрицы \( A_{3} \)
\[
A_{3}^{2}=\left(\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)=-\tilde{I}_{3}, A_{3}^{3}=-A_{3}, A_{3}^{4}=\tilde{I}_{3}, \ldots
\]
Раскладывая \( e^{\alpha A_{3}} \) в ряд получим
\[
\begin{array}{c}
e^{a A_{3}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n} A_{3}^{n}}{n !}=I+\tilde{I}_{3} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k} \alpha^{2 k}}{(2 k) !}+A_{3} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} \alpha^{2 k-1}}{(2 k-1) !}= \\
=I+\tilde{I}_{3}(\cos \alpha-1)+A_{3} \sin \alpha \\
\text { или } \quad e^{\alpha A_{3}}=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\
\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Мы видим, что \( e^{a A} \) является вращением вокруг третьей оси на угол \( \alpha \), т. е. \( g(0,0, \alpha)=e^{\alpha A_{3}} \). Аналогично проверяется, что \( g(\alpha, 0,0)=e^{\alpha A_{1}} \) и \( g(0, \alpha, 0)=e^{\alpha A_{2}} \). Для вращений вокруг оси координат мы будем использовать сокращенное обозначение \( g_{i}(\alpha), i=1,2,3 \).

Инфинитезимальными образующими группы вращений называются матрицы \( \left.\frac{\partial g(a)}{\partial a_{i}}\right|_{\mathbf{a}=0} \). Используя формулы для вращений вокруг осей координат, получим
\[
\left.\frac{\partial g(\mathbf{a})}{\partial a_{1}}\right|_{\mathbf{a}=0}=\left.\frac{\partial g\left(a_{1}, 0,0\right)}{\partial a_{1}}\right|_{a_{1}=0}=\left.\frac{\partial e^{a_{1} A_{1}}}{\partial a_{1}}\right|_{a_{1}=0}=A_{1} .
\]

Аналогично
\[
\left.\frac{\partial g(\mathrm{a})}{\partial a_{2}}\right|_{\mathrm{a}=0}=A_{2} .\left.\quad \frac{\partial g(\mathrm{a})}{\partial a_{3}}\right|_{\mathrm{a}=0}=A_{3} .
\]

Мы видим, что кососимметричные матрицы \( A_{1}, A_{2}, \dot{A_{3}} \) являются инфинитезимальными образующими группы вращений.

Теперь мы легко можем получить формулу для произвольного вращения \( g(\mathbf{n} \alpha) \). Очевидно, что произведение вращений вокруг одной оси \( \mathrm{n} \) на углы \( \alpha \) и \( \beta \) есть вращение на угол \( \alpha+\beta \) вокруг той же оси:
\[
g(\mathbf{n} \beta) g(\mathbf{n} \alpha)=g(\mathbf{n}(\alpha+\beta)) .
\]

Дифференцируя это тождество по \( \beta \) и полагая \( \beta=0 \), получим
\[
\left(n_{1} A_{1}+n_{2} A_{2}+n_{3} A_{3}\right) g(\mathrm{n} \alpha)=\frac{d}{d \alpha} g(\mathrm{n} \alpha) .
\]

Мы нашли дифференциальное уравнение для \( g(\mathbf{n} \alpha) \), которое нужно решить при начальном условии \( g(\mathrm{n} 0)=I \). Единственное решение этой задачи имеет вид
\[
g(\mathbf{n} \alpha)=\exp \left[\left(r_{1} A_{1}+n_{2} A_{2}+n_{3} A_{3}\right) \alpha\right] .
\]